Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Metodichki / Матрицы практикум1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.04.2015

Размер:

303 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ДВПИ ИМ. В.В. КУЙБЫШЕВА)

МАТРИЦЫ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Практикум

Методические указания по проведению практических занятий для студентов технических специальностей

Владивосток 2011

Одобрено методическим советом университета УДК 519

Матрицы. Определители.: метод. указания / Сост. Н.Е. Дегтярева, Е.В. Агеева. – Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2011. – 20с.

В краткой форме излагается основной теоретический материал, входящий в раздел алгебры матриц: понятие матрицы, линейные действия над матрицами, умножение матриц. Основные методы вычисления определителей. Вычисление обратной матрицы. Содержит 10 вариантов заданий для самостоятельной работы студентов. Приведены решения типовых заданий и список дополнительных задач.

Методические указания предназначены для студентов технических специальностей.

Методические указания печатаются с оригинал-макета, подготовленного авторами

©Н.Е.Дегтярева, Е.В. Агеева

©Изд.-во ДВГТУ, 2011

1. Матрицы и действия над ними

Размерностью матрицы (обозначается m n) называется количество её

строк m и столбцов n.
1) Сложение матриц:
Суммой двух матриц A aij m n	и B bij m n	одинаковой

размерности называется матрица С сij m n той же размерности, элементы

которой определяются по формулам :

	cij aij bij	(1.1)
i 1,2,...,m,	j 1,2,...,n. Для обозначения суммы матриц	используют
запись C A B.
Свойства сложения матриц:

1.Коммутативности A B B A;

2.Ассоциативности (A B) C A (B C).

Эти свойства позволяют нам не заботиться о порядке следования слагаемых матриц.

2) Умножение матрицы на число:
Произведением		матрицы			A a		на вещественное		число
		D d				ij m n
называется матрица		D d	ij		той	же	размерности, что	и	матрица A,
			ij	m n
элементы которой определяются по формуле:
					dij aij				(1.2)
i 1,2,...,m,	j 1,2,...,n. Для обозначения произведения матрицы на число
используется запись С A.
Свойства умножения матрицы на число:
1. Ассоциативности		относительно					числового	множителя:

A A A;

2.Дистрибутивности относительно суммы чисел: A A A;

3.Дистрибутивности относительно суммы матриц: A B A B.

Из операции умножения матрицы на число можно определить разность

матриц как A B A ( 1) B.
3) Транспонирование матриц:
Матрица B называется транспонированной к матрице A
(обозначается AT ) если ее элементы определяются по правилу:
	bji aij	(1.3)
i 1,2,...,m,	j 1,2,...,n.

Свойства операции транспонирования матрицы:

1)A B T AT BT ;

2)AB T BT AT

3)AT T A.

4)Перемножение матриц:

Произведением матрицы A aij m n		на матрицу B bij n p
называется матрица Сm p элементы которой определяются по формуле:
	n
	сij aikbkj	(1.4)
	k 1
i 1,2,...,m,	j 1,2,..., p. Матрица C называется произведением матрицы
A и B что записывается C A B.
Из формулы Am n Bn p Сm p видно,		что матрицы перемножаются

только в том случае, когда число столбцов первой матрицы, совпадает с числом строк второй матрицы.

Формулу (1.4) можно рассматривать как совокупность скалярных произведений вектор-строк матрицы A на вектор-столбцы матрицы B.

Свойства перемножения матриц:

1)AB C A BC - свойство ассоциативности;

2)A B C AC BC - свойство дистрибутивности относительно суммы

матриц;

3) AB A B A B - свойство ассоциативности относительно

числового множителя;

4) A B B A - свойство антикоммутативности.

2.Практикум

1.Вычислить 2A 3B 5C:

1)	3	1		4	,	B	1	0 4		,	4		1		2
	A										C			0		.
	0	2 1					2	1 1			1				3
2)	2		4 1		,	B	6	2 4		,	3 1 1
	A	5 1									C		2			.
	0						3	1 1			2				0
3)	3 1		0			6		2	3		3 0				2
	A			,		B			,		C			4 1		.
	0	2 4				1		1 2			1
4)	2	1 0			,	B	1	2	3	,	2			1 2
	A	2						1			C	1				.
	1			3			5		2					4 3
5)	2 1 3				,	B	3	2 1			, C	5		1 3
	A							1						2		.
	1		2 1				0		2			1				3
6)	4	3	1		,	B	2	1 2			1 0				4
	A								,		C				.
	2 1		1				1	3 1			1 2			3
7)	1 2			0	,	B	3	5 4		,	2		1 1
	A										C				.
	1	2 1					1	1 1			1		1 3
8)	3	2 1			,	B	1	5 4		,	2		3 2
	A										C		0 3			.
	0 1 4						2	3 1			1
9)	2	1 1			,	B	3	1	4		3			1 2
	A	2 5							,		C					.
	4						0	5 2			1			0 4
	5	1		2			2 0		6		, C	1		0 2
10) A						, B										.
	0	4 1					1 3		1			5		2 4

2.Для данных матриц:

а) проставить размерность;

в) протранспонировать матрицы;

с) перемножить, если это возможно.

	3			1			1		0 4						5					2		1	1
	3			1		B	1		0 4				,	C	5		F					4	3		;
1) A				5	,	B							,	C	,		F			0		4	3		;
	1			5			2		1 1						3					1		1 1

D 2			3 .
	1			2 1						1						3	1					2		1
	1			2 1				B		1		,		F			0		,			2		1		;
2) A		0				,		B				,		F	2		0		,		D					;
		0		3 2						3						1	1					1		4

C 0		1		2 .
3) A 2				4 ,			2					C 4			1		2
3) A 2				4 ,		F		1		,		C 4			1		2		,		D 2		1			2 ;
				0				3									3
	4			0				3						1 0			3

B 1		1 .
	2				1			4		1 0						4					1	2	3
	2				1	, B		4		1 0							,	D							;
4) A		3				, B					1			, F 1			,	D			0	1 1			;
		3		1				1 2			1					2					1	1 1

C 4		1 .
		3		1		4				1						3	1						2		3		1
5) A		3		1		4		F			0			C		3	1		,			D						;
5) A						,		F			0	,		C					,			D	0 5				1	;
		0		2 1							1					4	2						1 1				1

B 1		2 .
		1					1			3					1		1 1							2			4
6)					,							,		C		3	2 0				,	D		2			4	;
6)	A		3		,	B 0				1		,		C		3	2 0				,	D			0			;
		1					1 1								1 1 2										0		2

F 3		3 .
		2			4 1						1			1			3							0			3
7)	A	2			4 1			B			1			1		F		1				D						;
7)	A			5 1		,		B						,		F		1		,		D		1			4	;
		0		5 1							1			0				2						2			1

C 2		3 .

	2	2						1			2	1						3 1 1						3
	2	2				F			0 4				,					3 1 1				D				;
8) A			0	,		F			0 4			2	,				C		2		,	D		1		;
	1		0						1 0			1						2	2		0			2

	B 4			1 .
	3		1							1		1 1						2						2	1
9)	3		1					F				1		1		,		2		,		D				1		;
9)	A			,				F		1		1		1		,		C		,		D		0		1		;
	4			1							1	1		1					1					2		3

B 1 4		1 .
		1		0						6 2		4						0	4		3				1
10)	A	1		0	,		B			6 2		4		,			F		1			,	D					;
10)	A				,		B							,			F	2	1		1	,	D		1			;
		1		2						3 1		1						0	2		1					1

C 1		1 .
						3. Решение типового задания
1. Для данных матриц A										2 3		1		,			0 5		7	,	C	3 1 1
1. Для данных матриц A												2		,	B			2 3		,	C			2
										4 1		2						2 3	4			2		2			0

вычислить 3A 2B 4C:

Решение:

Прежде чем производить линейные действия над матрицами, необходимо убедится в том, что их размерности совпадают. Все три матрицы имеют размерности 2 3 по количеству строк и столбцов соответственно. Действия выполняем согласно формулам (1.1) и (1.2).

3A 2B 4С .

3 2 2 0 4 3			3 3 2 5 4 1			3 ( 1) 2 7 4 ( 1)
			3 1 2 3 4 ( 2)			3 2 2 4 4 0
3 4 2 ( 2) 4 2			3 1 2 3 4 ( 2)			3 2 2 4 4 0
6	15	15
	17	.
0	17	14
				2 1	B	5	C 1 3	2 ,		2 3		1
Для данных матриц A				,	B	,	C 1 3	2 ,	D				,
											4 1	2
				1 4		3					4 1	2

1		3	0
		1	2
F 1				.
	2	1
			1

а) проставить размерность; б) протранспонировать матрицы;

в) перемножить, если это возможно.

Решение:

а) Размерность матрицы определяется количеством её строк и столбцов.

Матрица A имеет две строки и два столбца, матрица B - две строки и один столбец, и т.д. Поэтому:

	2 1				5		1		3	0				2 3		1
A	2 1		B		5	F		1 1		2	,	D		2 3		1
A		,	B	2 1	,	F		1 1		2	,	D	2 3				,
2 2	1 4			2 1		3 3							2 3		4 1	2
	1 4				3			2	1						4 1	2
								2	1	1

C1 3 1 3 2 .

б) Протранспонируем заданные матрицы. Для этого соответствующие строки

матриц запишем столбцами: AT 2								1						1
матриц запишем столбцами: AT 2								1		,	BT 5	3 ,	CT	3	;
								4
							1	4						2

	2	4				1	1	2
DT	3	1		,	FT	3 1		1	.

	1		2			0 2		1

в) Рассмотрим операцию перемножения. Перемножить можно лишь те матрицы в которых количество строк первой матрицы совпадает с количеством столбцов второй матрицы.

Матрица А имеет размерность 2 2, а матрица B– размерность 2 1,

поэтому матрицы перемножить можно и в результате перемножения мы получаем матрицу-столбец размерности соответствующей крайним индексам матриц A2 2 и B2 1: G2 1.

A	B		G		2 5 1 3	13
A	B	2 1	G	2 1				.
2 2		2 1		2 1			7
					1 5 4 3		7

Рассмотрим подробно вычисление элементов матрицы G2 1. Данная

g11

матрица в символьном виде записывается так: G2 1 . Она состоит из

g21

двух элементов обозначенных индексами:			g11	и g21.
1) Для первого	элемента i 1 и	j 1,	тогда формула (1.4) примет		вид:
2
g11 a1kbk1 .	Индекс суммирования		k,	изменяется от 1 до n 2	т.е.
k 1

суммирование элементов производится по внутренним индексам (они подчеркнуты). Распишем сумму:

g11 a1kbk1 a11b11 a12b21 2 5 1 3. k 1

Для следующего элемента поступаем аналогично:

g21 a2kbk1 a21b11 a22b21 1 5 4 3.

2)Перемножение матриц можно определить через скалярное произведение вектор-строки матрицы A на вектор-столбец матрицы B. Для нахождения элемента g11 возьмем первую вектор-строку матрицы A и умножим её

скалярно на первый вектор-столбец матрицы B: g11 (2;1) (5;3) 2 5 1 3 13;

g21 ( 1; 4) (5;3) 1 5 4 3 7.

Т.е. матрицы умножаются i-ая строка на j-ый столбец.

В обратном порядке эти матрицы перемножать нельзя. Произведение

B2 1 A2 2 не определено, т.к. внутренние индексы (они подчеркнуты)

различны и мы не можем произвести по ним суммирование.

Перемножим теперь матрицы D2 3 и F3 3. Внутренние индексы совпадают,

следовательно, произведение данных матриц определено и в результате получится матрица размерности D2 3 F3 3 H2 3.

Матрица H в символьном виде записывается так:

h	h	h
H2 3 11	12	13	.
h21	h22	h23

Необходимо определить шесть элементов hij, для этого возьмем соответствующую i-ую строку матрицыD и умножить её на j-ый столбец матрицы F .

			2	3 1		1		3	0
H			2	3 1			1	1	2
H	2 3						1	1	2
	2 3		4	1
			4	1	2		2	1
							2	1	1
H2 3		2 1 3 ( 1) ( 1) 2								2 3 3 1 ( 1) 1	2 0 3 2 ( 1) ( 1)
H2 3										4 3 1 1 2 1	4 0 1 2 2 ( 1)
		4 1 1 ( 1) 2 2								4 3 1 1 2 1	4 0 1 2 2 ( 1)
H			3	8	7
H	2 3
	2 3		7	15	0
			7	15	0
		Поясним,			как вычисляется, например элемент h22. Для этого мы взяли
вторую вектор-строку матрицы D и умножили ее скалярно на второй вектор-
столбец			матрицы			F : h22 (4;1; 2) (3;1;1) 4 3 1 1 2 1 15. Или для
вычисления элемента h13 (2;3; 1) (0; 2; 1) 2 0 3 2 ( 1) ( 1) 7.

4. Определитель матрицы. Обратная матрица

Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое det A, ∆, A, A) которое сопоставляется квадратной матрице и может быть вычислено по ее элементам в соответствии со следующими правилами.

1) Детерминантом матрицы A a11 порядка 1 называется единственный элемент этой матрицы:

det A a11

(2.1)

2) Для матрицы второго порядка мы имеем следующую формулу:

det A	a11	a12	a	a	22	a	21	a	(2.2)
	a21	a22	11		22		21	12
	a21	a22

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Metodichki

#
25.04.2015380.39 Кб21Векторная алгебра.pdf
#
25.04.2015283.81 Кб33Комплексные числа и действия над ними.pdf
#
25.04.2015303 Кб18Матрицы практикум1.pdf
#
25.04.2015339.68 Кб15Плоскость и прямая в пространстве2.pdf
#
25.04.2015311.44 Кб13прямая на плоскости2.pdf
#
25.04.2015262.11 Кб15СЛАУ .pdf

	2 1				5		1		3	0				2 3		1
A	2 1		B		5	F		1 1		2	,	D		2 3		1
A		,	B	2 1	,	F		1 1		2	,	D	2 3				,
2 2	1 4			2 1		3 3							2 3		4 1	2
	1 4				3			2	1						4 1	2
								2	1	1

	2 1				5		1		3	0				2 3		1
A	2 1		B		5	F		1 1		2	,	D		2 3		1
A		,	B	2 1	,	F		1 1		2	,	D	2 3				,
2 2	1 4			2 1		3 3							2 3		4 1	2
	1 4				3			2	1						4 1	2
								2	1	1

	2 1				5		1		3	0				2 3		1
A	2 1		B		5	F		1 1		2	,	D		2 3		1
A		,	B	2 1	,	F		1 1		2	,	D	2 3				,
2 2	1 4			2 1		3 3							2 3		4 1	2
	1 4				3			2	1						4 1	2
								2	1	1