2. Метод сеток.

Метод сеток состоит в сведении решения краевой задачи к решению алгебраических уравнений для так называемой сеточной функции. Для этого область G непрерывного изменения аргумента заменяется областью дискретного его изменения. Дифференциальный оператор заменяется некоторым разностным оператором. Краевые и начальные условия заменяются на соответствующие разностные аналоги. Выберем в области, где ищется решение дифференциального уравнения, некоторое конечное множество точек, в которых и будем искать решение уравнения. Ясно, что чем больше мы возмем таких точек, тем точнее решим уравнение. Множество таких точек называется сеткой, отдельные точки – узлы сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

Пусть ω_h – сетка в некоторой области G, H_h – линейное пространство сеточных функций, заданных на ω_h ; H₀ –линейное пространство гладких функций (x) ; - норма в H₀ ; - норма в H_h. Предполагается, что:

1. существует оператор проектирования P_h такой, что

P_h=_hH_h для любого H₀

2. нормы и согласованы, т. е.

||P_h || =

Рассмотрим некоторый дифференциальный оператор λ, заданный в H₀, и оператор λ_h, преобразующий сеточную функцию _h в сеточную функцию λ_hh, заданную на ω_h.

Погрешностью аппроксимации оператора λ разностным оператором λ_h называется сеточная функция ψ_h = λ_hh – (λ)_h, в сеточном пространстве H_h , где _h= P_h, (λ)_h= P_h(λ), - любая функция из H₀. Если при этом

|| ψ_h ||_h= ||λ_hh - (λ)_h||_h = O(h^m), то разностный оператор λ_h аппроксимирует дифференцальный оператор λ с порядком m>0.

При формулировке соответствующей разностной задачи необходимо аппроксимировать не только дифференциальное уравнение, но и краевые и начальные условия.

Порядок выполнения работы.

1. Классификация краевой задачи и её физический смысл

(*)

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка такого вида относится к уравнениям параболического типа. Данное уравнение описывает распределение тепла в однородном стержне длины 1 в зависимости от времени. Здесь переменная у имеет физический смысл времени, поэтому в дальнейшем будет рассматриваться такая задача:

(**)

где и;

Так как общий вид уравнения теплопроводности имеет вид:

Для нашего случая можно записать:

(***)

В данной задаче начальные и граничные условия имеют следующий смысл.

Начальное условие задает распределение температуры на всём стержне в момент времени.

Граничное условие 3-го рода говорит о том, что на правом конце стержня по закону Ньютона происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой в нашем случае зависит от времени и изменяется по указанному закону.

Граничное условие означает, что температура на левом конце стержня зависит от времени и изменяется по указанному закону.

2. Выбор сеточного шаблона и составление системы уравнений для неявной разностной схемы