-1-

Задача № 3 (Вариант № 11)

ДАНО: принципиальная электрическая схема

НАИТИ: i₁ (t) - ? (операторным методом)

РЕШЕНИЕ:

1) Найдём i₁(-0) ; i_L (-0) : Так как до коммутации ключ был разомкнут, то в контур

будут входить R₁ , R₂ , E ; поэтому

i_L (-0) = 0 А

i₁(-0) найдём по закону Ома :

i₁(-0) = E/ (R₁ + R₂ ) ;

Подставим известные величины:

i₁(-0) = 10/ 20 = 0.5 А

2) Составим операторную схему замещения:

Найдём i₁(p) :

i₁(p) = (E/p – i₂(p)*R₂ ) / R₁ ;

i₂(p) = E/(p*R _э);

R _э = R ₁*(Lp + R ₃) / (Lp + R ₁ + R ₃) + R ₂ ;

Подставим известные величины:

-2-

R _э = (300 + 20p) / (p + 20);

i₂(p) = 10(p + 20) / (p* ( 300 +20p));

i₁(p) = (10/p – 10(p + 20) / (p* (30 + 2p)) / 10 = (10 + p) / (p*(30 + 2p)).

3) Проверки:

3а) Степень числителя = 1, степень знаменателя = 2;

3б) Порядок переходного процесса = 1

3в) p*(30 + 2p) = 0

p₁ = 0 p₂ = -15

3г) lim (10+p)/(30 + 2p) = 1/3 - i₁ установ.

^{p→ 0}

3д) lim (10+p)/(30 + 2p) = 1 / 2 - i₁( +0)

^p→∞

4) Найдём оригинал i₁( t) :

i₁ (t) = M(0)/N^’(0) + M(-15)/N^’ (-15)* e^(-15)*t) . где

M(p) = p +10, N^’ (p) = 4*p + 30 =>

i₁ (t) = 1/3 + 1/6* e^(-15)*t

5) Построим график i₁ (t):

i₁ (t) А.

i₁ устан.

i₁ (-0) 1/3

0.5

1/6* e^(-15)*t

-3-

Задача №1 Вариант №2

Дано: принципиальная электрическая схема.

Найти: Uc – напряжение на конденсаторе

(классический метод)

Решение:

Рассчитаем переходной процесс в схеме RС.

1. Запишем уравнения по 2- ому закону Кирхгофа для мгновенного значения:

U_R1 + U_c – E=0 =>

R ₁* i_c + U_c – E=0 =>

R ₁ *C*d U_c / d t + U_c – E=0

• это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами .

2. Найдём U_c (-0) :

Так как до коммутации цепь была разомкнута, то U_c (-0) = 0

3) Определим U_c (t) после коммутации:

U_c (t) = U_пр (t) + U_св (t)

так как после коммутации в установившемся режиме цепь замкнута и конденсатор может зарядиться до значения напряжения на постоянном источнике напряжения:

U_пр (t) = U

-4-

3) Определим U_св (t):

Найдём свободную составляющую тока U_св (t), решив однородное уравнение :

R ₁ *C*d U_c / d t + U_c = 0

3a) Решение будем искать в виде : U_св (t) = А*е^pt при t=0 , U_св (t) = А,

где p – показатель экспоненциальной функции и определяется следующим образом:

d U_c / d t = А*p*е^pt , U_св (t) = А*е^pt =>

R ₁ *C* А*p*е^pt + А*е^pt = 0

Отсюда: p = -1/( R ₁*C) = τ = -1/p = R ₁*C

3б) Найдём постоянную интегрирования A, для этого воспользуемся

вторым законом коммутации: U_c (-0) = U_c (+0)

U_c (-0) = 0

U_c (-0) = U_пр (+0) + U_св (+0) = E + A = 0 => А = -E

3) Запишем полное решение для переходного процесса в данной схеме:

U_c (t) = U_пр (t) + U_св (t) = E – E e^-t/(C*R1) = 100 – 100 * e^-t/(0.0001)

4. Построим график функции U_c (t):

U_c (t) В.

100

U_пр (t)

U_св (t)

U_c (-0)

0

T c.

-5-

ЗАДАЧА №2 Вариант №23

Дано: принципиальная электрическая схема.

e(t) = Em sin(wt + φ )

Em = 120

e(0) = Em/2; f = 50 Гц

Найти: i1 – ток, протекающий через резистор R₂ и индуктивность L.

(классический метод)

Решение:

Рассчитаем переходной процесс в схеме RL.

1) До коммутации i₁(-0) =0 так как цепь до коммутации была разомкнута

2) Определим принуждённое значение тока после коммутации:

Определим входное сопротивление:

Z = R + j*w*L = R + 2*π*f*L = 1+9.8* j

. .

Im = Em/Z = 120*e^30j / 9.9* e^84.2j =

= 12.1* e^-54.2j

i_пр(t) = 12.1 sin (wt + 54.2)

i_пр(+0) = 12.1 sin 54.2

3. Определим свободную составляющую тока, для этого составим дифференциальное уравнение:

i_св(t)*R +U_L = 0

i_св(t)*R + L*d i_св / d t =0

3a)Решение будем искать в виде : i_св.(t) = А*е^pt при t=0 , i_св.(t) = А,

где p – показатель экспоненциальной функции и определяется следующим образом:

d i₁ / d t = А*p*е^pt ,i_св.(t) = А*е^pt => L* А*p*е^pt + RА*е^pt = 0

-6-

Отсюда: p = - R /L; подставим значения и найдём p:

p= - 31.8

3б) Найдём постоянную интегрирования A, для этого воспользуемся

первым законом коммутации: i_L (-0) = i_L (+0)

i₁(-0) = i_св.(+0) + i_пр.(+0) = 12.1* sin54.2 + A =0

A = -12.1 sin54.2

4. Запишем общее решение :

i₁(t) = 12.1*sin (wt +54.2) – 12.1*sin54.2 *е^-31.8t

5) Построим график:

-7-

ЗАДАЧА 4. Вариант №11

Дано: принципиальная электрическая схема.

Найти: Ur2(t) – напряжение на резисторе R₂

( операторный метод)

Решение:

1. Рассмотрим данную схему до коммутации в установившемся режиме. Найдём U_R2 (-0) и i₁ (-0) :

i₁ (-0) найдём по закону Ома:

i₁ (-0) = E1/ R₂

Подставим известные величины:

i₁ (-0) = 10 А

U_R2 (-0) = E1 = 100В.