Первая краевая задача для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим процесс распределения тепла в однородном стержне длиной . Пусть- значение температуры стержня в точкев момент времени.

Первая краевая задача для уравнения теплопроводности состоит в поиске решения уравнения теплопроводности:

при , удовлетворяющему начальному условию:, и граничным условиям:; где- известная плотность источников тепла,- коэффициент температуропроводности.

Граничные условия могут быть различны в зависимости от заданного режима:

- граничное условие первого рода, означающее, что температура на левом конце стержня изменяется со временем по заданному закону;

- граничное условие второго рода, означающее, что поток тепла на правой границе стержня изменяется по заданному закону;

- граничное условие третьего рода, означающее, что на правом конце стержня по закону Ньютона происходи теплообмен с окружающей средой, температура которой известна.

§2 Метод сеток.

Метод сеток состоит в сведении решения краевой задачи к решению алгебраических уравнений для так называемой сеточной функции. Для этого область Gнепрерывного изменения аргумента заменяется областью дискретного его изменения. Дифференциальный оператор заменяется некоторым разностным оператором. Краевые и начальные условия заменяются на соответствующие разностные аналоги. Выберем в области, где ищется решение дифференциального уравнения, некоторое конечное множество точек, в которых и будем искать решение уравнения. Ясно, что чем больше мы возьмем таких точек, тем точнее решим уравнение. Множество таких точек называетсясеткой, отдельные точки –узлы сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называетсясеточной функцией.

Пусть ω_h – сетка в некоторой области G, H_h – линейное пространство сеточных функций, заданных на ω_h ; H₀ –линейное пространство гладких функций (x) ; - норма в H₀ ; - норма в H_h. Предполагается, что:

1. существует оператор проектирования P_h такой, что

P_h=_hH_h для любого H₀

2. нормы и согласованы, т. е.

||P_h || =

Рассмотрим некоторый дифференциальный оператор L, заданный в H₀, и оператор L_h, преобразующий сеточную функцию _h в сеточную функцию L_hh, заданную на ω_h.

Погрешностью аппроксимации оператора L разностным оператором L_h называется сеточная функция ψ_h = L_hh – (L)_h, в сеточном пространстве H_h , где _h= P_h, (L)_h= P_h(L), - любая функция из H₀. Если при этом

|| ψ_h ||_h= ||L_hh - (L)_h||_h = O(h^m), то разностный оператор L_h аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком m>0.

Пусть - решение исходной краевой задачи,;- решение приближённой (разностной) задачи,. Чтобы сравнить две функции -и, являющиеся элементами разных пространств, вводится оператор проектирования, который каждой функцииставит в соответствие сеточную функцию() по правилу,;. Рассмотрим разность, являющуюся элементом пространства. Близостьихарактеризуется нормой ||-||.

При формулировке соответствующей разностной задачи необходимо аппроксимировать не только дифференциальное уравнение, но и краевые и начальные условия.

Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основной дифференциальное уравнение и дополнительные условия, называется разностной схемой или разностной задачей.

Разностная схема сходится, если норма разности ||-|| стремится к нулю при .

Для исходной задачи должно выполняться требование корректности, то есть существование единственного и устойчивого решения. Последнее означает, что малым возмущениям функции идолжно соответствовать малое изменение решения. Из корректности исходной задачи не следует корректность разностной задачи.

Разностная схема корректна, если для всех достаточно малых h и при любых существует единственное решение задачи, для которого выполняется оценка

|||| (||||+ ||||) c постоянной М, не зависящеё от h. Последнее свойство означает равномерную по h непрерывную зависимость решения от входных данных и называется устойчивостью разностной схемы, ||.||, ||.||и ||.||- нормы в сеточных пространствах решений, правых частей и граничных условий соответственно.