9. Решение модельной задачи
В качестве модельной задачи возьмём
.
Тогда уравнение примет вид:
Произведём соответствующие установки в настроечном блоке главного м-файла (src/main.m):
a = 1;
L = 1;
T = 1;
dx = 0.02;
dt = 0.02;
bnd_x0 = 0;
bnd_0t = 0;
Приведём результаты решения этой задачи разными схемами:
-
Шаг
Явная схема (JLike)
Неявная схема (quad)
,
0.248690
0.045566
0.003588
0.001241
,
0.125333
0.022931
0.000900
0.000316
,
0.062791
0.011505
0.000225
0.000080
По результатам таблицы видно, что алгоритм реализован корректно с большой достоверностью. Также из таблицы видно, что порядок аппроксимации явного метода – первый, а неявного – второй.
Приведём несколько графиков решения модельной задачи:
Ниже можно наблюдать ситуацию, когда условие устойчивости нарушено:
10. Решение поставленной задачи
Решить уравнение:
,
,
Приведём графики решения задачи для
различных методов при
,
:
Теперь самое интересное – исследуем сходимость решения по сетке. Для этого будем менять шаг от 0.08 до 0.005 по каждой переменной уменьшая его в два раза:
-
Шаг сетки 1
Шаг сетки 2
Явный уголок
Неявный квадрат
0.08, 0.08
0.04, 0.04
0.0261
6.4554e-004
0.04, 0.04
0.02, 0.02
0.0106
1.6197e-004
0.02, 0.02
0.01, 0.01
0.0047
4.0530e-005
0.01, 0.01
0.005, 0.005
0.0022
1.0135e-005
Приведём также таблицы решений.
Для явной схемы:
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0.0096 0.0161 0.0226 0.0292 0.0358 0.0424 0.0491
0 0 0.0129 0.0291 0.0422 0.0554 0.0688 0.0823 0.0960
0 0 0.0162 0.0357 0.0587 0.0788 0.0991 0.1197 0.1405
0 0 0.0194 0.0424 0.0690 0.0991 0.1265 0.1544 0.1827
0 0 0.0228 0.0492 0.0793 0.1133 0.1511 0.1864 0.2224
0 0 0.0261 0.0560 0.0899 0.1277 0.1697 0.2158 0.2596
Для неявной схемы:
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0.0048 0.0112 0.0177 0.0241 0.0306 0.0371 0.0437 0.0502
0 0.0080 0.0193 0.0323 0.0453 0.0585 0.0717 0.0850 0.0984
0 0.0112 0.0258 0.0438 0.0635 0.0835 0.1036 0.1239 0.1445
0 0.0145 0.0324 0.0538 0.0787 0.1056 0.1328 0.1604 0.1883
0 0.0177 0.0390 0.0639 0.0925 0.1248 0.1593 0.1943 0.2299
0 0.0210 0.0457 0.0741 0.1065 0.1427 0.1830 0.2257 0.2692