Прямое произведение
Оказывается прямое произведение
коммутативно, т.е.
,
доказательство см. «Владимиров».
Сверткой двух обобщённых функций называется функционал
Свёртка существует не всегда, т.к.
.
Теорема. Если свёртка
существует, то существует свёртки
и
,
причём
.
Отсюда в частности вытекает, что
.
Отметим, что существование свёрток
и
не достаточно для существования свёртки
,
в частности эти свёртки не обязаны быть
равными.
,
но
Важнейшим приложением обобщённых функций является построение фундаментального решения дифференциального оператора.
в
.
Здесь
- целочисленный вектор с неотрицательными
составляющими
.
Через
порядка
.
,
,
также используют следующие сокращённые
обозначения.
Лемма. Для того чтобы обобщённая функция
была решением оператора
,
необходимо и достаточно, чтобы её
преобразование Фурье
удовлетворяло уравнению.
.
Доказательство. Пусть
фундаментальное решение оператора
к обеим частям равенства, получим.
Таким образом доказанная лемма сводит
задачу построения фундаментальных
решений дифференциальных операторов
с постоянными коэффициентами к решению
в
алгебраических уравнений вида
.
Решение такой задачи может быть не
единственно, например, различными
решениями уравнения
являются обобщённые функции
и
.
Если функция
локально интегрируема в
,
то она (определяемый ею регулярный
функционал) является решением в
уравнения (9). Если же функция
, то возникает нетривиальная задача о
построении в
решения уравнения
.
Хёрмандером доказано, что уравнение
всегда разрешимо в
.
С помощью фундаментального решения
оператора
можно построить решение уравнения
с произвольной правой частью.
Теорема. Пусть
такова, что свёртка
существует в
.
Тогда решение уравнения
существует и даётся формулой:
.
Это решение единственно в классе тех
обобщённых функций из
,
для которых существует свёртка.
Доказательство. Пользуясь формулой дифференцирования свёртки.
Докажем единственность, для этого
достаточно установить, что соответствующее
однородное уравнение
.
Примеры.
1. Пусть функция
такова, что
и
.
Покажем, что
,
где обозначено
Действительно, если
,
то
Если же функция
имеет изолированные разрывы первого
рода в точках
,
тогда
.
2. Проверим, что функция
,
где
есть решение однородного дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее условиям
,
,
удовлетворяет условию
Действительно, пользуясь формулой
полученной в предыдущем примере, получаем
Отсюда
В частности
,
являются фундаментальными решениями
операторов
и
Фундаментальное решение оператора теплопроводности.
Выведем формулу для фундаментального решения, используя преобразование Фурье.
В результате для обобщённой функции
получаем уравнение
Пользуясь формулой из предыдущего примера
Отсюда применяя обратное преобразование Фурье.
