Московский Государственный Институт Электронной Техники

( Технический Университет )

Курсовая работа: «Численное решение разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу».

Вариант 28

Выполнил: Покровский А.С.

Группа: МП-34

Проверил: Лисовец Ю.П.

Москва 2005 г.

Поставленная задача

Решить уравнение:

,

,

Выполнение работы

1. Классификация задачи

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка относительно неизвестной функции двух независимых переменных:

где a,b,c,d,e,f,g- известные функции отxиy, в частности, константы. В этом случае получаем уравнение с постоянными коэффициентами. Если, то уравнение однородное. Пусть- дискриминант квадратичной формы, соответствующей дифференциальному оператору второго порядка в левой части уравнения. В зависимости отDуравнение в точкеможет быть:

- параболическим, если

- гиперболическим, если

- эллиптическим, если

В нашей задаче почти все коэффициенты нулевые константы, кроме и,., следовательно, мы имеем дело с параболическим уравнением.

2. Постановка задачи

При математическом описании физического процесса надо, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения имеют бесчисленное множество решений, поэтому для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия. Они формулируются в виде так называемых краевых и начальных условий, которые зависят от типа уравнения.

Общая формулировка задачи звучит так: найти функцию , удовлетворяющую во внутренних точках- области изменения независимых переменных - некоторому уравнению (системе) в частных производных, а на участках границы- необходимым условиям, обеспечивающим корректность задачи (решение существует, единственно и устойчиво по отношению к малым возмущениям входных данных).

Можно выделить два типа постановки задачи: задача Коши и краевая задача.

Задача Коши (задача с начальными условиями) имеет дополнительные условия вида ,т.е. заданы значения всех функций в одной и той же точке. Это условие можно рассматривать как задание координат начальной точкиинтегральной кривой вмерном пространстве. Решение при этом обычно требуется найти на некотором отрезке(или), так что точкуможно считать начальной точкой этого отрезка.

Краевая задача – это задача отыскания частного решения системы ,, на отрезке, в которой дополнительные условия налагаются на значения функцийболее чем в одной точке этого отрезка. Очевидно, что краевые задачи возможны для систем порядка не ниже второго.

Как видно из условия, поставленная задача является краевой.

- значение функциив момент времени

- значение функциив точке

В контексте решения уравнения переноса, такую задачу также называют смешанной задачей кошис заданными начальнымии граничнымиусловиями. В общем виде эти условия обычно записывают следующим образом:

,

,

Тогда решение задачи однозначно определено в области .