Исследование на сходимость явной разностной схемы
При исследовании сходимости решения используем следующий метод: возьмём начальную сетку, вычислим значение U в узлах этой сетки. Затем, увеличивая размерность матрицы U ,при этом, оставляя первоначальные узлы, сравним максимальное расхождение двух матриц. Если эта величина будет монотонно убывать, то решение сходится и схема устойчива.
Результаты исследования сходимости матрицы решения следующие:
Размерность U : 100x110 ; 200x210;300x310.
Таблица норм (максимальных расхождений)
Размерность U |
1100х110 |
200х220 |
200х210 |
400х420 |
|
Норма (U2-U1) |
3,6734*10-4 |
9,9334*10-5 |
|||
Размерность U |
1300х310 |
600х620 |
|
||
Норма (U2-U1) |
4,5368*10-5 |
|
|||
То есть решение
сходится, если выполнено условие:
.
Таблица решения
x\t |
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 |
|
|||
0 |
0 0.3984 0.7869 1.1561 1.4968 1.8006 2.0602 2.2690 2.4219 2.5152 2.5465 |
|
|
|
|
0,1 |
0 0.3931 0.7756 1.1383 1.4720 1.7685 2.0204 2.2214 2.3665 2.4518 2.4752 |
|
|||
0,2 |
0 0.3773 0.7420 1.0851 1.3979 1.6725 1.9017 2.0795 2.2009 2.2625 2.2619 |
|
|||
0,3 |
0 0.3513 0.6867 0.9977 1.2761 1.5144 1.7060 1.8453 1.9275 1.9494 1.9090 |
|
|||
0,4 |
0 0.3159 0.6110 0.8777 1.1085 1.2968 1.4363 1.5220 1.5497 1.5164 1.4202 |
|
|||
0,5 |
0 0.2717 0.5164 0.7275 0.8984 1.0233 1.0968 1.1144 1.0725 0.9685 0.8006 |
|
|||
0,6 |
0 0.2198 0.4049 0.5499 0.6494 0.6984 0.6925 0.6281 0.5019 0.3120 0.0568 |
|
|||
0,7 |
0 0.1613 0.2789 0.3485 0.3659 0.3275 0.2297 0.0697 -0.1549 -0.4457 -0.8039 |
|
|||
0,8 |
0 0.0975 0.1408 0.1269 0.0529 -0.0836 -0.2850 -0.5533 -0.8900 -1.2964 -1.7731 |
|
|||
0,9 |
0 0.0299 -0.0065 -0.1107 -0.2842 -0.5283 -0.8441 -1.2327 -1.6947 -2.2309 -2.8416 |
|
|||
1 |
0 -0.0400 -0.1600 -0.3600 -0.6400 -1.0000 -1.4400 -1.9600 -2.5600 -3.2400 -4.0000 |
|
|||
Форма струны в разные моменты времени.
График, иллюстрирующий решение
Неявная разностная схема
Для аппроксимации используем Т-образный пятиточечный шаблон:
(1)
с
погрешностью аппроксимации
.
Начальные условия
аппроксимируем с порядком
аналогично тому, как это делалось для
явной схемы.
.Обозначим и запишем (1) следующим образом:
Краевые условия аппроксимируем также как и в явной схеме.
Неявная
разностная схема аппроксимирует краевую
задачу с погрешностью
.
Вычисления прогоночных коэффициентов.
Прогонка осуществляется послойно, т. е. при каждом фиксированном j, начиная с j=2(при j=0 “работают” начальные условия).
Запишем системы, необходимые для решения задачи методом прогонки, с использованием аппроксимированных начальных и краевых условий.
При прогонке различают прямой и обратный ход:
при прямом ходе
определяются коэффициенты
и
на j-ом
слое:
при обратном ходе вычисляются значения функции на j-ом слое:
Используя метод прогонки, получаем решение неявной разностной схемы для данной задачи.
Текст функции, вычисляющий матрицу решения размерностью MxN, приведен в ПРИЛОЖЕНИИ.
При исследовании сходимости решения используем следующий метод: возьмём начальную сетку, вычислим значение U в узлах этой сетки. Затем, увеличивая размерность матрицы U ,при этом, оставляя первоначальные узлы, сравним максимальное расхождение двух матриц. Если эта величина будет монотонно убывать, то решение сходится и схема устойчива.
Результаты исследования сходимости матрицы решения следующие :
Размерность U : 100x110;200x210 ;300x310.
Таблица норм (максимальных расхождений)
Размерность U |
100х110 |
200х220 |
200х210 |
400х420 |
300х310 |
600х620 |
Норма (U2-U1) |
0.0283387 |
0.0150138 |
0.0102089 |
|||
То есть решение
сходится, если выполнено условие:
.
2.2.2. Таблица решения.
x\t |
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 |
0,7 0,8 0,9 1 |
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 |
0 0.4000 0.7898 1.1597 1.5009 1.8049 2.0643 0 0.3947 0.7785 1.1419 1.4761 1.7727 2.0246 0 0.3789 0.7449 1.0888 1.4022 1.6770 1.9062 0 0.3530 0.6897 1.0016 1.2805 1.5192 1.7109 0 0.3176 0.6141 0.8818 1.1133 1.3020 1.4414 0 0.2734 0.5196 0.7318 0.9035 1.0287 1.1011 0 0.2215 0.4082 0.5544 0.6546 0.7029 0.6959 0 0.1631 0.2822 0.3530 0.3701 0.3308 0.2321 0 0.0993 0.1441 0.1300 0.0557 -0.0814 -0.2834 0 0.0316 -0.0047 -0.1092 -0.2829 -0.5272 -0.8433 0 -0.0400 -0.1600 -0.3600 -0.6400 -1.0000 -1.4400 |
2.2729 2.4257 2.5189 2.5496 2.2255 2.3704 2.4553 2.4775 2.0839 2.2049 2.2650 2.2629 1.8498 1.9307 1.9509 1.9090 1.5259 1.5520 1.5171 1.4195 1.1173 1.0740 0.9686 0.7996 0.6302 0.5029 0.3118 0.0556 0.0712 -0.1544 -0.4461 -0.8050 -0.5523 -0.8897 -1.2967 -1.7739 -1.2322 -1.6946 -2.2311 -2.8421 -1.9600 -2.5600 -3.2400 -4.0000 |
Форма струны в разные моменты времени.
График, иллюстрирующий решение.
