5.3. Правило Симпсона

Интегрирование функции по правилу трапеций можно интерпретировать как замену исходной функциинекоторой кусочно-линейной функцией (после разбиения общего интервала интегрирования на множество отрезков, на каждом из которых функция заменяется прямой линией), от которой и вычисляется приближенное значение искомого интеграла. Ошибка метода в этом случае определяется грубостью предложенного способа аппроксимации функции. Естественно допустить, что если исходную функциюприближать на отрезках не линейными функциями, а полиномами более высоких порядков, то ошибка метода интегрирования должна уменьшиться. Для правила Симпсона в качестве функции, с помощью которой осуществляется приближение исходной функции на частичных отрезках интегрирования, выбрана парабола.

Отрезок разобьем на 2n равных частей. Рассмотрим частичный отрезок интегрирования (см. рис. 5.5.).

Для исходной функции напо трем точкам можно

построить интерполяционный многочлен:

тогда справедливо приближенное равенство:

(5.14)

Искомое значение интеграла от функции наможно найти по формуле:

(5.15)

где

, тогда имеем

(5.16)

Формула (5.16) получила название метода интегрирования функции по правилу Симпсона и является одним из наиболее распространенных и применяемых методов интегрирования. Правило Симпсона удачно сочетает простоту метода и высокую точность. Остаточный член формулы Симпсона можно оценить формулой:

,где

На рис. 5.6. для сравнения представлены графики суммарных ошибок интегрирования функции для правила трапеции и метода Симпсона. Из графиков видно несомненное превосходство правила Симпсона.

6.3. Методы Рунге - Кутта

Большую группу численных методов решения дифференциальных уравнений образуют методы Рунге-Кутта. Методы Рунге-Кутта обладают следующими отличительными свойствами:

1. Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти нужна информация только о предыдущей точке.

2. Они имеют высокий порядок точности.

3. Они не требуют вычислений производных от , а только вычисления самой функции.

Метод Эйлера

Наиболее простым представителем этой группы методов является метод Эйлера решения дифференциального уравнения.

Идея метода заключается в следующем. Зная начальное приближение , т.е. точку, лежащую на искомой интегральной кривой, а также функциюдифференциального уравнения, мы можем на первом шаге определить угол наклона касательной к кривой.

Для небольшой величины шага h можно допустить, что следующая точка решения уравнения лежит на касательной прямой:

. (6.9)

На следующем шаге интегрирования вычисляется новое значение функции в точке , лежащей на касательной проведённой под угломи т.д. В итоге, интегральная криваязаменяется ломаной (см. рис. 6.2). Формула интегрирования (6.3) для метода Эйлера имеет вид:

, (6.10)

где - постоянный шаг интегрирования, а значение начальной точки берётся из начальных условий дифференциального уравнения (6.2).

Если сравнить формулу (6.10) и формулу интегрирования с использованием рядов Тейлора, то видно, что в формуле (6.10) согласуются только два первых члена ряда, а остаточный член пропорционален h, из чего следует, что метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Исправленный метод Эйлера

Метод Эйлера имеет довольно большую ошибку ограничения; кроме того он очень часто оказывается неустойчивым, поэтому на практике используют более совершенные методы. Однако метод Эйлера можно значительно усовершенствовать.

Пусть на некотором шаге интегрирования получена точка . Для определения нового значения функциив точкепоступим следующим образом:

1. На предварительном этапе в направлении к касательной L₁ (6.3.), проведённой в точке , сделаем шаг длиныh, чем найдём новую точку , как это делается в методе Эйлера.

2. В точке найдём новое положение касательной L₂ . Новое положение касательной указывает направление "закругления" интегральной кривой. Усреднение двух тангенсов углов наклона прямых L₁ и L₂ даёт прямую .

3. При малых значениях h касательная L₁ всегда отклоняется от искомой интегральной кривой , скорректированное направление секущей, проведённой из точкив направлении прямой, параллельнойможет уточнить искомое значение функции:

. (6.9)

Формула (6.9) описывает исправленный метод Эйлера.

Для того, чтобы выяснить насколько хорошо этот метод согласуется с разложением в ряд Тейлора, разложим в ряд Тейлора функцию в окрестностях точки:

или . (6.10)

Подставив (6.10) в (6.9) имеем:

. (6.11)

Как видно из (6.11), исправленный метод Эйлера согласуется с рядом Тейлора вплоть до членов степени , являясь, таким образом, методом Рунге-Кутта второго порядка.

Модифицированный метод Эйлера

В исправленном методе Эйлера для корректировки направления касательной усреднялись наклоны двух прямых и . Другой способ модификации метода Эйлера сводится к следующему. Пусть мы на предварительном этапе находим точку , лежащую на касательной на половинном шаге интегрирования . Новое значение функциив точкебудем иметь в направлении прямой параллельной к прямой :

(6.12)

Модифицированный метод Эйлера согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени , то есть величина остаточного члена пропорциональнаи этот метод является ещё одним методом Рунге-Кутта второго порядка.

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка применяется на практике настолько широко, что в литературе он получил название "метода Рунге-Кутта" без указания порядка метода.

Этот классический метод описывается системой следующих соотношений:

, (6.13)

где

Ошибка ограничения для этого метода пропорциональна .

При использовании этого метода, функцию приходиться вычислять 4-е раза. При выборе шага интегрированияh для достижения заданной точности решения дифференциального уравнения достаточно часто оказывается полезным грубое оценочное правило, если:

,

то шаг интегрирования следует уменьшить.