2.13 Кубические сплайн-функции

Если носителем сплайн-функции является кубическая парабола , то можно построить два кубических сплайна:

(2.32)

(2.33)

В первом случае (2.32) условию гладкого сопряжения кубических парабол подвергаются первые и вторые производные , во втором случае (2.33) кубические параболы в узлах сплайна сопрягаются только по первой производной.

2.14 Интерполирование многомерных функций

На примере интерполирования функции двух переменных рассмотрим общую схему решения задачи интерполирования многомерных функций.

Пусть задана прямоугольная интерполяционная сетка (см. рис.2.5):

в узлах которой известны значения функции . Рассмотрим следующую схему интерполяции функции . На первом этапе, например, по переменной при фиксированных значениях второй переменной, решимm+1 задачу интерполирования функции от одной переменной .

Пусть тогда можно поставить задачу интерполирования функции в узловых точках, где функция принимает значения , полиномом степениn:

. (*)

Решив m задач типа (*), мы получим систему многочленов степени n для различных по y сечений интерполяционной сетки:

(2.34)

Из (2.34) видно, что общее решение задачи интерполирования функции следует искать как полином степени n по переменной с переменными коэффициентами

. (2.35)

Для определения функциональных коэффициентов () рассмотримn+1 интерполяционных задач. Например, для определения можно поставить задачу о построении многочлена степени m на интерполяционной сетке со значениями в ее узловых точках соответственно.

Решение поставленной задачи найдем в виде многочлена степени m по переменной . Решивn+1 таких задач мы получим выражения для вычисления коэффициентов :

(2.36)

Подставив (2.36) в (2.35) в итоге получаем двумерный интерполяционный многочлен решения задачи интерполирования функции 2-х переменных.

Предложенную схему можно распространить и на решение задачи интерполирования функций многих переменных.

3.2 Метод последовательных приближений

Уравнение (3.1) приведем к виду:

. (3.2)

Это преобразование можно сделать следующим образом. Прибавив к левой и правой частям (3.1) и поменяв их местами, получим :

тогда, обозначив через , имеем (3.2).

Итерационный процесс в методе последовательных приближений строится по следующей простой формуле:

, (3.3)

при этом предполагается, что начальное приближение корня уравнения (3.1) нам известно . Начиная споследовательно подставляя найденные новые приближенные значения корня в (3.3), мы реализуем итерационный метод последовательных приближений. Основным вопросом этого метода является вопрос о сходностик решению уравнения (3.2).

Достаточное условие сходимости метода простой итерации

Пусть корень уравнения (3.2), т.е.:

. (3.4)

Из равенства (3.3) вычтем равенство (3.4), получим:

, (3.5)

Умножая (3.5) на имеем:

,

тогда по теореме о среднем для непрерывной и дифференцируемой функции , имеющей непрерывную производную справедливо:

,

где точка  находится между точками и.

Если во всем рассматриваемом интервале, т.е. в интервале включающим точки, то

. Последнее означает, что новое значение ближе кчем приближенное значение корня, полученное на предыдущем шаге, т.е. метод простой итерации сходится.

Таким образом, если , то процесс сходится, если же, то процесс расходится.

На рисунке 3.1 представлены геометрические интерпретации сходящегося и расходящегося интерполяционных процессов для метода простой итерации.