3. Физическая интерпретация

Потребность решать линейные дифференциальные уравнения исходит из физики, в которой эти уравнения описывают различные физические процессы. Например:

- уравнение переноса

- уравнение теплопроводности (или диффузии)

- уравнение Пуассона

Численное решение подобных уравнений играет немаловажную роль в современной физике.

Решаемое уравнение является уравнением переноса. Такие уравнения являются решением задач о распространении частиц в веществе: определение нейтронных потоков в реакторе, теплопроводности в газах, обусловленной диффузией атомов и электронов и т.д. Параметр обычно называют скоростью.

4. Сетки и сеточные функции

Метод сеток состоит в сведении решения краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений для так называемой сеточной функции. Для этого область G непрерывного изменения аргумента заменяется областью дискретного его изменения. Дифференциальный оператор заменяется некоторым разностным оператором. Краевые и начальные условия заменяются на соответствующие разностные аналоги. Выберем в области, где ищется решение дифференциального уравнения, некоторое конечное множество точек, в которых и будем искать решение уравнения. Ясно, что чем больше мы возьмем таких точек, тем точнее решим уравнение. Множество таких точек называется сеткой, отдельные точки – узлами сетки. Функция , , определённаяв узлах сетки, называется сеточной функцией.

Введём в расчётной области множество узлов сетки:

- шаг сетки по координате

- шаг сетки по времени

- кол-во слоёв по координате

- кол-во слоёв по времени

Искомыми величинами будем считать компоненты сеточной функции .

5. Разностная аппроксимация

Пусть дан линейный дифференциальный оператор , действующий на функцию. Заменяя входящие впроизводные разностными отношениями, получим вместоразностное отношение, являющееся линейными комбинациями значений сеточной функциина некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном. Такая приближенная заменананазывается аппроксимацией дифференциального оператора разностным оператором (или разностной аппроксимацией оператора).

Изучение разностных аппроксимаций оператора вначале проводят локально, т.е. в любой фиксированной точкеобласти. Прежде чем приступить к разностной аппроксимации оператора необходимо выбрать шаблон, т.е. указать множество соседних с узломузлов, в которых значения сеточной функциимогут быть использованы для аппроксимации оператора.

Рассмотрим оператор, соответствующий первой производной :

- правая разность

- левая разность

- центральная разность

- линейная комбинация первых двух разностей, где

Таким образом, можно написать бесчисленное множество разностных выражений, аппроксимирующих . Возникает вопрос, какую ошибку мы допускаем, используя ту или иную разностную аппроксимацию, и как ведет себя разностьпри. Величинаназывается погрешностью разностной аппроксимациив точке.

В предположении, что имеет нужное количество производных, разложим ее по формуле Тейлора:

Получаем:

Рассмотрим некоторый дифференциальный оператор и оператор, преобразующий сеточную функциюв сеточную функцию, заданную на. Сеточная функцияназывается погрешностью аппроксимации оператораразностным операторомв сеточном пространстве, где. Еслипри, то говорят, что разностный оператораппроксимирует дифференциальный оператор. Если при этом, то разностный оператораппроксимирует дифференциальный операторс порядком.

Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение и дополнительные условия, называется разностной схемой или разностной задачей. Погрешность аппроксимации разностной схемы складывается из погрешности аппроксимации дифференциального оператора разностным оператором и погрешности аппроксимации краевых и начальных условий.