- •Московский Государственный Институт Электронной Техники
- •2.1 Аппроксимация дифференциального уравнения
- •2.2 Аппроксимация 1-го начального условия.
- •2.3 Аппроксимация 1-го граничного условия.
- •2.4 Аппроксимация 2-го начального условия.
- •Решение задачи с помощью неявной разностной схемы.
- •Результаты работы.
- •Неявная схема
- •. Анализ полученных данных
- •Список использованной литературы :
Московский Государственный Институт Электронной Техники
( Технический Университет )
Курсовая работа по теме :
Численные методы решения разностных уравнений математической физики
Вариант №6.
Выполнил: Гончаров Е.
Группа: МП-31
Руководитель: Хахалин С.Я.
МОСКВА 2000 г.
Постановка задачи.
Задание:получить приблизительное решение данной краевой задачи уравнения в частных производных математической физики методом сеток.
Данное уравнение является уравнением гиперболического типа и физически отражает процесс колебания струны. Искомое решение U(x,y) - вертикальное отклонение струны в точке x в момент времени t.
Данная краевая задача состоит в нахождении функции U(x,y), удовлетворяющей уравнению, а также заданным начальным и граничным условиям.
Граничное условие рода определяет закон движения правого конца струны так называемое условие «упругого закрепления».Для левого конца в качестве граничного условия задано условие
Начальные условия изадают начальную форму струны и распределение скоростей в начальный момент времени.
Функция f(x,t) имеет смысл плотности внешней силы, рассчитанной на единицу длины.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
В явной разностной схеме значение сеточной функции на последующем слое полностью определяется значением её на предыдущем слое по рекуррентным формулам. В данной задаче аппроксимацию дифференциальных операторов проведём по следующим шаблонам
2.1 Аппроксимация дифференциального уравнения
Для сведения задачи к явной разностной схеме используем шаблон " крест".
Получаем конечно-разностную систему :
Обозначим и выразим через остальные значения сеточной функции,
входящие в уравнение:
i = 1,.....,m-1;
j = 1,.....,n-1.
Это уравнение должно выполняться для всех внутренних узлов сетки . Для того чтобы система стала полностью определенной , необходимо дополнить ее уравнениями получаемыми из аппроксимации краевых и начальных условий.
2.2 Аппроксимация 1-го начального условия.
(2)
2.3 Аппроксимация 1-го граничного условия.
Для получения, используем граничное условие третьего рода , получим
2.4 Аппроксимация 2-го начального условия.
(4)
Формула (4) используется на начальном этапе для вычисления значения функции U на первом слое, по известным значениям функции на нулевом слое и на границе .
Аппроксимация 2-го граничного условия.
Итак при и определены. Включается рекуррентная процедура.
Порядок аппроксимации данной разностной схемы .
Устойчивость решения.
Для уравнений гиперболического типа метод спектральных гармоник
приводит к следующему условию устойчивости:
(7),
т.е. если это условие устойчивости не будет выполнено, то в процессе рекуррентного решения возможно накапливание ошибок от слоя к слою.
Отсюда, в частности, получаем для явной схемы () условие устойчивости Куранта-Леви:.