Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Metodichki / Комплексные числа и действия над ними

.pdf
Скачиваний:
32
Добавлен:
25.04.2015
Размер:
283.81 Кб
Скачать

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ДВПИ ИМ. В.В. КУЙБЫШЕВА)

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Практикум

Методические указания по проведению практических занятий для студентов технических специальностей

Владивосток 2010

3

Одобрено методическим советом университета УДК 519

Комплексные числа и действия над ними.: метод. указания / Сост. Н.Е. Дегтярева. – Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2010. – 20с.

В краткой форме излагается основной теоретический материал, входящий в раздел теории функций комплексного переменного: понятие комплексного числа и форм его записи, изображение комплексного числа на комплексной плоскости, действия над комплексными числами, заданными в различных формах записи. Содержит 10 вариантов заданий для самостоятельной работы студентов. Приведены решения типовых заданий и список дополнительных задач.

Методические указания предназначены для студентов технических специальностей.

Методические указания печатаются с оригинал-макета, подготовленного автором

©Н.Е.Дегтярева

©Изд.-во ДВГТУ, 2010

4

1. Комплексные числа и формы их записи

Комплексное число – это выражение вида:

 

z x iy

(1.1)

где x – действительная часть, обозначается x Rez;

y– мнимая часть,

обозначается y Im z; i – мнимая единица, такая, что:

 

i2 1

(1.2)

Формула (1.1) называется алгебраической формой записи

комплексного числа.

 

Комплексное число, как некоторую точку М(х; у) на комплексной

плоскости, можно задать радиус-вектором и углом

поворота этого

вектора (рис.1).

 

y

y

z x iy

М(х; у)

xx

Рис.1

Применяя формулы перехода из декартовой системы координат в полярную систему

x cos

(1.3)

y sin

получим комплексное число, записанное через тригонометрические функции,

т.е. в тригонометрической форме:

z x iy cos i sin

(cos isin ) z

(1.4)

5

где - модуль комплексного числа z , - аргумент комплексного числа

Аrgz = arg z +2 k.

Формулы перехода от декартовых координат к полярным, задаются соотношениями:

 

 

x2 y2

 

 

(1.5)

где

0

 

 

 

 

 

arctg

y

,

x 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

y

x 0,

y 0;

 

 

 

 

,

 

(1.6)

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

arctg

 

,

 

x 0,

y 0;

 

 

 

 

 

x

 

 

 

Где 0 2 ,

или

.

 

Применяя к тригонометрической форме записи комплексного числа

формулу Эйлера:

 

ei cos isin

(1.7)

получим показательную или экспоненциальную форму записи комплексного числа:

z (cos isin ) ei .

(1.8)

Для каждого

комплексного

 

числа z

определено комплексно

сопряженное число

z

и определяемое формулами:

 

 

 

z

x iy

 

 

 

 

z

(cos isin )

 

 

(1.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

z e

 

 

 

 

 

 

 

 

Важно знать, что

 

 

 

 

 

 

z

z

 

z

 

2 2

(1.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

При вычислениях и доказательствах некоторых комплексных тождеств

полезны следующие формулы:

Rez

z

z

,

Im z

z

z

 

i

z

z

.

 

 

2i

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

6

2.Действия над комплексными числами,

заданными в алгебраической форме

1.Сложение и вычитание

Действие сложения и вычитания комплексных чисел z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2 производится по правилу сложения и вычитания двучленов

z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2).

Группируя отдельно действительную и мнимую части, получим формулу:

z1 z2 (x1 x2) i(y1 y2) (2.1)

2. Умножение.

Действие умножение комплексных чисел z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2

производится по правилу умножения двучленов

z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2)

раскроем скобки

z1 z2 x1 x2 x1 iy2 iy1 x2 (i)2 y1 y2

используя формулу (1.2) и группируя действительные и мнимые слагаемые, получим выражение:

z1

z2 (x1x2

y1y2) i (x1y2

x2 y1)

(2.2)

3.

Деление.

 

 

 

Чтобы преобразовать дробь z1 в комплексное число, необходимо

z2

числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряжённое к знаменателю, в числителе произвести действие умножения, а для знаменателя воспользоваться формулой (1.10)

z1

 

z1

z

2

 

z1

z

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

z2

z

2 | z2 |2

 

 

 

z1

 

x1x2 y1y2

i

x2 y1 x1y2

(2.3)

 

 

 

x22 y22

z2

 

x22 y22

 

 

7

3.Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической или в показательной форме

1.Умножение:

При умножении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической

или показательной формах их модули перемножаются, а аргументы

складываются: | z1 z2

| | z1 | | z2

|, arg(z1 z2) argz1

argz2.

z

z

2

ei 1

 

2

ei 2

1

 

2

ei( 1 2)

(3.1)

1

 

1

 

 

 

 

 

z1 z2

1 2(cos( 1 2) isin( 1 2)).

(3.2)

2. Деление:

При делении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической или показательной формах их модули делятся, а аргументы вычитаются:

z

 

 

| z

|

 

 

z

 

 

 

1

 

 

1

 

,

 

1

 

argz1

argz2.

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

| z2

|

arg

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

z1

 

 

1ei 1

1

e

i(

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

(3.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

2ei 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

 

 

1

(cos(

 

 

2

) isin(

 

2

))

(3.5)

 

 

 

 

z2

 

 

2

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Возведение в степень.

Для возведения комплексного числа в целую положительную степень n

применяют формулу Муавра:

zn n (cosn isinn )

(3.6)

Данная формула является следствием формулы (3.2).

4. Извлечение корня порядка n.

Для извлечения корня используем формулу:

n

 

n

 

(cos

2 k

isin

2 k

).

 

z

 

(3.7)

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

Где k 0,1,..., n 1.

8

Точки, соответствующие nz являются вершинами правильного n

угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и

радиусом R n .

Способ построения для 4z (рис.2):

1) Из начала координат описываем окружность радиуса R n .

2) Если arg z , то из начала координат проводим луч под углом

n

к положительному направлению Ох. Пересечение луча с окружностью дает точку z0.

3) Вписываем в окружность правильный n– угольник, одна из вершин которого найденная точка z0. Точки пересечения n– угольника и окружности есть решения z1,...., zn 1.

iy

z0

z1 x

z3

z2

Рис. 2

Практикум

I. Нарисовать комплексные числа на комплексной плоскости.

1)

z1 2 3i,

z2 4 2i,

z3 1 5i;

2)

z1 2 3i,

z2 4 2i,

z3 1 5i;

3)

z1 7 2i,

z2 3 4i,

z3 6 2i;

9

4)

z1 7 2i,

 

z2 3 4i,

z3 6 2i;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

z1 3 5i,

 

z2 6 i,

z3 2 4i;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

z1 3 5i,

z2 6 i,

z3 2 4i;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

z1 5 2i,

 

z2 1 3i,

z3 4 5i;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

z1 5 2i,

 

z2 1 3i,

z3 1 6i;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

z1 1 2i,

z2 3 5i,

z3 4 i;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10) z1 1 2i,

z2 3 5i,

z3 4 i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Возвести комплексное число в квадрат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

z 4 2i,

 

2) z 2 4i,

 

 

3) z 3 5i;

4)

z 1 5i,

 

5) z 3 5i,

 

 

6) z 1 2i;

7)

z 3 4i,

 

8) z 4 5i,

 

 

9) z 7 2i;

10) z 1 6i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III. Найти аргумент комплексного числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1 4 4i,

z2

 

 

 

i,

 

z1 4 4i,

z2

 

 

 

i;

1)

3

2)

3

 

z1 2 2

 

 

i, z2 3

 

 

i,

 

z1 2 2

 

i, z2 3

 

i;

3)

3

3

4)

3

3

5) z1 2

 

2i, z2

 

3i,

6) z1 2

 

2i, z2

 

 

 

3i;

 

3

3

3

3

7) z1 2 2i,

z2 5

 

 

 

5i,

8) z1 2 2i,

z2 5

 

5i;

3

3

 

z1 2 2

 

i,

z2 3 i

 

 

10) z1 1 i,

z2 1

 

i.

9)

3

3,

3

IV. Выполнить действия: z1 z2, z1

z2,

z1 z2,

z1 : z2.

1)

z1 2 4i,

z2 5 3i,

2)

z1 3 5i,

z2 6 4i,

3)

z1 4 i,

z2 3 2i,

4)

z1 5 6i,

z2 7 3i;

 

z1 1 2i,

z2 3

 

i,

 

z1 1 2i,

z2 7 6i;

5)

3

6)

7)

z1 2 3i,

z2 4 7i,

8)

z1 3 7i,

z2 1 4i;

9)

z1 3 4i,

z2 2 5i,

10)

z1 2 i,

z2 3 4i.

V. Перевести комплексное число в показательную форму и возвести в

степень. Ответ записать в алгебраической форме.

10

 

1

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) 3,

 

 

3) ( 3 i)4;

1)

 

 

 

 

 

i

,

 

2) (1 i

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) ( 2 2i) 3,

 

5) ( 1 i

 

3)5,

 

 

 

 

6) ( 2 2i) 5;

7) ( 1 i

 

3)3,

8) (

 

i)4,

 

 

9) (

 

 

i)3;

 

 

 

3

3

10) (3 i

3) 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VI. Найти модуль комплексного числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) ( 2 i)4 (2 2i) 3,

 

 

2) (2

 

i)3 (1 6i) 2;

 

 

3

3) (

 

 

 

i)5 (6 6i) 2,

 

 

4) ( i)3 (2

 

 

i) 2;

3

 

 

 

3

5) (1 i) 3 (

 

i)4,

 

 

6) (3 i

2)3 (7 i) 4;

3

 

 

7)

 

 

 

i5 (7 i)3,

 

 

8) (1 i)7 (3 2i) 3;

9) (

 

 

 

i) 3 (2 3i)5,

 

 

10) (

 

i) 4

(

 

2i)2.

 

 

7

 

 

3

5

VII. Для данного комплексного числа найти модуль и записать комплексно-

сопряжённое число.

1)

z1 2

3

i,

z2 3e5i,

 

z1 4

 

 

 

 

i,

z2 2e 3i,

2)

2

 

z1 2

 

i,

z2 5e3i,

3)

3

 

z1 1

 

 

i,

z2 e2i,

4)

7

 

z1

 

 

 

 

 

 

i,

z2 3e 4i ,

5)

7

 

z1

 

 

 

 

2i,

z2 12e 7i,

6)

3

 

z1 5

 

i,

z2 7e 2i,

7)

2

 

z1

 

2i,

z2 2e3i,

8)

3

 

z1

 

7i,

z2 4e 6i,

9)

3

z3 cos5 isin5 ;

z3 0,2(cos1 isin1);

z3 1,5(cos1 isin 1); 2 2

z3 2,3(cos3 isin 3 ); 2 2

z3 3,2(cos4 isin4); z3 6,2(cos5 isin5); z3 2,4(cos3 isin3); z3 1,7(cos5 isin5); z3 7,4(cos7 isin7);

11

10) z1

7

3i,

z2 5e 7i,

z3 0,5(cos1 isin1).

VIII. Вычислить 3z, если zзадано, изобразить найденные решения на

комплексной плоскости.

1) 8,

2)

1

 

1

i,

3) 1,

 

 

 

 

4) 1,

5) 8;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) 1

 

i,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8) 1

 

 

 

i,

9)

 

i,

10) 2 2i.

3

7)

 

 

i,

 

 

3

3

 

3

IX. Решить квадратное уравнение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) x2 5x 7 0,

 

 

 

2) x2 4x 9 0,

3) x2 3x 5 0;

4) x2 4x 7 0,

 

 

 

5) x2 4x 5 0,

6) x2 2x 4 0;

7) x2 3x 6 0,

 

 

 

8) x2 3x 4 0,

9) x2 2x 8 0;

10) x2 5x 9 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X. Найти частное и остаток от деления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x5 6x4 2x2 7x 1

 

 

5x3 6x2 7x 3

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 4x 3

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

2x5 3x3 7x2 4x 2

 

3x3 4x2 9x 2

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

x2

3x 7

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

7x5 5x4 3x2 6x 7

 

4x3 5x2 3x 1

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 5

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

4x5 5x4 3x2 x 4

 

7x3 2x2 4x 2

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

x2

4x 3

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

9x5 6x4 3x2 8x 4

 

5x3 4x2 3x 9

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x 7

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

5x5 6x3 4x2 7x 2

 

3x3 6x2 7x 1

 

6)

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7x 2

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

3x5 4x4 3x2 6x 3

 

4x3 7x2 5x 2

 

7)

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

x2

6x 7

 

 

 

 

 

x 1

 

12