The same in HTML for Unixoids / 04 / Лекция4
.htmЛинейные операторы Линейные операторы
Линейным оператором, действующим из линейного пространства H в линейное пространство H1 , называется отображение, удовлетворяющее условиям:
Примеры линейных операторов
1. Определим , : , его линейность очевидна, оператор называется единичным.
2. В гильбертовом пространстве L2([a,b]) определим оператор, сопоставляющий функции , новую функцию
Множество линейных операторов действующее из в образуют линейное пространство.
Определение. Оператор непрерывен в точке x0, если из следует .
Оператор называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке.
Множество называется ограниченным, если оно содержится в шаре некоторого радиуса.
Оператор называется ограниченным, если всякое ограниченное в множество он переводит в ограниченное в
Теорема Если оператор линеен, то следующие утверждения эквивалентны.
Существует точка , в которой оператор непрерывен.
Оператор непрерывен.
Оператор ограничен.
Величина конечна
Доказательство. 1: Допустим непрерывен в докажем, что непрерывен в любой другой точке . , тогда для , что доказывает непрерывность оператора .
. Поскольку непрерывен, то он непрерывен и в нуле. Следовательно, , что для , справедливо . Пусть теперь X -- ограниченное множество в H, т. е. такое множество, что существует положительное число , . Пусть , .
Поскольку ограничен, то , откуда существование очевидна.
Пусть , тогда положим , , т.е непрерывен в нуле.
Норма оператора
Лемма. Для любого линейного оператора A справедливы равенства
эта величина называется нормой оператора.
Теорема. Если и линейные операторы, то
Доказательство.
То, что - очевидно, докажем , если , то и , следовательно, и . Если , то , значит для , т.е. .
Поскольку для любого вектора Ax имеет место равенство , , а значит . Аналогично,
используя неравенство треугольника , значит
Очевидно.
Дважды применяем свойство 4) и определение нормы оператора.
Раскрывая модуль . Левое неравенство может быть записано так , но оно немедленно следует из неравенства треугольника
Сходимость операторов
Говорят, что последовательность линейных операторов сходится к , если числовая последовательность .
Простейшие свойства.
Пусть , тогда
Пусть и все ограничены то тоже ограничен и .
Доказательство. 1)
2) Выберем , так чтобы тогда , т.е. ограничен. Кроме того, .
Теорема. Всякая фундаментальная последовательность линейных операторов действующих из одного гильбертова пространства , в другое сходится.
Схема доказательства. Если фудаментальна, то также фундаментальна (почему?), а так как она в полном пространстве то существует . Обозначим , осталось показать, что линейный оператор и .