1.3. Анализ электрических фильтров во временной области

Анализ электрических фильтров во временной области заключается в вычислении выходных сигналов цепи по заданным входным сигналами заданным левым начальным условиям на выходной сигнал

Чаще всего при анализе используются типовые входные сигналы в виде:

• единичной ступеньки

• единичного импульса (дельта-функции)

• гармонического сигнала

Это вполне оправдано, так как имеется связь между реакцией системы на типовой входной сигнал и ее поведением в реальных рабочих условиях. Тестовый сигнал в виде единичной ступеньки во многих случаях является наиболее неблагоприятным. Если при этом выходной сигнал удовлетворяет определенным условиям, то часто можно считать, что он тем более будет удовлетворять им и при иных характерных воздействиях.

Система является работоспособной, т. е. отрабатывает поступившее на вход воздействие тогда и только тогда, когда выходной процессявляется сходящимся.

Реакция предварительно невозбужденной цепи на единичное входное воздействие называетсяпереходной характеристикой цепи

Переходная характеристика полностью характеризует работу системы. Приведем ее основные параметры:

• время переходного процесса – минимальное время, по истечении которого выходная величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью:

• перерегулирование (в реальных системах обычно 10–30%, но в некоторых случаях допускается до 70%), определяется выражением

где – первое амплитудное значение

• статическое отклонение

• частота колебаний процесса

где – период колебаний

• время установления (время нарастания) – абсцисса первой точки пересечения с уровнем установившегося значения

• декремент затухания

где и– две последующие амплитуды одного знака;

• число колебаний – число максимумов

Дельта-функциейназывается функция, которая обладает следующими свойствами:

(1.9)

Реакция предварительно невозбужденной цепи на единичный импульс называетсяимпульсной переходной характеристикой цепи

Также как и переходная характеристика импульсная переходная характеристика полностью характеризует качество работы системы.

Так как изображение по Лапласу от единичной ступенчатой функции

(1.10)

то, согласно (1.2),

(1.11)

Таким образом для вычисления переходной характеристики электрической цепи необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа согласно выражению (1.11).

Изображение по Лапласу от дельта-функции

(1.12)

следовательно

(1.13)

Определим связь между переходной характеристикой и импульсной переходной характеристикой. Из (1.11) имеем

или

(1.14)

Так как при нулевых начальных условиях умножению изображения на соответствует дифференцирование в области времени, то из (1.14) следует

(1.15)

Пример 1.3.Задана передаточная функция цепи

где

Необходимо вычислить переходную характеристику цепи импульсную переходную характеристикупостроить их графические изображения, а также вычислить интеграл от

Задание выполним в среде Maple 6; далее приведен текст программы с соответствующими комментариями.

Очистка внутренней памяти

> restart:

Подключение библиотеки для выполнения преобразования Лапласа

> with(inttrans):

Задание выражения частотной передаточной функции по напряжению

> Ku:=(b4*s^4+b2*s^2+b0)/(a4*s^4+a3*s^3+a2*s^2+a1*s+a0):

Задание коэффициентов частотной передаточной функции по напряжению

> b4:=6.16e-8: b2:=6.079e-3: b0:=150:

a4:=6.16e-8: a3:=9.675e-6: a2:=7.599e-3: a1:=0.477:

a0:=150:

Вычисление переходной характеристики (обратное преобразование Лапласа)

> h:=simplify(invlaplace(Ku/s,s,t));

Построение графика переходной характеристики

> plot(h,t=0..0.3);

Вычисление импульсной переходной характеристики

> k:=simplify(invlaplace(Ku,s,t));

Построение графика импульсной переходной характеристики

> plot(k,t=0..0.3);

Вычисление интеграла от переходной характеристики

> i_h:=int(h,t);