Metodichki / Комплексные числа и действия над ними

Решение типового задания

I.Нарисовать комплексные числа на комплексной плоскости, если

Для каждого комплексного числа выпишем действительную х и

мнимую у части согласно формуле (1.1):

x1 Rez1 3, y1 Im z1 4, x2 Re z2 7, y2 Im z2 2.

На комплексной плоскости отметим две точки с соответствующими координатами:z1(3; 4), z2( 7;2) (рис.3).

Рис.3

II. Возвести комплексное число в квадрат, если: z 5 7i.

Решение:

Воспользуемся формулой сокращенного умножения

(a b)2 a2 2ab b2, тогда z2 (5 7i)2 25 70i 49i2

13

применяя формулу (1.2) к последнему слагаемому, окончательно получаем

z2 24 70i

III. Найти аргумент комплексного числа, если: z1 2 2i, z2 73 7i.

Решение:

Для нахождения аргумента комплексного числа воспользуемся формулой (1.6). Определим действительные x и мнимые y части заданных

что: z1 3 4i, z2 5 6i.

Решение:

Рассматривая комплексные числа как двучлены выполним действия сложения, вычитания и умножения:

z1 z2 (3 4i) ( 5 6i) 3 5 4i 6i 2 2i; z1 z2 (3 4i) ( 5 6i) 3 5 4i 6i 8 10i;

z1 z2 (3 4i) ( 5 6i)

3 ( 5) 3 (6i) ( 4i) ( 5) ( 4i) (6i)

15 18i 20i 24i2

15 38i 24 ( 1) 15 24 38i 9 38i;

14

V. Перевести комплексное число ( 73 7i)4 в показательную форму и возвести в степень. Ответ записать в алгебраической форме.

Решение:

Для того, перевести комплексное число в показательную форму,

необходимо найти его модуль и аргумент . Для этого воспользуемся

формулами (1.5) и (1.6). определим действительную и комплексную части

числа: x 73 0, y 7 0. Получаем:

Возведём данное число в четвёртую степень используя формулу (3.6):

Учитывая, что функция ei имеет период T 2 , окончательно получаем:

15

Для того, чтобы перевести число в алгебраическую форму z x iy

определим x и y по формулам (1.3):

x cos , x 38416 cos 4 38416 ( 1) 19208;

72 ( 3)2 58.

Число z2 задано в показательной форме z ei (1.8), откуда следует,

что 4.

Число z3 задано в тригонометрической форме z (cos isin ) (1.5)

следовательно 0,85.

Определим комплексно сопряжённые числа по формулам (1.9). Получаем:

z1 7 3i, z2 4e3i , z3 0,85(cos4 isin4).

VII. Для данного комплексного числа (3 2i) 2( 4 5i)3 найти модуль.

Решение:

Выражение (3 2i) 2( 4 5i)3 представляет из себя произведение

степень. Для каждого из них вычислим модуль:

1 32 (2)2 11, 2 ( 4)2 52 41.

16

Согласно формуле Муавра (3.6), при возведении комплексного числа в степень, его модуль также возводится в данную степень, т.е.

При перемножении двух комплексных чисел. их модули перемножаются

( 2)2 (23)2 16 4;

arctg 23 arctg3 2 .

17

34(0,17 i0,98) 0,27 i 1,56.

Построим графическое представление корней:

1)Вычерчиваем окружность радиуса R n 1,6

2)Откладываем угол 2 и на его пересечении с окружностью

n 9

отмечаем корень z0.

3) Вписываем в окружность правильный треугольник (рис. 4).

у

2 z0 9

z1

1,6 х

z2

Рис. 4

IX. Решить квадратное уравнение x2 5x 9 0.

Решение: Решим данное квадратное уравнение через дискриминант:

D b2 4ac ( 5)2 4 9 25 36 9;

x1,2 b D 5 9 .

2a 2

18

Используя формулу (1.2), получим: 9 1 9 1 9 i 3. Тогда

теорему о том, что если многочлен имеет комплексный корень, то он имеет и

комплексно сопряженный корень.

Х. Найти частное и остаток от деления.

Решение: Для определения частного и остатка воспользуемся формой деления в столбик:

При делении получим: 3x2 13x 61 - частное, 306 - остаток.

3x3 2x2 4x 1 3x2 13x 61 306 .

остаток от деления.

19

Дополнительные задания.

1. Найти действительные решения уравнения:

(3x i)(2 i) (x iy)(1 2i) 5 6i.

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа:

11 i i3 20, ( 1 i3)60.

3.Изобразить на комплексной плоскости множество точек:

1z 2 i 2, Re z 2,Im z 1.

4.Записать в комплексной форме уравнение прямой:

2x 3y 1 0.

5. Вычислить: 2 i23.

20

Список используемой литературы

1.Любимова О.Н., Дегтярева Н.Е. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Владивосток.: изд-во ДВГТУ, 2008г. - 167с.

2.:Клетеник Д.В., Сборник задач по аналитической геометрии. С-Петербург.:

Профессия, 2006. – 200с.

3.Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: Физматлит, 2001. -160с.

21

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НАМИ

Методические указания Составители: Дегтярева Н.Е. Корректор:

Технический редактор Подписано в печать . Формат Печать офсетная. Усл.печ.л. Уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Заказ

__________________________________________________________________

Издательство ДВГТУ.690650, Владивосток, Пушкинская, 10 Типография издательства ДВГТУ, 690650, Владивосток, Пушкинская, 10

22