19 Матричное описание физич тензоров.

При рассмотрении тензоров второго ранга, было показано, что они предст. в виде матриц.

Из за невозможности описания матрицами 3-го и 4-го ранга:

Для большинства тензоров сущ. симетрия.

Тензор

2-го ранга симметричен, если Tij=Tji

3-го ранга симметричен, если Tijl=Tikj

4-го симметричен, если

Tijl=Tklij – если оно соп. то будут и первые 2.

Все эти соотношения снижают число неизвестных компонент и вследствие этого позволяет использовать более удобное сокр. Матричное описание с уменьшенным числом индексов.

Пара индексов в тензоре заменяется на 1 в матрице.

11	22	33	23=32	13=31	12=21
1	2	3	4	5	6

1.Симетрич тензор 2-го ранга.

Отличие матричных от тензорных индексов.

Тенз: i=1,3 (лат)

Матр: α=1,6 (греч)

Тензор 2 го ранга – матрица столбец (строка)6х1 (T1,T2,T3,T4,T5,T6)

2. 3-го ранга матрица 3x6 Tijk=Tiα= (T11,T12,T13..T16)……

3. 4 го ранга: Tijkl=Tjikl=Tijlk=Tjilk Матрица из 36 компонент (T11,T12,T13..T16)……

Различие тензорного и матричного описания.

Tij=CikCjlTkl при изменении координат в тензорах это соотнош. выполняется, а для матриц законы не выполняются.

Сначала надо вернуться к тензорам, и сделать все преобразования.

20. Акустоэлектроника. Механические св-ва кристалла

Акустоэлектроника –это раздел ФЭ, связанный с исследованием взаимодействия акустических волн с электо-магн полями и электронами, проводимости в конденсированных средах, а также связь с созданием акустических устройств, работающих на этих эффектах.

Акустические волны-волны смещения, в своем распространении подчиняются закону теории упругости.

21 Тензоры напряжений и деформаций

Чтобы определить деформацию в некоторой точке тела нужно проанализировать изменение положения этой точки относительно соседних

Uij=∂Ui/∂xj -тензор 2ого ранга, тензор дисторсии

Eij=(Uij+Uji)/2 -тензор деформации

Деформации возникают в телах под действием внешних сил, которые могут быть объемными и поверхностными. В деформированных телах под действием внешних сил возникают упругие напряжения стремящиеся вернуть тело в первоначальное состояние

σij=limdFi/dSj при dSj→0 -тензор напряжений

22. Закон Гука

Среда наз упругой, когда её первоначальная конфигурация восстанавливается после прекращения действия внешних сил.

∂G/∂Ekl≡Cijkl

Gij=Cijkl*Ekl - Закон Гука для упругой среды для малых упругих деформаций

Cijkl-тензор 4-ого ранга(тензор упругой жесткости, упругих жесткостей)

Ekl-тензор деформации

Gij-тензор напряжений

Cijkl как тензор 2 ранга должен иметь 81 компоненту, но в сил симметричности тензоров деформации и напряжений

Eij= Eji

Gij= Gji => Cijkl= Cjikl Cijlk= Cjilk, что приводит к тому что тензор упругой жесткости имеет 36 независимых компонент, что позволяет перейти к матричному описанию, те записать тензор 4 ранга в виде матрица размером 6Х6

Cijkl→Cαβ(6×6) α,β=1..6

Gα= CαβEβ -закон Гука в матричной форме

Gij=Cijkl*Ekl=

чтобы учесть двоение пишем 2 перед всеми компонентами с неравными индексами

Обратный закон Гука

Eij=Sijklσkl -обратный закон Гука

Sijkl-тензор упругой податливости