Московский Государственный Институт Электронной Техники

( Технический Университет )

Курсовая работа по теме :

Численные методы решения разностных уравнений математической физики

Вариант №11.

Выполнил: Горчицын Ю.А.

Группа: МП-35

Руководитель: Лесин В.В.

МОСКВА 2000 г.

1. Методические указания и постановка задачи.

1. Тема.

Приближенное решение краевых задач математической физики методом сеток.

1.1 Цель работы.

Изучить основные понятия теории конечно-разностных методов решения краевых задач математической физики и уметь применять их на практике. Численное решение задачи осуществляется на персональной ЭВМ в среде MATLAB. Преимущество использования этой cреды — богатый набор командных программ, реализующих большинство стандартных задач линейной алгебры и методов оптимизации, а также статистической обработки результатов. MATLAB обладает также хорошими графическими возможностями отображения результатов.

1.2 Порядок работы.

1. Познакомиться с основными понятиями метода сеток и методикой численного решения разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу. Наиболее полно все основные понятия метода сеток изложены в [1,2]. Достаточной теоретической базой может служить методическое пособие [3].

2. Классифицировать уравнение и проверить корректность постановки данной в варианте краевой задачи и соответствие её физическому смыслу.

3. Разобраться с методикой построения явных и неявных разностных схем конечно-разностных систем для данного типа уравнения.

4. Разобраться с устойчивыми методами решения явной и неявной схем.

5. Реализовать программу, осуществляющую решение в среде MATLAB.

6. Получить численные результаты для своего варианта. Оформить их в виде таблиц, построить необходимые кривые и поверхности уровней, иллюстрирующие решение задачи.

7. Оформить курсовую работу в соответствии с общим требованиями к курсовым работам. В теоретической части должны быть кратко освещены следующие вопросы:

• Классификация уравнения. Вскрыть физический смысл тех явлений, которые описываются данной математической постановкой задачи.

• Корректная постановка: граничные и начальные условия и их соответствие физическому смыслу.

• Понятия: сеточный шаблон, порядок аппроксимации разностных схем, сходимость, устойчивость решения.

• Выбор шагов сетки и оценка погрешности метода.

Постановка задачи.

Задание: получить приблизительное решение данной краевой задачи уравнения в частных производных математической

физики методом сеток.

Данное уравнение является уравнением гиперболического типа и физически отражает процесс колебания струны. Искомое решение U(x,y) - вертикальное отклонение струны в точке x в момент времени t.

Данная краевая задача состоит в нахождении функции U(x,y), удовлетворяющей уравнению, а также заданным начальным и граничным условиям.

Граничное условие рода определяет закон движения правого конца струны так называемое условие «упругого закрепления».Для левого конца в качестве граничного условия задано условие

Начальные условия и задают начальную форму струны и распределение скоростей в начальный момент времени.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

В явной разностной схеме значение сеточной функции на последующем слое полностью определяется значением её на предыдущем слое по рекуррентным формулам. В данной задаче аппроксимацию дифференциальных операторов проведём по следующим шаблонам

2.1 Аппроксимация дифференциального уравнения

Для сведения задачи к явной разностной схеме используем шаблон " крест".

Получаем конечно-разностную систему :

Обозначим и выразим через остальные значения сеточной функции,

входящие в уравнение:

(1)

i = 1,.....,m-1;

j = 1,.....,n-1.

Уравнение (1) должно выполняться для всех внутренних узлов сетки . Для того чтобы система стала полностью определенной , необходимо дополнить ее уравнениями получаемыми из аппроксимации краевых и начальных условий.

2.2 Аппроксимация 1-го начального условия.

(2)

2.3 Аппроксимация 1-го граничного условия.

Аппроксимация краевого условия второго рода используется только для нахождения решения на границе i=0 в явном виде:

(3)

2.4 Аппроксимация 2-го начального условия.

Найдем U(i,1) из (1) при j=0:

(4)

Значение в узле U(i,-1) найдем с помощью «фиктивного узла» :

подставим в формулу (4):

(5)

Формула (5) используется на начальном этапе для вычисления значения функции U на первом слое, по известным значениям функции на нулевом слое и на границе .

5. Аппроксимация 2-го граничного условия.

Для более точного аппроксимирования 2-го граничного условия разложим в окрестности точки (1,y ) по формуле Тейлора:

Используя уравнение краевой задачи и второе граничное условие получаем:

Перейдя к конечным разностям, записываемыми в узле , получаем:

(6)

Выражая из него получаем:

(7)

Найдем необходимую точку. Из (4) , при

Откуда -

(8)

Из (7) , при :

Откуда -

(9)

Из (1) , при

(10)

Итак при и определены. Включается рекуррентная процедура.

Порядок аппроксимации данной разностной схемы .

Устойчивость решения.

Для уравнений гиперболического типа метод спектральных гармоник

приводит к следующему условию устойчивости:

(11),

т.е. если это условие устойчивости не будет выполнено, то в процессе рекуррентного решения возможно накапливание ошибок от слоя к слою.

Отсюда, в частности, получаем для явной схемы () условие устойчивости Куранта-Леви: .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ НЕЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ.

Рассмотрим снова краевую задачу . Для аппроксимации уравнения используем Т-образный пятиточечный шаблон . Уравнение аппроксимируется следующими уравнениями :

3.1 Аппроксимация дифференциального уравнения

Обозначим и запишем (1) к виду удобному для применения метода прогонки:

3.2 Аппроксимация 1-го начального условия

(3)

3.3 Аппроксимация 1-го граничного условия

(4)

3.4 Аппроксимация 2-го начального условия

Для более точного аппроксимирования 2-го начального условия разложим в окрестности точки по формуле Тейлора и используя 1-ое и 2-ое начальное условия перейдем к конечным разностям:

(5)

Эта формула отличается от аналогичной для явной схемы тем, что аппроксимация разностной производной второго порядка по производится на первом слое, а не на нулевом. Запишем (5) к виду удобному для применения метода прогонки:

(6)

5. Аппроксимация 2-го граничного условия.

Применяя метод “фиктивного” узла [2] Пример 2.8 получаем :

При

(7)

При

3.6 Вычисления прогоночных коэффициентов

Сначала найдем на слое . Определим прогоночные коэффициенты.

Учитывая 1-ое граничное условие и уравнение (6) получаем:

a_i = b_i =

C_i = 1 +

f_i =

b₀ = 0, C₀ = 1, f₀ =

Теперь вычислим граничные прогоночные коэффициенты

a_M =0, C_M = 1, f_M = .

Методом прогонки находим где ;

Теперь зная значения находим где

Используя уравнение (2) находим прогоночные коэффициенты:

a_i = b_i =

C_i = 1 +

f_i = 2U_i,j - U_i,j-1

b₀ = 0, C₀ = 1, f₀ = .

Теперь вычислим граничные прогоночные коэффициенты

a_M =0, C_M = 1,

f_M =.

Методом прогонки находим где;

Результаты работы:

Явная схема

Неявная схема

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ :

1. В.Г. Долголаптев, В.Н. Земсков. Численные методы решения разностных

уравнений математической физики. Методические указания к курсовой работе

по высшей математике., МИЭТ 1987.

2. В.Н. Земсков, С.Я. Хахалин. Метод сеток. Методические указания к выоплнению курсовой работы на персональном компьютере., МИЕТ 1998.