IV. Метод сеток
Пусть
- сетка в некоторой области G;
-
линейное пространство сеточных функций,
заданных на
;
-
линейное пространство гладких функций
;
- норма в
;
- норма в
.
Предполагается, что
во-первых, существует
оператор проектирования
такой, что
для любого
,
во-вторых, нормы и согласованы, т.е.
.
Рассмотрим
некоторый дифференциальный оператор
L,
заданный в
,
и оператор
,
преобразующий сеточную функцию
в сеточную функцию
,
заданную на
.
Погрешностью аппроксимации оператора L разностным оператором называется сеточная функция:
,
в сеточном
пространстве
,
где
любая
функция из
.
Если
при
,
то говорят, что разностный оператор
аппроксимирует дифференциальный
оператор L.
Если при этом
то разностный
оператор
аппроксимирует дифференциальный
оператор L
с порядком
Порядок выполнения работы
Классификация краевой задачи.
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка такого вида относится к уравнениям гиперболического типа. Данное уравнение описывает колебание струны в зависимости от времени. Здесь переменная у имеет физический смысл времени, поэтому в дальнейшем будет рассматриваться такая задача:
где
и
.
Первая краевая задача для уравнения колебания струны состоит в поиске решения уравнения, удовлетворяющего начальному и граничным условиям.
В данной задаче начальные и граничные условия имеют следующий смысл:
Начальные условия (в начальный момент времени t=0):
задаёт форму
струны.
задаёт распределение
скоростей.
Граничные условия:
задает
скорость на левом конце струны.
- закон движения правого конца струны.
Натяжение струны и плотность материала струны равны 1.
- плотность внешней силы, рассчитанная
на единицу длины.
Явная разностная схема
j
+1
i i+1
j
j-1
Рис.1
Для сведения задачи к явной разностной схеме используем шаблон «крест», изображённый на рисунке 1.
Конечно-разностная
схема для данной задачи имеет вид:
Обозначим
и выразим
через остальные значения сеточной
функции, входящие в уравнение:
Для
того чтобы система стала полностью
определённой, дополним её уравнениями,
полученными из аппроксимации краевых
и начальных условий:
Для аппроксимации второго начального условия будем использовать конечно-разностную формулу второго порядка:
Вычтя из первого выражения второе получим формулу для начального условия второго рода с использованием мнимого узла.
Осталось
аппроксимировать начальное условие
второго рода на левом конце отрезка
,
имеющее следующий вид:
Для аппроксимации данного начального условия также будем использовать конечно-разностную формулу второго порядка с приведением ее к формуле с использованием мнимого узла:
.
Порядок аппроксимации
данной разностной схемы равен
.
Для нахождения решений используем уравнения.
Текст функции, вычисляющий матрицу решения размерностью MxN, приведены в Приложении.