Metodichki / прямая на плоскости2

4.Выяснить как расположены прямые на плоскости: параллельно, ортогонально или просто пересекаются.

1)Какая из точек A, B, C принадлежит прямой l3,l4,l4;

2)Найти точку пересечения прямых l1,l2;

3)Уравнение прямой проходит через точки A и B, найти координаты вектора нормали и направляющего вектора;

4)записать общее уравнение прямой проходящей через точку A

параллельную l1 и точку Bортогональной l2;

11

5)Записать уравнение прямой проходящей через середину отрезка AC , ортогональной к нему. Найти ее угловой коэффициент:

6)Через точку пересечения прямых l1, l2 провести прямую параллельную

l4 и ортогональную l5.

Решение:

Для того, чтобы проверить принадлежит ли указанная точка данной прямой воспользуемся понятием принадлежности элемента указанному множеству. Подставим координаты точки вместо переменных в каждое из уравнений и проверим выполнение тождества:

A(2; 3), l3 :4x 5y 7 0;

1 3 4 9 , следовательноC l5

2) Для того, чтобы найти точку пересечения прямых воспользуемся свойством пересечения множеств, то есть решим систему:

2x y 3 0,

x 4y 5 0.

Используем метод исключения переменной .

Умножив второе уравнение системы на 2 и сложив с первым уравнением системы, найдем переменную y:

Умножим первое уравнение системы на 4 и сложив со вторым уравнением системы, найдем переменную x:

12

r AB (0 2;5 ( 3)) ( 2;8). Для определения координат вектора

нормали n воспользуемся соотношением (3.11). n (8;2)

Проверка: вектор r n, следовательно их скалярное произведение равно

нулю. r n 8 ( 2) 2 8 0

4) Уравнения прямых l1 и l2 заданы в общем виде. Рассмотрим их нормали

n1 (2; 1), n2 (1;4) .

Из рис.1 видно, что вектор n1 является нормальным к прямой проходящей

Решим полученную пропорцию и запишем уравнение прямой в общем виде

(1.2) : 4(x 0) 1(y 5), 4x y 5 0.

13

5) Найдем точку M0 середину отрезка AC . Для этого используем формулу деления отрезка пополам.

искомой прямой l (рис. 3). Применяя формулу (1.1), запишем ее уравнение:

2(x 3) 4(y ( 1)) 0, 2x 4y 2 0,

l

M0 C

A

Рис.3.

Сокращая получено равенство на 2 получим уравнение: x 2y 1 0;

r (4; 8). Искомая прямая l параллельна l4 и соответственно вектору r, а значит, этот вектор является направляющим для l (рис. 4)

D

l

l1 Рис.4 r1 Тогда имеем согласно формуле (1.4):

14

18x 9y 41 0 или окончательно 18x 9y 41 0.

Найдем уравнение прямой ортогональной к l5 : y 3x 9. Прямая l5

задана своим угловым коэффициентом k5 3 (1.7). Так как искомая прямая l, расположена ортогонально к l5 (рис. 5), то согласно соотношения (3.10)

Или окончательно 9x 27y 38 0.

D

l5

l

Рис.5.

2. Прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy отрезки a 2 и

b 5 соответственно. Найти ее направляющие вектора и угловой коэффициент.

Решение:

Искомая прямая имеет вид (рис.6) Составим ее уравнение, используя

15

Определим теперь расстояние между прямыми. Но, для начала, проверим их на параллельность:

l1 :3x 7y 13 0; следовательно n1 (3; 7)

l2 :3x 7y 14 0; следовательно n2 (3; 7)

Так как координаты векторов нормали пропорциональны, то прямые параллельны и можно определить расстояние между ними. Прямая l1

M0

r

l1 l2

Рис.7

4.Выяснить как расположены прямые на плоскости: параллельно, ортогонально или просто пересекаются.

17

Решение:

Для определения расположения прямых на плоскости можно воспользоваться любым из соотношений п.3.

1) Определим их расположение через угловые коэффициенты. Запишем l1 в

виде: y 2 3(x 4) откуда согласно формуле (1.8) k1 3.

произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны. Вектора ортогональны и следовательно прямые параллельны. 3) Запишем оба уравнения в общем виде

Координаты векторов нормали пропорциональны, следовательно прямые параллельны.

3.На оси Х найти точки, отстоящие от прямой 2x y 4 0 на 5 единиц.

4.Диагонали ромба, длиной в 30и 16единиц, приняты за оси координат.

Составить уравнения сторон ромба.

5. Составить уравнения сторон правильного треугольника, приняв за начало координат одну из вершин, взяв за оси одну из сторон и перпендикуляр к ней.

18

причем AM / MB 2/3. Провести через точку M прямую,

перпендикулярную прямой AB .

7.Список используемой литературы

1.Любимова О.Н., Дегтярева Н.Е. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Владивосток.: изд-во ДВГТУ, 2008г. - 167с.

2.:Клетеник Д.В., Сборник задач по аналитической геометрии. С-Петербург.:

Профессия, 2006. – 200с.

3.Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: Физматлит, 2001. -160с.

19