Московский Государственный Институт Электронной Техники

(Технический Университет)

кафедра Высшей математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по

«Численным методам»

на тему

«Приближённое решение краевых задач

математической физики методом сеток».

Выполнил: Смородин Н.М.

Руководитель:

Москва 2000 г.

Методические указания и постановка задачи.

1.Тема

Приближенное решение краевых задач математической физики методом сеток.

2. Цель работы.

Изучить основные понятия теории конечно-разностных методов решения краевых задач математической физики и уметь применять их на практике. Численное решение задачи осуществляется на персональной ЭВМ в среде MATLAB. Преимущество использования этой cреды — богатый набор командных программ, реализующих большинство стандартных задач линейной алгебры и методов оптимизации, а также статистической обработки результатов. MATLAB обладает также хорошими графическими возможностями отображения результатов.

3. Порядок работы.

1. Познакомиться с основными понятиями метода сеток и методикой численного решения разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу. Наиболее полно все основные понятия метода сеток изложены в [1,2]. Достаточной теоретической базой может служить методическое пособие [3].

2. Классифицировать уравнение и проверить корректность постановки данной в варианте краевой задачи и соответствие её физическому смыслу.

3. Разобраться с методикой построения явных и неявных разностных схем конечно-разностных систем для данного типа уравнения.

4. Разобраться с устойчивыми методами решения явной и неявной схем.

5. Реализовать программу, осуществляющую решение в среде MATLAB.

6. Получить численные результаты для своего варианта. Оформить их в виде таблиц, построить необходимые кривые и поверхности уровней, иллюстрирующие решение задачи.

7. Оформить курсовую работу в соответствии с общим требованиями к курсовым работам. В теоретической части должны быть кратко освещены следующие вопросы:

• Классификация уравнения. Вскрыть физический смысл тех явлений, которые описываются данной математической постановкой задачи.

• Корректная постановка: граничные и начальные условия и их соответствие физическому смыслу.

• Понятия: сеточный шаблон, порядок аппроксимации разностных схем, сходимость, устойчивость решения.

• Выбор шагов сетки и оценка погрешности метода.

Порядок выполнения работы.

1. Классификация краевой задачи и её физический смысл

(*)

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка такого вида относится к уравнениям параболического типа. Данное уравнение описывает распределение тепла в однородном стержне длины l

в зависимости от времени.Здесь переменная y имеет физический смысл времени,поэтому далее будем рассматривать следующую задачу:

(**)

где 0x,y1(***)

В данной задаче начальные и граничные условия имеют следующий смысл. Начальное условие задает распределение температуры на всем стержне в момент

Времени t=0. Граничное условие 2-го рода говорит о том,что на левом конце стержня

По закону Ньютона происходит теплообмен с окружающей средой.Граничное условие

Означает,что температура на правом конце стержня не зависит от времени