Metodichki / Комплексные числа и действия над ними
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
(ДВПИ ИМ. В.В. КУЙБЫШЕВА)
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Практикум
Методические указания по проведению практических занятий для студентов технических специальностей
Владивосток 2010
3
Одобрено методическим советом университета УДК 519
Комплексные числа и действия над ними.: метод. указания / Сост. Н.Е. Дегтярева. – Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2010. – 20с.
В краткой форме излагается основной теоретический материал, входящий в раздел теории функций комплексного переменного: понятие комплексного числа и форм его записи, изображение комплексного числа на комплексной плоскости, действия над комплексными числами, заданными в различных формах записи. Содержит 10 вариантов заданий для самостоятельной работы студентов. Приведены решения типовых заданий и список дополнительных задач.
Методические указания предназначены для студентов технических специальностей.
Методические указания печатаются с оригинал-макета, подготовленного автором
©Н.Е.Дегтярева
©Изд.-во ДВГТУ, 2010
4
1. Комплексные числа и формы их записи
Комплексное число – это выражение вида: |
|
z x iy |
(1.1) |
где x – действительная часть, обозначается x Rez; |
y– мнимая часть, |
обозначается y Im z; i – мнимая единица, такая, что: |
|
i2 1 |
(1.2) |
Формула (1.1) называется алгебраической формой записи |
|
комплексного числа. |
|
Комплексное число, как некоторую точку М(х; у) на комплексной |
|
плоскости, можно задать радиус-вектором и углом |
поворота этого |
вектора (рис.1). |
|
y
y
z x iy
М(х; у)
xx
Рис.1
Применяя формулы перехода из декартовой системы координат в полярную систему
x cos
(1.3)
y sin
получим комплексное число, записанное через тригонометрические функции,
т.е. в тригонометрической форме:
z x iy cos i sin
(cos isin ) z |
(1.4) |
5
где - модуль комплексного числа z , - аргумент комплексного числа
Аrgz = arg z +2 k.
Формулы перехода от декартовых координат к полярным, задаются соотношениями:
|
|
x2 y2 |
|
|
(1.5) |
||||||
где |
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
arctg |
y |
, |
x 0; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
arctg |
y |
x 0, |
y 0; |
|
||||||
|
|
|
, |
|
(1.6) |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||
arctg |
|
, |
|
x 0, |
y 0; |
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
Где 0 2 , |
или |
. |
|
Применяя к тригонометрической форме записи комплексного числа
формулу Эйлера: |
|
ei cos isin |
(1.7) |
получим показательную или экспоненциальную форму записи комплексного числа:
z (cos isin ) ei . |
(1.8) |
||||||||||||||
Для каждого |
комплексного |
|
числа z |
определено комплексно |
|||||||||||
сопряженное число |
z |
и определяемое формулами: |
|
||||||||||||
|
|
z |
x iy |
|
|
|
|||||||||
|
z |
(cos isin ) |
|
|
(1.9) |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||||||
|
z e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Важно знать, что |
|
|
|
|
|
|
z |
z |
|
z |
|
2 2 |
(1.10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
При вычислениях и доказательствах некоторых комплексных тождеств
полезны следующие формулы: |
Rez |
z |
z |
, |
Im z |
z |
z |
|
i |
z |
z |
. |
|
|
2i |
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
6
2.Действия над комплексными числами,
заданными в алгебраической форме
1.Сложение и вычитание
Действие сложения и вычитания комплексных чисел z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2 производится по правилу сложения и вычитания двучленов
z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2).
Группируя отдельно действительную и мнимую части, получим формулу:
z1 z2 (x1 x2) i(y1 y2) (2.1)
2. Умножение.
Действие умножение комплексных чисел z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2
производится по правилу умножения двучленов
z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2)
раскроем скобки
z1 z2 x1 x2 x1 iy2 iy1 x2 (i)2 y1 y2
используя формулу (1.2) и группируя действительные и мнимые слагаемые, получим выражение:
z1 |
z2 (x1x2 |
y1y2) i (x1y2 |
x2 y1) |
(2.2) |
3. |
Деление. |
|
|
|
Чтобы преобразовать дробь z1 в комплексное число, необходимо
z2
числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряжённое к знаменателю, в числителе произвести действие умножения, а для знаменателя воспользоваться формулой (1.10)
z1 |
|
z1 |
z |
2 |
|
z1 |
z |
2 |
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z2 |
|
z2 |
z |
2 | z2 |2 |
|
|
|
|||||||
z1 |
|
x1x2 y1y2 |
i |
x2 y1 x1y2 |
(2.3) |
|||||||||
|
|
|
x22 y22 |
|||||||||||
z2 |
|
x22 y22 |
|
|
7
3.Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической или в показательной форме
1.Умножение:
При умножении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической
или показательной формах их модули перемножаются, а аргументы
складываются: | z1 z2 |
| | z1 | | z2 |
|, arg(z1 z2) argz1 |
argz2. |
||||||||
z |
z |
2 |
ei 1 |
|
2 |
ei 2 |
1 |
|
2 |
ei( 1 2) |
(3.1) |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
z1 z2 |
1 2(cos( 1 2) isin( 1 2)). |
(3.2) |
2. Деление:
При делении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической или показательной формах их модули делятся, а аргументы вычитаются:
z |
|
|
| z |
| |
|
|
z |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
, |
|
1 |
|
argz1 |
argz2. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
z2 |
|
| z2 |
| |
arg |
|
|
||||
|
|
|
z2 |
|
|
|
z1 |
|
|
1ei 1 |
1 |
e |
i( |
|
) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
(3.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z2 |
|
|
2ei 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z1 |
|
|
|
1 |
(cos( |
|
|
2 |
) isin( |
|
2 |
)) |
(3.5) |
||||
|
|
|
|
||||||||||||||
z2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Возведение в степень.
Для возведения комплексного числа в целую положительную степень n
применяют формулу Муавра:
zn n (cosn isinn ) |
(3.6) |
Данная формула является следствием формулы (3.2).
4. Извлечение корня порядка n.
Для извлечения корня используем формулу:
n |
|
n |
|
(cos |
2 k |
isin |
2 k |
). |
|
|
z |
|
(3.7) |
||||||||
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
Где k 0,1,..., n 1.
8
Точки, соответствующие nz являются вершинами правильного n–
угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и
радиусом R n .
Способ построения для 4z (рис.2):
1) Из начала координат описываем окружность радиуса R n .
2) Если arg z , то из начала координат проводим луч под углом
n
к положительному направлению Ох. Пересечение луча с окружностью дает точку z0.
3) Вписываем в окружность правильный n– угольник, одна из вершин которого найденная точка z0. Точки пересечения n– угольника и окружности есть решения z1,...., zn 1.
iy
z0
z1 x
z3
z2
Рис. 2
Практикум
I. Нарисовать комплексные числа на комплексной плоскости.
1) |
z1 2 3i, |
z2 4 2i, |
z3 1 5i; |
2) |
z1 2 3i, |
z2 4 2i, |
z3 1 5i; |
3) |
z1 7 2i, |
z2 3 4i, |
z3 6 2i; |
9
4) |
z1 7 2i, |
|
z2 3 4i, |
z3 6 2i; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5) |
z1 3 5i, |
|
z2 6 i, |
z3 2 4i; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6) |
z1 3 5i, |
z2 6 i, |
z3 2 4i; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7) |
z1 5 2i, |
|
z2 1 3i, |
z3 4 5i; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
8) |
z1 5 2i, |
|
z2 1 3i, |
z3 1 6i; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
9) |
z1 1 2i, |
z2 3 5i, |
z3 4 i; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
10) z1 1 2i, |
z2 3 5i, |
z3 4 i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
II. Возвести комплексное число в квадрат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1) |
z 4 2i, |
|
2) z 2 4i, |
|
|
3) z 3 5i; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
z 1 5i, |
|
5) z 3 5i, |
|
|
6) z 1 2i; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
z 3 4i, |
|
8) z 4 5i, |
|
|
9) z 7 2i; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
10) z 1 6i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
III. Найти аргумент комплексного числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
z1 4 4i, |
z2 |
|
|
|
i, |
|
z1 4 4i, |
z2 |
|
|
|
i; |
|||||||||||||||||||||||||
1) |
3 |
2) |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z1 2 2 |
|
|
i, z2 3 |
|
|
i, |
|
z1 2 2 |
|
i, z2 3 |
|
i; |
|||||||||||||||||||||||||
3) |
3 |
3 |
4) |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5) z1 2 |
|
2i, z2 |
|
3i, |
6) z1 2 |
|
2i, z2 |
|
|
|
3i; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) z1 2 2i, |
z2 5 |
|
|
|
5i, |
8) z1 2 2i, |
z2 5 |
|
5i; |
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z1 2 2 |
|
i, |
z2 3 i |
|
|
10) z1 1 i, |
z2 1 |
|
i. |
||||||||||||||||||||||||||||
9) |
3 |
3, |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
IV. Выполнить действия: z1 z2, z1 |
z2, |
z1 z2, |
z1 : z2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
z1 2 4i, |
z2 5 3i, |
2) |
z1 3 5i, |
z2 6 4i, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
z1 4 i, |
z2 3 2i, |
4) |
z1 5 6i, |
z2 7 3i; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z1 1 2i, |
z2 3 |
|
i, |
|
z1 1 2i, |
z2 7 6i; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
3 |
6) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
z1 2 3i, |
z2 4 7i, |
8) |
z1 3 7i, |
z2 1 4i; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
z1 3 4i, |
z2 2 5i, |
10) |
z1 2 i, |
z2 3 4i. |
V. Перевести комплексное число в показательную форму и возвести в
степень. Ответ записать в алгебраической форме.
10
|
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3) 3, |
|
|
3) ( 3 i)4; |
|||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
i |
, |
|
2) (1 i |
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) ( 2 2i) 3, |
|
5) ( 1 i |
|
3)5, |
|
|
|
|
6) ( 2 2i) 5; |
||||||||||||||||||||||
7) ( 1 i |
|
3)3, |
8) ( |
|
i)4, |
|
|
9) ( |
|
|
i)3; |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
10) (3 i |
3) 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
VI. Найти модуль комплексного числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1) ( 2 i)4 (2 2i) 3, |
|
|
2) (2 |
|
i)3 (1 6i) 2; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
3) ( |
|
|
|
i)5 (6 6i) 2, |
|
|
4) ( i)3 (2 |
|
|
i) 2; |
|||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
5) (1 i) 3 ( |
|
i)4, |
|
|
6) (3 i |
2)3 (7 i) 4; |
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7) |
|
|
|
i5 (7 i)3, |
|
|
8) (1 i)7 (3 2i) 3; |
||||||||||||||||||||||||
9) ( |
|
|
|
i) 3 (2 3i)5, |
|
|
10) ( |
|
i) 4 |
( |
|
2i)2. |
|||||||||||||||||||
|
|
7 |
|
|
3 |
5 |
VII. Для данного комплексного числа найти модуль и записать комплексно-
сопряжённое число.
1) |
z1 2 |
3 |
i, |
z2 3e5i, |
||||||||||||||||
|
z1 4 |
|
|
|
|
i, |
z2 2e 3i, |
|||||||||||||
2) |
2 |
|||||||||||||||||||
|
z1 2 |
|
i, |
z2 5e3i, |
||||||||||||||||
3) |
3 |
|||||||||||||||||||
|
z1 1 |
|
|
i, |
z2 e2i, |
|||||||||||||||
4) |
7 |
|||||||||||||||||||
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
i, |
z2 3e 4i , |
|||||||||||
5) |
7 |
|||||||||||||||||||
|
z1 |
|
|
|
|
2i, |
z2 12e 7i, |
|||||||||||||
6) |
3 |
|||||||||||||||||||
|
z1 5 |
|
i, |
z2 7e 2i, |
||||||||||||||||
7) |
2 |
|||||||||||||||||||
|
z1 |
|
2i, |
z2 2e3i, |
||||||||||||||||
8) |
3 |
|||||||||||||||||||
|
z1 |
|
7i, |
z2 4e 6i, |
||||||||||||||||
9) |
3 |
z3 cos5 isin5 ;
z3 0,2(cos1 isin1);
z3 1,5(cos1 isin 1); 2 2
z3 2,3(cos3 isin 3 ); 2 2
z3 3,2(cos4 isin4); z3 6,2(cos5 isin5); z3 2,4(cos3 isin3); z3 1,7(cos5 isin5); z3 7,4(cos7 isin7);
11
10) z1 |
7 |
3i, |
z2 5e 7i, |
z3 0,5(cos1 isin1). |
VIII. Вычислить 3z, если zзадано, изобразить найденные решения на
комплексной плоскости.
1) 8, |
2) |
1 |
|
1 |
i, |
3) 1, |
|
|
|
|
4) 1, |
5) 8; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6) 1 |
|
i, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) 1 |
|
|
|
i, |
9) |
|
i, |
10) 2 2i. |
||||||||||||
3 |
7) |
|
|
i, |
|
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
IX. Решить квадратное уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1) x2 5x 7 0, |
|
|
|
2) x2 4x 9 0, |
3) x2 3x 5 0; |
||||||||||||||||||||||||||||
4) x2 4x 7 0, |
|
|
|
5) x2 4x 5 0, |
6) x2 2x 4 0; |
||||||||||||||||||||||||||||
7) x2 3x 6 0, |
|
|
|
8) x2 3x 4 0, |
9) x2 2x 8 0; |
||||||||||||||||||||||||||||
10) x2 5x 9 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
X. Найти частное и остаток от деления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3x5 6x4 2x2 7x 1 |
|
|
5x3 6x2 7x 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x2 4x 3 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2x5 3x3 7x2 4x 2 |
|
3x3 4x2 9x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
x2 |
3x 7 |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
7x5 5x4 3x2 6x 7 |
|
4x3 5x2 3x 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
3x 5 |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
4x5 5x4 3x2 x 4 |
|
7x3 2x2 4x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
x2 |
4x 3 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
9x5 6x4 3x2 8x 4 |
|
5x3 4x2 3x 9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
5x 7 |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
5x5 6x3 4x2 7x 2 |
|
3x3 6x2 7x 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
7x 2 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3x5 4x4 3x2 6x 3 |
|
4x3 7x2 5x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
7) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
6x 7 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
12