Журнал «Заводская лаборатория». 2003. Т.69. No.3. С.53-64.

Математические методы исследования и диагностика материалов (Обобщающая статья)1 а.И.Орлов2

Наш журнал называется “Заводская лаборатория. Диагностика материалов”. Поэтому вполне естественно рассмотреть возможности математических методов исследования в области диагностики материалов. Предлагаемая статья и посвящена математическим методам диагностики. Проанализированы различные научные направления в теории диагностики. Для этой области предложена классификация математических методов. Рассмотрена проблема естественной классификации, обоснован тезис: критерий естественности - устойчивость. В вероятностной теории кластер-анализа введен метод статистической проверки обоснованности объединения кластеров. Обоснована остановка через конечное число шагов ряда итеративных алгоритмов построения диагностики. Найдено асимптотическое распределение “прогностической силы” алгоритма применения диагностики, разработан метод проверки возможности пересчета на модель линейного дискриминантного анализа. Изучены алгоритмы применения диагностики, основанные на использовании непараметрических оценок плотностей вероятностей в пространствах произвольной природы, в частности, в дискретных пространствах.

1. Введение

Среди методов диагностики материалов важное место занимают математические методы. Этой области научно-практической деятельности посвящена настоящая статья, в которой обобщен опыт последних двадцати лет. В нашем журнале постоянно публикуются статьи по конкретным математическим методам диагностики. Однако, только зная место такого метода среди других, можно успешно планировать его практическое использование и дальнейшее теоретическое развитие.

Естественным было бы начать с определения термина “диагностика материалов” и затем перейти к описанию конкретных методов. Однако вокруг этого термина “нагромождено” столько, что без продолжительной разборки не обойтись. Конкретным общеизвестным методам место скорее в учебниках (см. ссылки ниже), чем в обобщающей статье. Поэтому мы сначала рассмотрим ситуацию “с птичьего полета”, а потом приведем несколько новых результатов.

При внедрении современных статистических методов в практику технико-экономических исследований, при разработке соответствующих программных продуктов невозможно обойтись без классификации этих методов. Естественно исходить из вида обрабатываемых данных. В соответствии с работами [1,2] делим прикладную статистику на четыре области:

- статистика случайных величин (одномерная статистика);

- многомерный статистический анализ;

- статистика временных рядов и случайных величин;

- статистика объектов нечисловой природы.

В первой области элемент выборки - число, во второй - вектор, в третьей - функция, в четвертой - объект нечисловой природы. Термин "объект нечисловой природы" относится к элементам математического пространства, не являющегося векторным (линейным). Их нельзя складывать, умножать на числа, в отличие от чисел, векторов и функций. Примерами являются бинарные отношения (упорядочения, разбиения на классы, толерантности); множества, нечеткие множества; результаты измерений в номинальной и порядковой шкалах (т.е. по качественным признакам), в частности булевы вектора; вектора разнотипных признаков; тексты и т.д. (подробнее см., например, статьи [3,4]).

Математический аппарат статистики объектов нечисловой природы базируется на использовании расстояний (мер близости, показателей различия) в пространствах таких объектов. Это вызвано отсутствием в таких пространствах операций суммирования, на которых основано большинство методов других областей статистики. Любые методы, использующие только расстояния (меры близости, показатели различия) между объектами, следует относить к статистике объектов нечисловой природы, поскольку такие методы могут работать с объектами произвольного пространства, если в нем задана метрика или ее аналоги. Таким образом, весьма многие математические методы диагностики следует включать в статистику объектов нечисловой природы. Она является уже весьма развитой области прикладной математики. Ей посвящено несколько тысяч статей и книг. Отметим сборник статей [5], включающий обзоры основных направлений данной области статистики, а в нем - статьи [6], рассказывающую о статистике объектов нечисловой природы “в целом”, и [7], обсуждающую возможности аксиоматического введения в ней различных мер близости. Опубликован еще целый ряд обзоров как общего характера [8,9], так и по отдельным направлениям - статистике разбиений [10], люсианов (бернуллиевских векторов¹[11] и другим. Специфические методы анализа летописей описаны в монографии [12] и других изданиях, выпущенных группой академика РАН А.Т.Фоменко; результаты представляют несомненный интерес для историков, поскольку демонстрируют необходимость пересмотра традиционной хронологии.

В настоящей статье рассматривается важное направление прикладной статистики – математические методы диагностики. Основная их часть относится к статистике объектов нечисловой природы, а именно, методы диагностики, основанные на расстояниях между объектами.