Московский институт электронной техники (Технический университет)

Кафедра Высшей математики - I

Курсовая работа

по курсу «Методы прикладной математики»

Вариант 1.

Выполнил: Архипов П.Н.

Группа: МП-30

Руководитель: Земсков В.Н.

Москва 2000 г.

Постановка задачи и её физическая интерпретация.

Найти с помощью разностных методов решение дифференциального уравнения в частных производных:

Данное уравнение относится к уравнениям эллиптического типа.

Исследование стационарных процессов различной физической природы часто приводит к необходимости решать уравнения эллиптического типа. Простейшим и наиболее распространенным уравнением эллиптического типа является уравнение Пуассона:

Однородное уравнение Пуассона (при f(x,y)=0) называется уравнением Лапласа. Таким уравнением, например, описываются явления электростатики и магнитостатики. В частности, подобным уравнением описывается потенциалU(x,y) электрического поля, образованного объемным зарядом частиц плотностьюf(x,y)

Подобной же установке удовлетворяет задача стационарного двумерного распределения температуры в пластине конечной толщины, если внутри пластины распределены по заданному закону источники (стоки) тепла, описываемые функцией f(x,y) , a на границах поддерживается заданная температура.

Данное уравнение можно интерпретировать как описание распределения температуры в пластине конечной толщины, на всех краях которой поддерживается постоянная во времени температура (на двух краях нулевая, на других двух - описываемая законамиf₁(y)= иf₂(x)=соответственно).

Применение метода сеток при решении уравнения Пуассона.

Метод сеток состоит в сведении решения краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений для так называемой сеточной функции. Для этого область непрерывного изменения аргумента заменяется областью дискретного его изменения _h. Дифференциальный оператор заменяется некоторым разностным оператором. Краевые и начальные условия заменяются на соответствующие разностные аналоги. Выберем в области, где ищется решение дифференциального уравнения, некоторое конечное множество точек, в которых мы будем искать решение уравнения. Ясно, что чем больше мы возьмем таких точек, тем точнее решим уравнение. Множество таких точек называется сеткой, отдельные точки - узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

Пусть дан линейный дифференциальный оператор L, действующий на функцию. Заменяя входящими вL u производные разностными отношениями, получим вместоL u разностное выражениеL_h u_h, являющееся линейной комбинацией значений сеточной функцииu_h на некотором множестве узлов сетки, называемом сеточным шаблоном. Такая приближенная заменаL uнаL_h u_hназывается аппроксимацией дифференциального оператора разностным оператором.

Говорят, что L_h аппроксимирует дифференциальный операторL с порядком аппроксимацииm>0 в точкеx, если

(x)=L_hu(x)-Lu(x)=o(h^m).

Аппроксимируем данное уравнение, используя пятиточечный шаблон "крест".

Аппроксимация дифференциального оператора на этом шаблоне имеет вид: ,

где h₁- шаг сетки по i и h₂ - шаг сетки по j. Погрешность аппроксимации.

Если известна искомая функция U(x,y) в точках:

(i-1,j); (i+1,j); (i,j+1); (i,j-1),

то значение U(x,y) в точке (i,j) может быть приближенно найдено следующим образом:

,

где .

Это уравнение должно выполняться для всех внутренних узлов сетки, т.е. для. Для того, чтобы система стала полностью определенной надо дополнить ее уравнениями, полученными при аппроксимации начальных и граничных условий.

В нашем случае начальные условия аппроксимируются следующим образом:

U_0,j =, U_i,0 = 0, дляi=1..M, j=1..N (левая и нижняя границы),

U_M,j=, U_i,N=0 (правая и верхняя границы соответственно).