Лекции / Лекции (1 семестр) / Long

Лекция 8.

Длинные линии

Первичные параметры :

- удельное сопротивление прямого и обратного проводов линий [Ом/м]

- удельная индуктивность петли, образуемой прямым и обратным проводами

- удельная проводимость утечки между проводами

- удельная емкость между проводами

Для элемента, расположенного на расстоянии от начала линии можно записать:

После преобразования уравнения и пренебрежения членами второго порядка малости, т.е. , получим :

Телеграфные уравнения

Установившийся режим в однородной линии.

При синусоидальном входном напряжении

Отметим, что и не являются велечинами обратными друг к другу

Дефференцируя по , получим :

(1)

Решение уравнений (1)

,

где

Решение для тока :

,

Волновое сопротивление :

Для однородной линии, рассматриваемой как 4-П , волновое сопротивление совпадает с характеристическим .

Тогда мгновенные значения токов и напряжений будут записаны в виде:

где, ,

Отметим, что каждое из слагаемых представляет собой бегущую волну, движущуюся вдоль возрастания или убывания координаты и затухающую в направлении движения. В фиксированой точке колебания являются переодическими функциями времени. В любой фиксированный момент времени каждое слагаемое изменяется вдоль линии ( т.е. с изменением ) по закону затухающей синусоиды.

Основные характеристики бегущей волны : фазовая сорость V и длина волны.

Фазовой скоростью V - называется скорость перемещения фазы колебания, которая в течении времени по мере увеличения расстояния , пройденого волной, остается постоянной:

Для обратной волны можно получить аналогичное выражение, но с обратным знаком

Следовательно, слагаемые могут рассматриваться как волны, движущиеся в противоположных направлениях.

Длина волны - расстояние между двумя соседними точками,взятыми в направлении распространения волны, фазы колебаний в которых отличаются на .

Выбор положительных токов и напряжений.

Положительное направление тока для прямой волны совпадает с положительным направлением напряжения, для обратной волны положитльное направление тока противоположно полжительному направлению напряжения.

Из формул следует, что токи и напряжения прямой и обратной волн связаны между собой законом Ома.

Коэффициент

- коэффициент затухания в (дБ/м)

- коэффициент фазы в (рад/м)

Учет граничных условий.

Необходимо определить А1 и А2 (из граничных условий).

При

Окончательно:

В дальнейшем будем считать прямую волну падающей, а обратную волну отраженной .

Отношение комплексных амплитуд напряжения отраженной и падающей волн в точке x=1 называется коэффициентом отражения.

Можно ввести аналогичный коэффициент отражения по току:

Выводы:

1. Величина отражения зависит от

2. При - согласованная нагрузка без отражения.

3. При или

Согласованная нагрузка длинной линии.

Отраженная волна отсутсутствует.

При этом, если x= 0, то

Тогда токи и напряжения в любой точке x можно выразить через и в виде:

Это бегущие волны.

Входное сопротивление линии с бегущей волной не зависит от ее длины и равно волновому сопротивлению линии .

- в любой точке можно разорвать линию и включить, режим работы генератора не изменится.

Полагая начальную фазу напряжения за 0 и вводя которое в дальнейшем будем считать просто за х, запишем:

Отсчет от конца !!!

Мощность в любом сочетании линии:

- мощность отдаваемая генератором

- мощность передаваемая в нагрузку

Мощность, передаваемая по согласованной линии называется естественной (или натуральной)

мощностью.

Все сказанное о согласованной линии может быть применено к линии бесконечной длины, так как в этом случае также отсутствует отраженная волна.

Линия без потерь.

Для нее и

В линии без потерь затухани равно нулю, волновое сопротивление имеет активный характер и не зависит от частоты.

Уравнения токов и напряжений преобразуется к виду:

Если считать ,то получим:

Вывод : Распределение напряжения и тока в каждый момент времени вдоль оси х имеет синусоидальный характер.

Свойство линии при

Выводы:

1. Напряжение (ток) в начале линии пропорционально току (напряжению) на выходе и опережает его на 90 град.

2. Для поддержания постоянного напряжения необходимо обеспечить постоянство тока на входе.

Свойство линии при

Линия только инвертирует фазу

Питание приемника от источника энергии происходит таким образом, как будто самой линии передачи нет.

Стоячие волны.

Рассмотрим случаи, когда мощность в конце линии не поглощается.

1.Холостой ход.

, тогда

Имеем произведение двух функций, аргументы которых зависят только от X и t.

Это уравнение стоячих волн.

Полученные уравнения для напряжения и тока можно представить в виде:

Таким образом , можно считать, что стоячей волной называется процесс, который описывается наложением прямой и обратной волны с одинаковыми амплитудами.

При холостом ходе в конце линии ( Х=0 ) и в точках, отстоящих от конца на расстоянии,

где k-целое число

имеем в любой момент времени максимумы напряжения, называемае ПУЧНОСТЯМИ и нули тока, называемые УЗЛАМИ.

На расстоянии от конца линии

всегда наблюдаются узлы напряжения и пучности тока.

Узлы и пучности неподвижны.

Ток опережает по фазе напряжение, когда знаки у и одинаковы , т.е.

Входное сопротивление разомкнутой линии без потерь (имеет чисто реактивный характер):

2.Короткое замыкание.

При согласовании линии с нагрузкой параллельно (или последовательно) нагрузке приходится включать индуктивное или емкостное сопротивление. Разумно выбрать ее наименьшей длины.

Если нужна емкость, то выбирается разорванная линиия длинной меньше, чем и

Если индуктивность, то выбирается короткозамкнутая линия и

3. Чисто реактивная нагрузка:

В линии будут стоячие волны, так как такую нагрузку можно представить в виде отрезка длинной линии, длинна которой меньше и временные зависимости можно представить в виде

В узлах ток или напряжения равны нулю. Передача энергии в этих точках отсутствуют.

Передачу энергии в нагрузку могут осуществлять только бегущие волны. В случае стоячих волн передача энергии возможна лишь на участке между двумя смежными узлами напряжения и тока за счет обмена энергией между электрическим и магнитнами полями.

Активное сопротивление нагрузки.

Обозначим :

Если уравнение представленны в виде:

их можно преобразовать к виду:

и при получим:

Первое слагаемое в выражениях описывает бегущую волну, второе-стоячую. Если линия не согласована ( K<>1 ), то будет и бегущая и стоячая волна. Чем больше К отличается от 1, тем больше проявляется стоячая волна. При К=0 или в линии будут только стоячие волны , при К=1 (или ) - только бегущие.

Если K= , то - имеем случай холостого хода. Получим уравнение для .

- Что и требовалось доказать.