Лекции / Лекции (2 семестр) / VAR-SOST

Для вычисления фундаментальной матрицы может быть использовано также преобразование Лапласа:

e= L{( p * [I] - [A] )}

Свойства фундаментальной матрицы:

1. e = 1;

2. e * e= e, если выполнено условие [A] + [B] = [B] * [A];

3. e = e;

4.

5.

Справедливо в случае, если [A] - невырожденная матрица.

При проведении расчетов как правило t=T b ряд сходится достаточно быстро, поэтому пользуются первыми m членами разложения. Однако, в этом случае необходимо проводить оценку ошибки, вызванной отбрасыванием членов ряда, начиная с (m+1).

После определения фундаментальной матрицы и ее свойств решение. полученное для скалярного уравнения можно обобщить на матричное уравнение. Проведя соответствующие выкладки, получим уравнение аналогичное (25) за исключением того, что вместо x(t), y(t), u(t), a, c, d необходимо написать соответствующие матрицы.

Решение уравнения состояния, записанных в матричной форме будет иметь вид:

[x(t)] = e

Как и для скалярного уравнения, первый член будет представлять отклик при нулевом входном сигнале, а второй - отклик при нулевом состоянии.

При решении уравнений состояния в матричной форме существуют две основные проблемы. Первая состоит в вычислении фундаментальной матрицы. Вторая - связанна с тем, что под знак интеграла входит входное воздействие, зависимость которого от времени в явном виде неизвестна. Поэтому в общем виде получить решение интегрального уравнения

[x(t)] = e невозможно.

Рассмотрим частный случай [U(t)] = U = const;

Входное воздействие может быть вынесено за знак интеграла и решение можно представить в элементарных функциях:

[x(t)] = e

Входное воздействие сложного вида

с определенной степенью точности можно апроксимировать кусочно- постоянной функцией. В этом случае полученным результатом можно

воспользоваться в качестве разностного уравнения .

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ В ЧАСТНОЙ ОБЛАСТИ.

Запишем уравнения в пространстве состояний в матричной форме:

[(t)] = [A] * [x(t)] + [B] * [u(t)]

[y(t)] = [C] * [x(t)] + [D] * [u(t)]

Применим к первому уравнению прямой преобразование Лапласа:

p * [X] - [X(0)] = [A] * [X] + [B] * [U]

[X(p)] и [U(p)] - изображение по Лапласу [x(t)], и

Тогда

[X] = (p * [1] - [A]) * ([B] * [U] + [X(0)], где

(p * [1] - [A])=

Полученное уравнение может быть использовано для вычисления [x(t)] с помощью обратного преобразования Лапласа:

[x(t)] = L{(p * [1] - [A] ) *{[B] * [U] + [X(0)]}}

Рассмотрим решение в частной области при нулевых начальных условиях:

[X] = (p * [1] - [A]) * [B] * [U]

[Y] = [C] * [X] + [D] * [U]

[Y(p)] - изображение по Лапласу [y(t)].

[Y] =[C] * {(p * [1] - [A]) * [B] * [U]} + [D] * [U]

Поскольку отношение [Y(p)] / [U(p)] представляет собой передаточную функцию, решение уравнений МПС в частной области позволяет определить [H(p)] через матричные коэффициенты уравнений, записанных в пространстве состояний.

[H]= [C] * {(p * [1] - [A]) * [B] * [U]} + [D]

Основная сложность при определении передаточной функции состоит в вычислении обратной матрицы. В числе - матрица алгебраических дополнений, которая представляет собой матричные коэффициенты, умноженные на оператор Лапласа в соответствующей степени. Существует ряд рекуррентных алгоритмов ( например: Суриана-Фрейма), позволяющих вычислять матричные коэффициенты числителя и скалярные коэффициенты знаменателя. После чего, в соответствии с полученным выражением передаточную функцию можно представить в виде дробно рациональной функции , в числе которой будут находиться матричные коэффициенты, а в знаменателе - скалярные.

Рассмотрим знаменатель обратной матрицы. Уравнение вида:

det (p * [1] - [A] ) =(p-p) * (p-p) *...* (p-p) =0;

является ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ, а его корни p, p,...,p - называются СОБСТВЕННЫМИ ЧАСТОТАМИ системы. В линейной алгебре эти корни называются собственными значениями матрицы [A] . Для их вычисления также известен ряд алгоритмов , наиболее эффективным является QR алгоритм.

Как только найдены собственные частоты, так ( с точностью до постоянного множителя) становится известным знаменатель передаточной функции. В зависимости от того, сокращаются ли взаимно некоторые сомножители числителя и знаменателя, собственные частоты могут быть, а могут и не быть полюсами передаточной функции.

Желательно свести задачу нахождения нулей передаточной функции к задаче вычисления собственных значений некоторой матрицы.

Для этого воспользуемся известными результатами для систем с ОС. Рассмотрим исходную систему с одним входом и одним выходом. Сформируем новую систему.

H(p) = U(p) / Y(p) - передаточная функция исходной системы.

Передаточная функция системы с ОС имеет вид:

Если рассмотрим предел при k , то полюса будут являться нулями H(p). Следовательно, для определения нулей передаточной функции исходной системы необходимо сформировать основную матрицу обратной системы, после чего с помощью QR алгоритма найти ее собственные значения.

Запишем систему уравнений по МПС для исходной системы:

[] = [A] * [x] + [b] * U

Y = [c] * [x] + d * U

Матрицы [b] и [c], как и ранее являются вектором-столбцом и вектором-строкой, соответственно, а d - скалярная величина.

Из рисунка второго уравнения :

Откуда:

U=

Подставляя в первое уравнение исходной системы:

[] = ( [A] -* [b] * [c] ) * [x] + * [b] *

При формировании основной матрицы обратной системы могут возникнуть два случая ( в зависимости от значения d). В первом (d0) при k получаем:

[[A] - [b] * [c] / d

Второй случай (d=0) более сложен, поскольку приходится вычислять придел при

k выражение вида:

[] = ([A] - k * [b] * [c] ) * [x]

Однако, известны алгоритмы, позволяющие вычислять основную матрицу и в данном случай.

Таким образом, использование теории ОС позволяет не только анализировать характеристики замкнутых систем, но также оказывается полезным при вычислении характеристик разомкнутых систем.

Как было показано, решение уравнений МПС в частной области позволяет эффективно определить передаточную функцию линейной системы.

Возможно решение обратной задачи: для известной передаточной функции линейной системы можно определить систему уравнений по МПС. В общем случае задача решается неоднозначно. Для ее решения известен ряд алгоритмов, которые позволяют получить уравнения МПС в различной форме (различный вид матричных коэффициентов).

МЕТОД БЭКА. Рассмотрим систему, описываемую следующей передаточной функцией:

Введем переменную X (p) и запишем передаточную функцию в виде двух уравнений:

(*) (**)

Y(p) = U(p) = *X (p)

Основной смысл метода Бэка состоит во введении переменных состояния , определяемых как:

j= 0, 1, ...(n-1) (***)

Таким образом:

Можно записать: (+)

С учетом введенных обозначений перепишем уравнения (*) и (**) в виде:

(*) Y(p) =

(**)

Используя соотношение (***) , получаем:

p*X (++)

Применяя обратное преобразование Лапласа, можно записать (+) в виде:

....................

Уравнение (++) во временной области:

Уравнение для выходной переменной:

y(t)=

В матричной форме уравнение переменных состояния, записанное по методу Бэка имеет вид:

Таким образом. Исходное уравнение приведено к требуемому виду:

[(t)]= [A] * [X (t)] + [B] * U(t)

Следует отметить, что при такой постановки задачи зависимость U(t) произвольная.

Существуют и другие методы формирования уравнений в пространстве состояний ( например метод Джонсона). Однако, полученное уравнение записано в КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ ФАЗОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, широко используемой при анализе систем автоматического управления.