Рассмотрим
теперь порядок аппроксимации, который
обеспечивает данная разностная схема.
Анализ самой разностной схемы с выбранным
шаблоном характеризуется погрешностью,
с которой аппроксимирована функция
,
начального условия (было аппроксимировано
точно), и погрешность аппроксимации
граничных условий
.
Таким образом, точность аппроксимации
всей схемы не превышает этого значения.
Устойчивость и корректность метода
прогонки обеспечивается при условии
выполнения следующей теоремы:
Если коэффициенты системы уравнений метода прогонки удовлетворяют следующие условия
Причем хотя бы одно из неравенств {1} или {2} является строгим. Тогда для метода прогонки, имеют место неравенства
Г
арантируют
корректность и устойчивость метода
прогонки.
5. Анализ полученных данных
Рассмотрим теперь численные данные, полученные с применением приведённых выше программ. Для оценки сходимости при увеличении числа узлов сетки был применён следующий метод. Матричная норма для матриц различной размерности бралась по обычным формулам для матрицы Q размерности NxM:
Q(i,j)=| U1(i,j)-U2(i/op1,j/op2) |
где U1 и U2 матрицы размерности NxM и N1xM1, op1=N/N1, op2=M/M2, N<N1, M<M1
Т.е. элементами матрицы Q(i,j) были разности значений функции для совпадающих узлов различных матриц.
В результате была получена следующая таблица:
|
Размерности Матриц |
10x10 20x20 |
20x20 40x40 |
40x40 80x80 |
|
Норма |
2.2055 |
0.9881 |
0.4917 |
Полученные данные говорят о том, что при уменьщении шага сетки норма матрицы Q уменьшается, что, в свою очередь ,говорит о том, что задача решаемая этим методом корректна и устойчива.
К графикам явной и не явной схем :
Графики построены при значенияx X =
1 - 0.01 ; 2 - 0.2 ; 3 - 0.4 ; 4 - 0.6 ; 5 - 0.8 ; 6 - 1.0
H=1/11. Т.е с шагом = 0.2
Размерность матриц 100*110
Таблица 1.Матрица решений полученная явным методом разносного решения.
|
|
T=0 |
t=0.1 |
t=0.2 |
t=0.3 |
t=0.4 |
T=0.5 |
t=0.6 |
t=0.7 |
t=0.8 |
t=0.9 |
t=1.0 |
|
x=0 |
20.0000 |
18.0201 |
12.5557 |
4.9287 |
-2.9803 |
-9.1421 |
-11.8211 |
-9.9538 |
-3.3803 |
7.1202 |
20.0000 |
|
x=0.1 |
27.0999 |
24.3681 |
16.8116 |
6.2084 |
-4.9122 |
-13.8210 |
-18.1835 |
-16.5693 |
-8.7633 |
4.1869 |
20.2025 |
|
x=0.2 |
28.7360 |
25.8913 |
18.0207 |
6.9707 |
-4.6322 |
-13.9535 |
-18.5689 |
-16.9929 |
-9.0019 |
4.3191 |
20.8045 |
|
x=0.3 |
24.6825 |
22.3885 |
16.0503 |
7.1801 |
-2.0705 |
-9.3800 |
-12.7626 |
-11.0014 |
-3.9103 |
7.6158 |
21.8055 |
|
x=0.4 |
16.0408 |
14.8413 |
11.5478 |
7.0090 |
2.4323 |
-0.8795 |
-1.8123 |
0.3201 |
5.6165 |
13.5762 |
23.2053 |
|
x=0.5 |
5.0000 |
5.2000 |
5.8000 |
6.8000 |
8.2000 |
10.0001 |
12.2033 |
14.8057 |
17.8066 |
21.2060 |
25.0039 |
|
x=0.6 |
-5.6408 |
-4.0413 |
0.4522 |
6.9910 |
14.3677 |
21.2828 |
26.6180 |
29.6898 |
30.3952 |
29.2344 |
27.2017 |
|
x=0.7 |
-13.0825 |
-10.3885 |
-2.8503 |
8.0200 |
20.0738 |
30.9856 |
38.7692 |
42.2075 |
41.1175 |
36.3909 |
29.7991 |
|
x=0.8 |
-15.1360 |
-11.8913 |
-2.8207 |
10.2326 |
24.6378 |
37.5601 |
46.5749 |
50.1968 |
48.2031 |
41.6822 |
32.7967 |
|
x=0.9 |
-10.6999 |
-7.5681 |
1.1916 |
13.7972 |
27.7188 |
40.2270 |
48.9875 |
52.5703 |
50.7613 |
44.6088 |
36.1950 |
|
x=1.0 |
0 |
2.3831 |
9.0499 |
18.6779 |
29.3863 |
39.1461 |
46.2222 |
49.5518 |
48.9759 |
45.2741 |
39.9944 |
Таблица 2.Матрица решений полученная неявным методом разносного решения.
|
|
T=0 |
t=0.1 |
t=0.2 |
t=0.3 |
t=0.4 |
T=0.5 |
t=0.6 |
t=0.7 |
t=0.8 |
t=0.9 |
t=1.0 |
|
x=0 |
20.0000 |
18.0201 |
12.5557 |
4.9287 |
-2.9803 |
-9.1421 |
-11.8211 |
-9.9538 |
-3.3803 |
7.1202 |
20.0000 |
|
x=0.1 |
27.0999 |
24.3898 |
16.9458 |
6.5391 |
-4.3661 |
-13.1292 |
-17.4989 |
-16.0932 |
-8.6892 |
3.7353 |
19.2117 |
|
x=0.2 |
28.7360 |
25.9141 |
18.1800 |
7.4154 |
-3.8376 |
-12.8944 |
-17.4799 |
-16.2040 |
-8.8450 |
3.6090 |
19.1679 |
|
x=0.3 |
24.6825 |
22.4072 |
16.1815 |
7.5621 |
-1.3439 |
-8.3613 |
-11.6784 |
-10.2009 |
-3.7718 |
6.7964 |
19.8995 |
|
x=0.4 |
16.0408 |
14.8518 |
11.6214 |
7.2243 |
2.8528 |
-0.2650 |
-1.1438 |
0.7804 |
5.5493 |
12.6858 |
21.3140 |
|
x=0.5 |
5.0000 |
5.2000 |
5.8000 |
6.8000 |
8.2000 |
9.9972 |
12.1638 |
14.6248 |
17.2992 |
20.1564 |
23.2459 |
|
x=0.6 |
-5.6408 |
-4.0518 |
0.3786 |
6.7757 |
13.9454 |
20.6335 |
25.7733 |
28.6883 |
29.2314 |
27.8512 |
25.5286 |
|
x=0.7 |
-13.0825 |
-10.4072 |
-2.9815 |
7.6370 |
19.3171 |
29.8035 |
37.1983 |
40.3686 |
39.1763 |
34.4986 |
28.0606 |
|
x=0.8 |
-15.1360 |
-11.9141 |
-2.9802 |
9.7625 |
23.6887 |
36.0250 |
44.4613 |
47.6560 |
45.5188 |
39.2050 |
30.8453 |
|
x=0.9 |
-10.6999 |
-7.5896 |
1.0367 |
13.3210 |
26.7076 |
38.5193 |
46.5537 |
49.5668 |
47.5363 |
41.6462 |
33.9919 |
|
x=1.0 |
0 |
2.3671 |
8.9135 |
18.2238 |
28.3794 |
37.3995 |
43.6879 |
46.3847 |
45.5455 |
42.1111 |
37.6669 |
Модельная задача .
Таблица 3.Матрица разности приближенных решений модельной задачи по явной и неявной .
|
|
T=0 |
t=0.1 |
t=0.2 |
t=0.3 |
t=0.4 |
T=0.5 |
t=0.6 |
t=0.7 |
t=0.8 |
t=0.9 |
t=1.0 |
|
x=0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
x=0.1 |
0 |
0.0175 |
0.0249 |
0.0412 |
0.0606 |
0.0836 |
0.1107 |
0.1427 |
0.1782 |
0.3490 |
0.1262 |
|
x=0.2 |
0 |
0.0249 |
0.0615 |
0.0854 |
0.1247 |
0.1713 |
0.2262 |
0.2895 |
0.5022 |
0.4583 |
0.4860 |
|
x=0.3 |
0 |
0.0411 |
0.0854 |
0.1470 |
0.1960 |
0.2613 |
0.3504 |
0.5978 |
0.6813 |
0.5481 |
0.5027 |
|
x=0.4 |
0 |
0.0603 |
0.1244 |
0.1959 |
0.2912 |
0.3757 |
0.6530 |
0.5588 |
0.6346 |
0.6439 |
0.8192 |
|
x=0.5 |
0 |
0.0832 |
0.1707 |
0.2667 |
0.3754 |
0.6955 |
0.4982 |
0.8338 |
0.6844 |
0.7470 |
0.7902 |
|
x=0.6 |
0 |
0.1102 |
0.2253 |
0.3502 |
0.6907 |
0.7793 |
0.8240 |
0.7349 |
0.9389 |
0.7981 |
0.9007 |
|
x=0.7 |
0 |
0.1420 |
0.2896 |
0.6782 |
0.4456 |
0.8366 |
0.8598 |
0.8879 |
0.8352 |
0.8627 |
0.9031 |
|
x=0.8 |
0 |
0.1792 |
0.6384 |
0.4075 |
0.5581 |
0.8866 |
0.9565 |
0.9863 |
0.9448 |
0.8949 |
0.9105 |
|
x=0.9 |
0 |
0.5814 |
0.2944 |
0.4475 |
0.6047 |
0.8776 |
0.9234 |
0.8501 |
0.9533 |
0.9674 |
0.9756 |
|
x=1.0 |
0 |
0.1313 |
0.4741 |
0.6170 |
0.6790 |
0.8932 |
0.8119 |
0.9340 |
0.8946 |
0.9773 |
0.9861 |
Для приближенного решения модельной задачи испльзовались матрицы
300x450.
Результатом является матрица разности решений .
Модельная функция :
начальные условия :
граничные условия :
Результаты работы:
Явная схема
Неявная схема
