6.4. Метод прогноза и коррекции.

Отличительной чертой методов Рунге-Кутта является то, что при вычислении следующей точки используется информация только о точке, но не о предшествующих точках из числа полученных . Это положение представляется нерациональным, поскольку информация о поведении функциина предшествующих шагахможет помочь более точно вычислить значение функции на следующем шаге интегрирования. Метод прогноза и коррекции относится к группе методов решения дифференциальных уравнений, в котором используется "предыстория" процесса интегрирования дифференциального уравнения.

Каждый очередной шаг интегрирования в таких методах производится в два этапа. На первом этапе на основании информации о поведении функции на предшествующих шагах интегрирования "предсказывается" значение. На втором этапе организуется итерационный процесс корректировки предсказанного значениядо достижения требуемого уровня точности вычисления. Первый этап работы таких методов называют "прогнозом", второй ­"коррекцией".

Для запуска метода прогноза и коррекции кроме начальных условий , требуется знать решение дифференциального уравнения ещё в нескольких точках (в нашем случае в одной точке). Собственными силами метод прогноза и коррекции получить такую дополнительную информацию неспособен. Поэтому на предварительном этапе для "раскрутки" метода тем или иным методом (обычно методом Рунге-Кутта 4-го порядка) вычисляют значение функции из начального приближения ещё в нескольких точках.

Пусть мы имеем следующую информацию:

- начальное условие дифференциального уравнения;

- дополнительное условие, полученное, например, методом Рунге-Кутта.

Далее процесс интегрирования дифференциального уравнения развивался и достиг точки . Рассмотрим методику вычисления значениянашаге интегрирования.

Этап прогноза.

Этап прогноза заключается в нахождении начального приближения .значения, которое вычисляется по предшествующим двум точкамимодифицированным методом Эйлера:

. (6.14)

Этап коррекции.

При реализации этапа коррекции в методе прогноза и коррекции используется итерационная формула, заимствованная из исправленного метода Эйлера:

, (6.15)

где в качестве начального приближения берётся значение , полученное при выполнении этапа прогноза. Процесс коррекции продолжается до тех пор, пока не выполнится условие

(6.16)

где - заданная точность решения уравнения.

7.5. Метод Ньютона

Методы второго порядка используют первые и вторые производные целевой функции. Среди этих методов наиболее известен метод Ньютона и его многочисленные модификации, получившие своё название в связи с тем, что в нём необходимое условие безусловного экстремума функции рассматривается как система алгебраических уравнений, которая решается методом Ньютона.

Обозначим через -матрицу Гессе целевой функции

,(7.13)

вычисленную в точке , тогда итерационная формула метода Ньютона поиска оптимума функции имеет вид:

. (7.14)

Как видно из (7.14) для реализации каждого шага по методу Ньютона нет необходимости определять величину шага k.

Если целевая функция квадратичная и матрица Гессе положительно определённая, то метод Ньютона позволяет найти минимум целевой функции за один шаг независимо от выбора начальной точки. В противном случае экстремум будет найден за большее число шагов.

Скорость сходимости метода Ньютона выше, чем скорость сходимости методов нулевого и первого порядка. Однако, если матрица Гессе имеет знакопеременные значения, то может оказаться, что метод Ньютона не будет сходиться. Главный недостаток метода Ньютона заключается в отсутствии простых и экономичных алгоритмов вычисления матрицы Гессе и в отсутствие твёрдых гарантий его сходимости.

21