2. Выбор сеточного шаблона для неявной разностной схемы

x

t

Рисунок 1

Для простоты вычислений воспользуемся прямоугольной равномерной сеткой с (N+1) узлом на оси OX и (M+1) на оси OY. На данной сетке заменим частные производные разностными операторами и введём сеточную функцию у которая соответствует функции u из пространства непрерывных функций. Для ре-шения задачи с применением неявной разностной схемы воспользуемся Т-образным шаблоном, изображенным на рисунке 1. По данному шаблону составим следующую двухслойную схему:

(1)

Здесь и далее нижний индекс обозначает номер узла сетки по оси X, а верхний — номер слоя (или узел по оси T). Перепишем данную схему в виде удобном для дальнейших вычислений:

(2)

В данной схеме написано меньше уравнений, чем имеется неизвестных u. Недостающие уравнения находим из начальных условий. Уравнение для u₀ непосредственно получаем из начального условия.

(3)

Для нахождения u₀ проведем преобразования граничного условия второго рода. Для аппроксимации разложим в ряд Тейлора функцию в окрестности точки и вычислим значение в т. x=h:

(4)

Заменяя из уравнения теплопроводности, выразим производную при .Затем производную заменим левой разностной производной. В результате получим:

(5)

Для второго граничного условия u(x,t) разложим в ряд Тейлора в окрестности т. (1,t) и вычислим значение в т. x=1-h :

Как и в первом случае,подставляем в выражение вместо ,заменяем ee разностной производной, выражаем при t=.Получаем уравнение:

(6)

Таким образом, сформирована система уравнений, позволяющая найти, зная начальные условия (N+1) неизвестную.

Рассмотрим теперь порядок аппроксимации, который обеспечивает данная разностная схема. Анализ самой разностной схемы с выбранным шаблоном подробно рассмотрен в литературе и на ней я не буду останавливаться более подробно. Погрешность с которой аппроксимируется функция равна .Начальное условие было аппроксимировано точно. Погрешность аппроксимации граничных условий составляет .Таким образом точность аппроксимации всей схемы не превышает этого значения.

Устойчивость, а так же сходимость данной схемы подробно рассмотрены в литературе [2,3] и на них я не буду останавливаться.

3. Выбор сеточного шаблона для явной разностной схемы

x

t

Рисунок 2

Из теории известно, что явные разностные схемы для уравнений параболического типа являются неудачными, так как налагают большие ограничения на значения h и t. Тем не менее, данная схема наиболее просто реализуется на ЭВМ. Для её реализации воспользуемся шаблоном, изображённым на рисунке 2. Значение температуры на (m+1) слое явно выражается через значение температуры на m слое по формуле:

(7)

Порядок аппроксимации данной разностной схемы равен .Как и в предыдущем случае, для нахождения граничных значений функции необходимо аппроксимировать граничные условия. Для начального условия, как и в предыдущей схеме, получается выражение:

Для получения уравнения, описывающего поведение функции на левом конце стержня поступлю следующим образом. Воспользуюсь выражением (5) полученным ранее для неявной разностной схемы и получу .Аналогично, из (6) получаю , т. е.:

Таким образом, составлена явная разностная схема порядок аппроксимации которой, как и в предыдущем случае, равен .

Как и в предыдущем случае, устойчивость и сходимость данной схемы разобраны в литературе. В частности, данная схема устойчива при ,что следует учитывать при выборе числа узлов сетки по осям X и Y.