Семинар № 1

Задача 1.

Дано: принципиальная электрическая схема.

Найти: i_R2 классическим методом

Решение:

Рассчитаем переходной процесс в схеме RL.

1) Запишем уравнения по 2- ому закону Кирхгофа для мгновенного значения:

i_{R2 пр.}(t) находится из уравнения

i_{R2 св.}(t) находится из уравнения , где

i_{R2 пр.}(t) – принуждённая составляющая искомого тока i_R2(t), которая является частным решением дифференциального уравнения.

i_{R2 св.}(t) – свободная составляющая искомого тока i_R2(t), которая является общим решением однородного дифференциального уравнения.

2) Рассчитаем принуждённую составляющую тока i_пр.(t), для этого изобразим данную принципиальную схему после коммутации в установившемся режиме.

Так как в установившемся режиме индуктивность не будет влиять на процесс протекания тока, то i_{R2 пр.}(t)

найдём по формуле: i_{R2 пр}(t) =

Подставим известные величины:

i_{R2 пр}(t) = 12/2 = 6(A)

3) Найдём свободную составляющую тока i_R2 св.(t), решив дифференциальное уравнение

3a)

Решение будем искать в виде: i_R2 св.(t)= Ае^pt при начальных условиях i_R2 св.(0)= А.

p – показатель экспоненциальной функции и определяется следующим образом:

= Аpе^pt

i_R2 св.(t)= Ае^pt => LАpе^pt + R₂Ае^pt = 0

Отсюда p =; подставив значения, получим: p = -0.66 (c^-1)

3б) Найдём постоянную интегрирования A, для этого воспользуемся первым законом коммутации: i_L (-0) = i_L (+0)

Так как в схеме до коммутаций цепь была разомкнута и ток равнялся 0 во всех ветвях, то запишем равенство:

i_R2(-0)= 0 = i_R2(+0)=i_R2 св.(+0)+ i_R2 пр.(+0)=А + 40;

Из него получим: А = -40;

4) Запишем полное решение для переходного процесса в данной схеме:

i_R2(t)=i_R2 св.(t) + i_R2 пр. (t) = =-e^-Rt/L =6-6e^-2t/3

5. Построим график: i_R2 св.(t)

Ток через индуктивность экспоненциально возрастает до установившегося значения, в полном соответствии с первым законом коммутации

Задача № 2

Дано: принципиальная электрическая схема.

Найти: i _R2 классическим методом

Решение:

Рассчитаем переходной процесс в схеме RL.

1. Найдём принуждённую составляющую i_R2 пр.(t), для этого изобразим данную схему в установившемся режиме после коммутации:

Очевидно, что после коммутации в установившемся режиме при разомкнутой цепи тока не будет ни в одной ветви, поэтому:

i_R2 пр.(t) = 0

2) Найдём свободную составляющую тока i_R2 св.(t), решив однородное дифференциальное уравнение:

2a)Решение будем искать в виде: i_R2 св.(t)=Ае^pt при начальных условиях: i_R2 св.(0) = А.

p – показатель экспоненциальной функции и определяется следующим образом:

= Аpе^pt

i_R2 св.(t)= Ае^pt => LАpе^pt + R₂Ае^pt = 0

Отсюда: p = ; подставив значения, получим: p = -0,66 (c^-1)

2б) Найдём постоянную интегрирования A, для этого воспользуемся

первым законом коммутации: i_L (-0) = i_L (+0)

Для этого найдём ток до коммутации в установившемся режиме:

i_R2(-0) = U/R₂

Подставим известные величины:

i_R2(0) = 12/2 = 6 (A)

Теперь можно найти постоянную А:

i_R2(-0)= 6 = i_R2(+0)=i_R2 св.(+0)+ i_R2 пр.(+0)=А;

А = 6 (А)

3) Запишем полное решение для переходного процесса в данной схеме:

i_R2(t)=i_R2 св.(t) + i_R2 пр. (t) = =e^-Rt/L =6e^-2t/3 (А)

4) Построим график:

Ток через индуктивность экспоненциально убывает до нулевого значения, в полном соответствии с первым законом коммутации

Семинар № 2

Задача 1.

Дано: принципиальная электрическая схема.

Найти: U_c(t) классическим методом

Решение:

Рассчитаем переходной процесс в схеме RС.

1. Запишем уравнения по 2- ому закону Кирхгофа для мгновенного значения:

U_R2 + U_c – U=0 =>

R₂i_С + U_c – U=0 =>

• это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами .

2) Определим U_С(t) после коммутации:

U_С(t) = U_{С пр}(t) + U_{С св}(t)

Так как после коммутации в установившемся режиме цепь замкнута и конденсатор может зарядиться до напряжение на постоянном источнике напряжения:

U_{С пр}(t) = U

До коммутации цепь была разомкнута, поэтому

3) Определим U_{С св}(t):

Найдём свободную составляющую тока U_С св(t), решив однородное уравнение:

3a)Решение будем искать в виде: U_С св(t) = Ае^pt при начальных условиях U_C св.(0)= А.

p – показатель экспоненциальной функции и определяется следующим образом:

= Аpе^pt

U_{С св}(t) = Ае^pt =>

R ₂ CАpе^pt + Ае^pt = 0

Отсюда: p = -1/( R ₂C)

τ = -1/p = R ₂C

3б) Найдём постоянную интегрирования A, для этого воспользуемся вторым законом коммутации: U_c (-0) = U_c (+0)

U_C (-0)=0=U_{C пр} (+0)+U_{C св} (+0)=U+A=0 =>

А = -U

4) Запишем полное решение для переходного процесса в данной схеме:

U_C(t) = U_{C пр}(t) + U_{C св}(t) = U – U e^-t/(C*R2)

5) Построим график функции U_c(t):

Напряжение на емкости экспоненциально возрастает до установившегося значения, в полном соответствии со вторым законом коммутации

Задача 2.

Дано: принципиальная электрическая схема; конденсатор заряжен до U_0.

Найти: U_С(t) классическим методом

Решение:

Рассчитаем переходной процесс в схеме RС.

1) По условию напряжение на конденсаторе до коммутации: U₀, поэтому:

U_С(-0) = U₀

U = U₀

2) Рассмотрим цепь после замыкания:

Запишем уравнение для данной цепи:

U_R2 + U_c = 0 =>

U_С + CR₂ = 0

U_{С пр} = 0 так как после коммутации в установившемся режиме конденсатор разрядится до значения 0.

3. Найдём U_{С св}(t):

3a)Решение будем искать в виде: U_{С св}(t) = Ае^pt при начльных условиях: U_{С св}(0) = А

p – показатель экспоненциальной функции и определяется следующим образом:

= Аpе^pt

U_{С св}(t) = Ае^pt =>

Ае^pt + CR₂Аpе^pt = 0

Отсюда p = -1/(CR₂)

3б) Найдём постоянную интегрирования A, для этого воспользуемся вторым законом коммутации: U_c (-0) = U_c (+0)

До коммутации U_С(-0) = U₀, U_пр (+0) = 0 =>

U_С (-0) = U_{С пр}(+0) + U_{С св}(+0) = 0+ A = U₀ =>

А = U₀

3. Запишем полное решение для переходного процесса в данной схеме:

U_С(t) = U_{С пр}(t) + U_{С св}(t) = 0 + Ue^-t/CR2 = Ue^-t/CR2

5) Построим график, характеризующий переходной процесс в данной схеме:

Напряжение на гэкспоненциально убывает до установившегося значения, в полном соответствии со вторым законом коммутации

Семинар № 3

Задача 1.

Д ано: принципиальная электрическая схема.

Найти: i_R4(t) операторным методом

Решение:

1. Рассмотрим данную схему до коммутации в установившемся режиме. Найдём U_С(-0) и i_R4(-0):

i_R4(-0)=E/(R₂+R₄)=12/2,5 = 4.8 (А)

U_С(-0)=E-R₂i_R4(-0)=12-0.5*4.8=9.6 (В)

2. Составим операторную схему замещения после коммутации.

Ток i_R4(p) будем искать методом контурных токов:

В контуре I течёт ток I₁, а в контуре II – I₂, тогда:

I₁(R₂ + Lp) + I₂R₂ =E/p + Li_R2(-0)

I₂(1/Cp + R₃ +R₂) + I₁R₂ = E/p – U_С(-0)/p

Подставим известные величины:

I₁(0.5 + 0.25p) + 0.5I₂ = 12/p + 1,2

I₂(1+ 5/p) + 0.5I₁ = 12/p – 9,6/p

I₂ = (2,4/p-0.5I₁)/(1+ 5/p)

I₁ =

3. Проверка:

3а) степень числителя = 2, степень знаменателя = 3

3б) Порядок переходного процесса = 2 ( так как в цепи 2 накопительных элемента)

3в) p(p² + 6p +10) = 0

p=0

p₁ = - 3 – j,

p₂ = - 3 + j

4. Находим оригинал i_R4(p):

i_R4(t) = M(0)/N^’(0) + 2Re(M(p₁)/N^’(p₁)e^(-3-j)*t), где

M(p) = 4(1.2p² + 16.8p +60)

N^’(p) = 3p² + 12p +10 =>

i_R4(t) = 24 + 2Re((76.8-38.4j)e^(-3-j)t/(-2+6j)) =

24+ 19.2e^-3t (А)

5. П остроим график:

Ток через индуктивность экспоненциально возрастает до установившегося значения, в полном соответствии с первым законом коммутации

Задача 2

Дано: принципиальная электрическая схема.

Найти: Uc(t) операторным методом

Решение:

1) Рассмотрим данную схему до коммутации в установившемся режиме. Найдём U_С(-0) и i_L(-0):

Так как до коммутации ветвь с индуктивностью разомкнута, то

i_L(-0) = 0

Конденсатор сможет зарядиться до максимального значения, т.е. до значения напряжение на источнике напряжение:

U_c(-0) = E = 50 В.

Составим операторную схему замещения после коммутации:

Ток i_L(p), будем искать методом контурных токов.

Пусть в контуре 1 течёт ток I₁, а в контуре 2 – ток I₂, тогда

I₁(Lp+R₂) + I₂R₂ = E/p

I₂(1/Cp + R₂+ R₁) + I₁R₂ = E/p - U_c(-0)/p

Подставим известные величины:

I₁(p+5) + 5I₂ = 50/p

I₂(6.25/p +6.25) + 5I₁= 0

I₂ = -5I₁/(6.25/p+6.25) = -0.8I₁p/(1+p)

I₁ = 50(p+1)/(p(p² + 2p +5))

Uc(p) = I₂/Cp=-5I₁/(1+p)=-250/(p(p² + 2p +5))

3) Проверка:

3а) степень числителя = 0, степень знаменателя = 3

3б) Порядок переходного процесса = 2 ( так как в цепи 2 накопительных элемента)

3в) p(p² + 2p +5) = 0

p=0

p1 = -1 – 2j

p2 = -1 + 2j

3г) lim(-250)/(p² + 2p +5) = -50 - Uc установив.

^{p→ 0}

3д) lim(-250)/(p² + 2p +5) = 0 - i(+0)

^p→∞

4) Находим оригинал i_L (p):

i_L(t)=M(0)/N^’(0) + 2Re(M(-1–2j)/N^’(-1–2j)e^(-1-2j)t), где

M(p) = -250

N^’(p) = 3p² + 4p +5 =>

i_L(t) = -50 + 2Re(10je^(-1-2j)t/(-2–j)) =

-50 +50cos2te^-t (В)

П остроим график:

Н апряжение на конденсаторе экспоненциально убывает до нулевого значения, в полном соответствии с первым законом коммутации. Колебания возникают из-за наличия в сети колебательного контура.