ДЗ по Лин.алг._МТ11-22
.pdf
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 0.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(1; −1; 5; −4; −3), 2(3; −1; 3; −2; 1), 3(−4; 1; −2; 1; −3).
2.Доказать, что векторы 1(−1; −2; 3), 2(−4; −1; 3), 3(−1; 1; −1) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном
базисе (0; −12; 16), в новом базисе (−5; 4; 5). |
|
|
|||
3. Построить ортонормированный базис |
в линейной |
оболочке системы |
векторов |
||
1(1; 0; 1; 2), |
2(3; −2; 3; 4), |
3(1; −1; 1; 1), |
4(4; −3; 3; 3). |
Найти координаты |
вектора |
= 1 − 3 2 |
+ 3 + 3 4 в этом базисе. |
|
|
|
|
4. Оператор в пространстве 2[ ] многочленов степени не выше второй задан соотно-
шением ( ( )) = (2 + 1)dd ( ) + 6 ( ). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { 2, , 1}.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода. |
−6 −1 −5 , |
= |
−6 −2 |
6 . |
|||
= |
|||||||
|
3 |
2 |
1 |
|
3 |
2 |
0 |
|
12 8 |
13 |
|
2 |
0 |
−4 |
|
6. Привести квадратичную форму −2 2 + 12 + 8 −20 2 −16 −19 2 к диагональному
виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму 10 21 +6 1 2 +12 1 3 +2 22 +4 2 3 +5 23 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую −2 2 − 4 + 2 = 2.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 1.
1. Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(−8; 9; 7; 10; 1), 2(1; −1; −1; −1; 0), 3(1; 0; −2; 1; 1).
2. |
Доказать, что векторы 1(−2; 2; 3), 2(3; −2; −3), 3(−2; 1; 1) образуют базис в R3. |
||||
Найти координаты вектора в этом базисе и вектора |
в исходном, если в исходном |
||||
базисе (−22; 16; 24), в новом базисе (5; 5; −6). |
|
|
|
||
3. |
Построить ортонормированный базис в линейной |
оболочке |
системы |
векторов |
|
1(0; −1; −1; −2), |
2(1; 1; 1; 1), 3(1; −1; −1; −3), 4(1; −3; −2; −5). |
Найти координаты |
|||
вектора = − 1 |
− 3 2 − 2 3 + 4 в этом базисе. |
|
|
|
|
4. |
Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = · Пр , где |
(2; 6; 5), |
|||
(2; −3; −2). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода. |
−4 |
10 |
0 , |
= |
10 |
−1 |
−4 . |
= |
|||||||
|
−5 |
12 |
−3 |
|
12 |
−2 |
−6 |
|
3 −4 |
5 |
|
5 −2 |
1 |
||
6. Привести квадратичную форму −2 2 + 4 − 4 − 4 2 + 12 − 11 2 к диагональному
виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −3 21 − 4 1 3 − 3 22 + 4 2 3 − 23 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 6 2 + 4 + 9 2 = 40.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 2.
1. Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(−7; 4; 2; −1; 5), 2(−1; −2; 0; 1; −1), 3(−5; −1; 1; 1; 1).
2. |
Доказать, что векторы 1(1; −1; 3), 2(−2; 1; −5), 3(2; −4; 7) образуют базис в R3. |
|||
Найти координаты вектора в этом базисе и вектора |
в исходном, если в исходном |
|||
базисе (3; −20; 21), в новом базисе (1; 1; 3). |
|
|
||
3. |
Построить |
ортонормированный базис в |
линейной |
оболочке системы векторов |
1(1; 1; 0; −2), |
2(2; 2; 1; −5), 3(−1; −1; 1; 1), |
4(2; 1; −1; −2). Найти координаты век- |
||
тора = 3 1 − 3 2 − 3 + 4 в этом базисе. |
|
|
||
4.Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = [ , ], где (−5; −6; −1). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода.
= |
3 |
3 −1 , |
= |
−5 |
4 |
5 . |
|
|
5 |
−1 |
0 |
|
−3 |
2 |
2 |
|
2 |
−2 |
4 |
|
4 −4 −5 |
||
6.Привести квадратичную форму − 21 + 4 1 2 + 6 1 3 − 6 22 − 28 23 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −2 21 − 4 1 3 − 2 22 − 2 2 3 − 6 23 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 4 2 − 6 + 4 2 = 1.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 3.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(2; 5; 0; −3; 1), 2(1; 2; −1; −2; 0), 3(−1; −1; 3; 3; 1).
2.Доказать, что векторы 1(1; −3; 2), 2(0; 1; 2), 3(2; −7; 3) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(−4; 23; 9), в новом базисе (0; 2; 3).
3. Построить ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов
1(2; 1; 0; 1), 2(−3; −1; 1; −2), 3(−4; −1; 2; −3), 4(4; 1; −1; 2). Найти координаты вектора
= 2 1 − 3 2 + 3 3 + 4 в этом базисе.
4.Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = ( , ) , где (3; 4; −5). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода.
= |
−4 −2 |
−6 |
, |
= |
−2 10 |
−6 |
. |
||
|
12 |
12 |
12 |
|
|
9 |
−12 |
13 |
|
|
4 |
4 −4 |
|
5 |
−12 |
−9 |
|||
6.Привести квадратичную форму − 2 +6 +2 −11 2 −10 −5 2 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму 3 21 − 8 1 3 + 3 22 + 4 2 3 + 4 23 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 2 + + 2 = 1.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 4.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(3; −3; 5; −1; 2), 2(5; −1; 7; −3; 2), 3(−2; 1; −3; 1; −1).
2.Доказать, что векторы 1(−4; −5; −1), 2(−3; −3; −2), 3(8; 8; 5) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном
базисе (16; 17; 8), в новом базисе (4; −4; −5). |
|
|
||
3. Построить |
ортонормированный базис в линейной оболочке |
системы векторов |
||
1(1; 0; −2; −1), |
2(−1; 1; 2; −1), |
3(−1; −1; 3; 3), |
4(1; 1; −2; −3). |
Найти координаты |
вектора = 1 |
+ 3 2 + 3 3 + 3 4 в этом базисе. |
|
|
|
4. Оператор в пространстве 2[ ] многочленов степени не выше второй задан соотно-
шением ( ( )) = (− + 2)dd ( ) − 6 ( ). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { 2, , 1}.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода.
= |
−11 |
−3 |
−2 , |
= |
9 |
−4 |
12 . |
|
0 |
−8 |
14 |
|
5 |
−2 |
4 |
|
−7 |
−2 |
−1 |
|
3 |
−2 |
6 |
6.Привести квадратичную форму − 21 − 2 1 2 + 2 1 3 − 2 22 − 3 23 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму 3 2 −8 −2 + 18 2 + 8 + 3 2 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 3 2 − 2 + 3 2 = 4.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 5.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(5; −2; −5; −1; −1), 2(−2; 1; 3; 0; 1), 3(−7; 2; 3; 3; −1).
2.Доказать, что векторы 1(−2; −1; 2), 2(4; 1; −1), 3(−7; −2; 3) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном
базисе (−10; −1; −3), в новом базисе |
(3; −5; −3). |
|
|
|
3. Построить |
ортонормированный |
базис в линейной оболочке |
системы векторов |
|
1(1; −1; 0; −1), |
2(−1; 3; −1; −1), 3(1; 1; −1; −3), |
4(1; 2; −1; −4). |
Найти координаты |
|
вектора = −2 1 − 2 2 + 3 − 4 в этом базисе.
4. Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = · Пр , где (−6; −3; −5),(−1; 4; −4). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода.
= |
3 |
−5 −16 , |
= |
0 |
1 −3 . |
||
|
1 |
4 |
8 |
|
−2 |
−2 |
2 |
|
−2 5 |
13 |
|
−12 −8 |
0 |
||
6.Привести квадратичную форму − 21 +2 1 2 −2 1 3 −2 22 +8 2 3 −11 23 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −2 2 − 4 − 2 2 − 6 − 14 2 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 2 + 4 − 2 2 = 1.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 6.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(1; 2; 1; −1; 1), 2(1; −5; −4; 2; −3), 3(−1; 8; 8; −2; 4).
2.Доказать, что векторы 1(−5; −1; −3), 2(2; 1; 2), 3(4; 0; 1) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(−2; 1; 0), в новом базисе (−2; −6; −4).
3. Построить ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов
1(1; 0; −1; 1), 2(2; 1; −2; 1), 3(−3; −2; 3; −1), 4(−3; −2; 2; 1). Найти координаты вектора
= 3 1 − 3 2 − 3 + 4 в этом базисе.
4.Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = [ , ], где (5; 4; −4). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода.
= |
−0 |
−6 −1 |
, |
= |
−8 |
−13 4 . |
||||
|
|
14 |
−13 |
−14 |
|
3 |
8 |
−4 |
||
|
|
8 |
12 |
8 |
2 |
|
−2 |
4 |
−4 |
−3 2 к каноническому |
6. Привести квадратичную форму −2 − 4 + 8 − 5 |
+ 14 − 15 |
|||||||||
виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму 2 2 − 4 + 8 − 2 − 4 + 2 2 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 5 2 + 8 + 5 2 = 9.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 7.
1. Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(1; −2; 0; 1; −3), 2(0; −7; 1; 3; −5), 3(−4; 1; 1; −1; 7).
2. |
Доказать, что векторы 1(−1; 3; −6), 2(0; −1; 2), 3(1; 1; −1) образуют базис в R3. |
|
Найти координаты вектора в этом базисе и вектора |
в исходном, если в исходном |
|
базисе (−3; 0; −1), в новом базисе (−4; 5; 2). |
|
|
3. |
Построить ортонормированный базис в линейной |
оболочке системы векторов |
1(2; −1; 0; −1), 2(−1; 1; 1; −1), 3(−4; 3; 2; −1), 4(−4; 2; 1; 1). Найти координаты вектора
= −2 1 − 3 2 + 2 3 − 3 4 в этом базисе.
4.Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = [ , ], где (−6; −5; −6). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода.
= |
10 −9 |
0 , |
= |
3 |
−5 |
−4 . |
|
|
1 |
3 |
1 |
|
3 |
−7 |
−5 |
|
−6 |
3 |
−4 |
|
−2 2 |
2 |
|
6.Привести квадратичную форму − 21 + 2 1 2 + 4 1 3 −2 22 −2 2 3 −7 23 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −2 2 − 2 − 2 2 + 2 − 2 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 3 2 − 3 + 3 2 = 5.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 8.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(8; 9; 2; −1; −3), 2(3; 4; 1; 0; −1), 3(−2; −1; 0; 1; 1).
2.Доказать, что векторы 1(1; 0; 1), 2(3; 5; 1), 3(2; 3; 1) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(−10; −24; −2), в новом базисе (0; 6; 3).
3. Построить |
|
ортонормированный базис в линейной оболочке |
системы векторов |
|||||
1(1; 0; −1; 1), |
2 |
(−2; 1; 2; −1), |
3(−1; −2; 1; −3), |
4(−3; 2; 2; −1). |
Найти координаты |
|||
вектора = −2 1 |
+ 2 2 − 3 3 |
− 4 в этом базисе. |
|
|
||||
4. Оператор в |
пространстве |
2[ ] |
многочленов степени не выше второй задан соотноше- |
|||||
|
d |
|
|
|
||||
нием ( ( )) = ( −3)d ( ) + ( ). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { 2, , 1}.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода. |
−7 |
−9 |
−9 , |
= |
2 |
1 |
−8 . |
= |
|||||||
|
−2 |
2 |
2 |
|
2 |
4 |
10 |
|
2 |
1 |
−1 |
|
−2 2 |
11 |
|
6. Привести квадратичную форму −2 2 + 8 + 4 − 12 2 + 8 − 21 2 к каноническому
виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −2 2 − 4 − 4 − 2 2 + 4 + 2 2 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 8 2 + 4 + 5 2 = 9.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 9.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(1; −3; −1; −1; 1), 2(0; −1; 2; 1; 1), 3(−3; 8; 5; 4; −2).
2.Доказать, что векторы 1(2; 4; −1), 2(−1; −7; 1), 3(−2; −5; 1) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном
базисе (5; 13; −3), в новом базисе (−5; −4; 0).
3. Построить ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов
1(1; −1; 0; 1), 2(−1; 2; 1; −2), 3(2; −3; −1; 3), 4(2; −3; −2; 2). Найти координаты вектора
= 1 + 2 + 2 3 − 4 в этом базисе.
4.Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = ( , ) , где (−3; −1; −4). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода. |
18 |
6 −14 , |
= |
4 |
−7 |
−4 . |
|
= |
|||||||
|
17 |
−1 |
−7 |
|
5 |
−8 |
−8 |
|
16 |
−1 |
−6 |
|
4 |
−8 |
−1 |
6.Привести квадратичную форму −2 21+8 1 2+8 1 3−10 22−8 2 3−19 23 к диагональному виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму 3 21 + 4 1 3 + 3 22 + 2 2 3 − 23 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую − 2 + 4 + 2 2 = 3.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 10.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(−5; −7; 2; 5; −5), 2(3; 4; 0; −1; 1), 3(1; 0; 5; 3; −1).
2.Доказать, что векторы 1(3; 7; 2), 2(2; 7; 2), 3(1; 3; 1) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(1; −8; −3), в новом базисе (−1; −5; −2).
3. Построить ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов
1(1; −1; 0; 1), 2(−1; 1; 1; −2), 3(1; −2; 4; −2), 4(1; −2; 3; −1). Найти координаты вектора
= 1 + 2 2 + 3 − 4 в этом базисе.
4.Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = [ , ], где (4; −5; −3). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода.
= |
6 −5 −8 , |
= |
2 |
−7 |
−13 . |
||
|
−2 |
3 |
4 |
|
4 |
−12 |
−20 |
|
−8 |
6 |
10 |
|
2 |
−3 |
−1 |
6.Привести квадратичную форму − 2 + 4 + 4 −6 2 −4 −8 2 к диагональному виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −4 2 − 2 − 4 2 + 2 − 3 2 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 9 2 − 4 + 6 2 = 10.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 11.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(2; −1; −5; −9; 5), 2(2; 1; 1; 5; 3), 3(−1; −1; −2; −6; −1).
2.Доказать, что векторы 1(0; 3; 2), 2(3; 2; 0), 3(−4; 5; 5) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(−11; −3; 3), в новом базисе (5; −5; 2).
3. Построить |
ортонормированный базис в линейной оболочке |
системы векторов |
||
1(2; −1; 0; −1), |
2(2; −1; −1; 1), |
3(−4; 2; 3; −4), |
4(−3; 2; 2; −2). |
Найти координаты |
вектора = −2 1 + 2 2 − 3 + 3 4 в этом базисе. |
|
|
||
4.Оператор в пространстве 2[ ] многочленов степени не выше второй задан соотношением ( ( )) = −2dd22 ( ) − 4dd ( ) − ( ). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { 2, , 1}.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода.
= |
−2 |
15 |
−4 , |
= |
20 |
1 |
−10 . |
|
2 |
8 |
2 |
|
9 |
4 |
−9 |
|
−2 |
14 |
−3 |
|
18 |
4 |
−13 |
6.Привести квадратичную форму −3 21 + 12 1 2 − 6 1 3 − 16 22 + 20 2 3 − 9 23 к кано- ническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −15 21 + 16 1 2 + 8 1 3 − 3 22 − 4 2 3 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую − 2 + 8 − 2 = 5.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 12.
1. Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(−4; 1; −1; 3; −2), 2(5; 1; 3; 5; −5), 3(4; 0; 1; −3; 2).
2. |
Доказать, что |
векторы 1(−1; 2; 2), 2(−1; −1; 1), 3(−2; 0; 3) образуют |
базис в R3. |
||||||
Найти координаты вектора в этом базисе и вектора |
в исходном, если в исходном |
||||||||
базисе (6; −2; −11), в новом базисе (0; 2; 3). |
|
|
|
|
|||||
3. |
Построить |
ортонормированный базис в линейной |
оболочке системы векторов |
||||||
1(1; −1; 0; −1), |
2(−1; 2; −1; 2), |
3(1; −1; 1; −3), |
4(−2; 2; −1; 4). |
Найти |
координаты |
||||
вектора = −2 1 |
− 3 2 − 3 3 − 4 в этом базисе. |
|
|
|
|
||||
4. |
Оператор в |
пространстве |
задан |
соотношением |
( ) = |
( , ) , |
где (5; 6; 4), |
||
(5; 6; 2). Доказать линейность оператора |
и найти его матрицу в |
базисе { , , }. |
|||||||
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода.
= |
6 |
14 |
10 , |
= |
3 |
5 6 . |
|
|
11 |
12 |
11 |
|
−2 |
−2 |
−2 |
|
−11 −20 −15 |
|
0 |
−4 |
−6 |
||
6.Привести квадратичную форму −2 21 + 12 1 2 + 4 1 3 − 19 22 − 10 2 3 − 4 23 к диаго- нальному виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −2 2 + 4 − 2 2 + 8 − 3 2 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую − 2 + 8 + 5 2 = 6.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 13.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(3; −4; −1; 3; −1), 2(−1; 3; 2; −1; −1), 3(−2; 3; 1; −3; 1).
2.Доказать, что векторы 1(3; −2; −4), 2(−5; 7; −1), 3(−5; 8; −3) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном
базисе (0; 11; −23), в новом базисе (3; −5; −1). |
|
|
|
3. Построить |
ортонормированный базис в линейной оболочке |
системы векторов |
|
1(1; 0; −1; −1), |
2(2; 1; −2; −3), 3(4; −2; −3; −2), |
4(1; 2; −1; −3). |
Найти координаты |
вектора = −2 1 + 3 2 − 2 3 − 2 4 в этом базисе.
4. Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = · Пр , где (−2; 3; −3),(−3; 3; −2). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода.
= |
4 |
−11 |
8 , |
= |
1 |
0 |
1 . |
|
1 |
−10 |
8 |
|
−5 |
6 |
−9 |
|
0 |
−20 |
17 |
|
2 |
0 |
2 |
6.Привести квадратичную форму − 2 −2 +6 −3 2 +10 −13 2 к диагональному виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −3 21 −4 1 3 −3 22 + 6 2 3 −15 23 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 7 2 − 2 + 7 2 = 6.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 14.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(1; 0; 1; 5; 5), 2(−2; 1; −1; −4; −2), 3(0; −1; −1; −6; −8).
2.Доказать, что векторы 1(−8; −6; 7), 2(3; 1; −3), 3(−2; −1; 2) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном
базисе (10; 4; −10), в новом базисе (0; −2; 4).
3. Построить |
ортонормированный базис |
в линейной оболочке системы векторов |
1(1; 1; −1; 0), |
2(4; 3; −2; 1), 3(3; 2; −2; 1), |
4(−2; −1; 1; −1). Найти координаты век- |
тора = 3 1 + 3 2 − 2 3 + 2 4 в этом базисе. |
|
|
4. Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = · Пр , где (2; 3; −1),(6; −2; −5). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода.
= |
−4 |
7 |
−2 , |
= |
7 |
−18 |
13 . |
|
−5 |
8 |
−4 |
|
7 |
−18 |
13 |
|
10 −10 8 |
|
8 |
−10 |
−1 |
||
6.Привести квадратичную форму − 21 −2 1 2 +4 1 3 −2 22 +2 2 3 −6 23 к диагональному виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму 21 − 8 1 2 + 2 1 3 − 14 22 + 8 2 3 + 23 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 3 2 − 4 + 6 2 = 4.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 15.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(−3; 7; 2; −2; −1), 2(−1; −5; −1; 3; 1), 3(−7; 9; 3; −1; −1).
2.Доказать, что векторы 1(−2; 1; −1), 2(1; −7; 1), 3(−4; 3; −2) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном
базисе (−6; −10; −2), в новом базисе |
(−5; 2; 4). |
|
|
|
|
3. Построить |
ортонормированный |
базис в линейной |
оболочке |
системы |
векторов |
1(1; 1; 0; 1), 2(1; 2; 1; 2), 3(2; 2; 1; 3), 4(−1; −1; −2; −3). |
Найти |
координаты |
вектора |
||
= −2 1 + 2 |
− 3 − 3 4 в этом базисе. |
|
|
|
|
4.Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = [ , ], где (2; −5; −3). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода.
= |
−2 2 3 , |
= |
6 −4 −4 . |
|
||||||
|
3 |
−4 |
−5 |
|
−6 |
|
4 |
4 |
|
|
|
|
− |
− 2 |
|
− |
2 |
|
8 |
|
2 к диагональному |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
12 |
8 |
|
||
6. Привести квадратичную форму −4 |
+ 8 + 16 − 7 |
− 10 − 23 |
|
|||||||
виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −3 21 −4 1 3 −3 22 + 6 2 3 −15 23 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 2 2 − 4 + 5 2 = 2.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 16.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(1; −2; −2; 0; −1), 2(3; 3; 3; −1; 1), 3(6; 4; 5; −2; 1).
2.Доказать, что векторы 1(2; 3; 1), 2(1; 1; 1), 3(1; 0; 1) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(−2; 3; −3), в новом базисе (3; −4; −1).
3. Построить ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов
1(1; −1; 0; −1), 2(−3; 1; −1; 2), 3(−4; 2; −1; 3), 4(2; 1; 1; −1). Найти координаты вектора
= −2 1 + 2 2 − 3 3 − 3 4 в этом базисе.
4. В базисе { 1, 2, 3} вектор имеет координаты = ( ; ; ). Оператор переводит вектор в вектор ( ) = (2 − 9 ; −5 − 7 − 9 ; − − 7 + 5 ). Доказать линейность
оператора и найти его матрицу в этом базисе.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода. |
4 |
3 |
5 , |
= |
−8 |
0 |
−10 . |
= |
|||||||
|
2 |
2 |
3 |
|
12 |
4 |
10 |
|
−4 −3 −5 |
|
−4 |
−2 −1 |
|||
6.Привести квадратичную форму − 21 +6 1 2 +4 1 3 −10 22 −10 2 3 −7 23 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму 2 + 8 + 8 + 2 + 8 + 2 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 3 2 − 8 − 3 2 = 5.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 17.
1. Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(1; 1; −4; 2; −1), 2(0; 3; −5; 3; −1), 3(−5; 7; 0; 2; 1).
2. |
Доказать, что векторы 1(1; 2; −2), 2(0; −5; 6), |
3(−2; 0; −1) образуют базис в R3. |
||||
Найти координаты вектора в этом базисе и вектора |
в исходном, если в исходном |
|||||
базисе (8; 3; 0), в новом базисе (4; 1; −1). |
|
|
|
|||
3. |
Построить |
ортонормированный базис в линейной |
оболочке |
системы векторов |
||
1(−1; −1; 0; −1), 2 |
(1; −1; 1; 3), 3(−1; 2; −1; −3), |
4(1; 2; −1; −1). |
Найти координаты |
|||
вектора = 3 1 |
+ 2 |
+ 3 + 4 в этом базисе. |
|
|
|
|
4.Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = [ , ], где (−2; −1; 1). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода. |
0 0 |
−3 |
, |
= |
−15 5 3 . |
|
||||||
|
= |
|
||||||||||
|
|
9 |
−9 |
−11 |
|
|
−14 |
6 |
2 |
|
||
6. Привести |
|
|
−2 |
0 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
−10 |
−2 |
|
||||
|
квадратичную форму |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 к диагональному |
|||
|
|
|
− 4 + 12 |
− 4 + 8 − 23 |
|
|||||||
|
|
|
|
−2 |
|
|
||||||
виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −3 2 + 8 + 4 − 3 2 − 4 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 2 + 8 + 7 2 = 1.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 18.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(1; 1; 1; −1; 0), 2(−5; −2; −10; 7; −1), 3(1; −2; 6; −3; 1).
2.Доказать, что векторы 1(3; −1; 4), 2(2; −1; 3), 3(4; −1; 4) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(2; −3; 11), в новом базисе (0; −5; 4).
3. |
Построить |
ортонормированный базис в линейной |
оболочке системы векторов |
1(−1; −1; 2; 0), |
2(−4; −3; 4; −2), 3(2; 1; −1; 1), 4(1; 1; −1; 1). Найти координаты вектора |
||
= −2 1 + 3 2 |
+ 3 + 2 4 в этом базисе. |
|
|
4. |
В базисе { 1, 2, 3} вектор имеет координаты = |
( ; ; ). Оператор переводит |
|
вектор в вектор ( ) = ( − 5 + 2 ; −5 + 8 + 8 ; −6 + 8 − 5 ). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в этом базисе.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно,
привести матрицу оператора ( или |
или обоих) к диагональному виду и записать |
|||||
матрицу перехода. |
4 |
9 |
6 , |
= |
−10 −1 |
−5 . |
= |
||||||
|
−1 |
1 |
2 |
|
5 2 |
−1 |
|
−4 |
−3 |
0 |
|
−2 2 |
−6 |
6. Привести квадратичную форму −4 2 − 8 + 8 − 6 2 + 20 − 25 2 к каноническому
виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −5 21 + 8 1 2 −8 1 3 + 22 + 4 2 3 −6 23 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 2 + 4 + 2 = 3.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 19.
1. Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(6; 3; −9; 4; 2), 2(9; 0; −6; 5; 1), 3(−4; 1; 1; −2; 0).
2. |
Доказать, что векторы 1(0; −5; 3), 2(1; −1; 0), |
3(−1; 3; −1) образуют базис в R3. |
|||||
Найти координаты вектора в этом базисе и вектора |
в исходном, если в исходном |
||||||
базисе (6; −4; −2), в новом базисе (−4; 0; −5). |
|
|
|
|
|||
3. |
Построить |
ортонормированный базис в линейной |
оболочке |
системы |
векторов |
||
1(1; −1; 0; −1), |
2(−1; 2; −1; 3), |
3(−2; −1; 1; −2), |
4(−2; −1; 2; −3). |
Найти |
координа- |
||
ты вектора = 1 + 2 + 2 3 + 4 в этом базисе.
4.Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = [ , ], где (−6; 2; −2). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода.
= |
1 |
−9 |
3 , |
= |
−1 |
−4 |
9 |
. |
|
−4 |
12 |
−6 |
|
5 |
14 |
−18 |
|
|
2 |
−6 |
0 |
|
−1 |
−6 |
10 |
|
6.Привести квадратичную форму −2 21+12 1 2+4 1 3−20 22−23 23 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −3 2 + 12 − 3 2 + 8 − 12 2 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую −7 2 + 8 + 8 2 = 9.