Шпоры / Шпоры(МП-23_edition) / 01

1. Классический электронный газ

Впервые представление об электронном газе было введено Друде в 1900 г. в его теории проводимости металлов. Теория Друде в свете со­временных знаний о строении вещества основывалась на следующих предложениях:

1. При образовании металла валентные электроны его атомов от­рываются и становятся свободными. Таким образом, металл представ­ляет собой совокупность неподвижных положительно заряженных ио­нов, погруженных в электронный газ.

2. Электронный газ в металле подобен идеальному газу классиче­ской физики. Однако в отличие от последнего электроны сталкиваются только с неподвижными ионами, столкновениями с электронами пре-небрегается.

3. В интервале между столкновениями электроны не взаимодейст­вуют ни с друг с другом (приближение независимых электронов), ни с ионами (приближение свободных электронов).

4. Скорость электрона после столкновения направлена случайным образом, а ее величина определяется температурой той области, в кото­рой произошло столкновение.

5. Вероятность для электрона испытать столкновение в единицу времени равна 1/. Величина называется временем свободного про­бега или временем релаксации. Предполагается, что время свободного пробега не зависит от скорости электрона.

По аналогии с кинетической теорией газов для электронного газа в металле можно ввести функцию распределения по скоростям Максвел­ла - Больцмана, понятия плотности (концентрации) электронов n, тепло­вой скорости v_t. длины свободного пробега l= v_T .

Плотность электронного газа легко рассчитать, зная массовую, плотность металла и число Авогадро. Она составляет порядка 10²² - 10²³ см^-3, что примерно в 1000 раз больше плотности идеального газа классической физики.

Используя известное соотношение о равнораспределении энергии по степеням свободы: =kT

где m - масса электрона; k - постоянная Больцмана; Т - абсолютная тем­пература, можно определить тепловую скорость v_Т, величина которой при Т= 300 К составляет ~10⁷ см/с.

В отсутствие электрического поля электроны движутся хаотично, поэтому все направления равновероятны и средняя скорость направлен­ного движения электронов равна нулю.

Если к металлу приложить электрическое поле , то на электроны начинает действовать сила F = mа =-е

При этом каждый электрон приобретает ускорение a=

Здесь через е обозначено абсолютное значение заряда электрона.

Пусть t - время, прошедшее с момента последнего столкновения. Тогда скорость электрона в момент времени t равна v(t) = v_Т+at=v_Tt

Определим среднюю скорость движения совокупности электронов в электрическом поле, называемую дрейфовой скоростью. Поскольку после столкновения все направления равновероятны, то среднее значе­ние < v_T > = 0. В то же время в соответствии с предположениями сред­нее значение <t> = - времени релаксации. Поэтому v_d= = -_n

Величина _n= = (1.1) называется подвижностью электронов. Она численно равна дрейфо­вой скорости в единичном электрическом поле.

Движение совокупности электронов с дрейфовой скоростью v_d создает электрический ток. Поскольку концентрация электронов равна n, то за единицу времени nv_d электронов пересечет единичное сечение, перпендикулярное вектору v_d. Эти электроны перенесут заряд (-env_d), поэтому плотность тока электронов

j_n= -env_d=en_n=, где =en_n= (1.2) называется электропроводностью.

Размерности подвижности и электропроводности в системе СИ =

Величина, обратная электропроводности, называется удельным со­противлением = 1/ и имеет размерность

Формула (1.2) позволяет вычислить величину времени релаксации т, если известно экспериментальное значение электропроводности ст. Для металлов расчет дает величину ~10- 10с. При средней тепло­вой скорости электронов 10 см/с длина их свободного пробега состав­ляет в таком случае ~1 – 10А.

Полученное значение по порядку величины соответствует меж­атомным расстояниям в металлах, что согласуется с предположением о столкновениях электронов с неподвижными ионами. Однако оно проти­воречит опытным данным, из которых следует, что длина свободного пробега электронов в металлах может намного превосходить параметр решетки и при низких температурах достигать величины порядка 1 см.

Рассмотренная модель электронного газа противоречит также классическому закону Дюлонга - Пти, согласно которому все твердые тела при достаточно высоких температурах имеют одинаковую тепло­емкость. Непонятно, почему диэлектрики, в которых электронный газ отсутствует, имеют такую же теплоемкость, что и металлы. Другими словами, неясно, почему классический электронный газ не вносит свой вклад в теплоемкость твердого тела.

Указанные противоречия удалось разрешить только в рамках кван­товой теории электронного газа.