2,4 эВ, относят иногда к полупроводникам, а иногда и к диэлектрикам, в зависимости от конкретных требований, предъявляемых к нему по электропроводности.

1.2. Собственные полупроводники

Собственным полупроводником называют химически чистый полупроводник, в котором отсутствуют примеси. Рассмотрим процесс образования электронов проводимости в собственном полупроводнике. Для конкретности рассуждения будем проводить применительно к кремнию, являющемуся типичным полупроводником. Атом кремния имеет 14 электронов, которые распределяются по состояниям следующим образом: 1s22s22p63s23p2. Валентными являются 3s23p2 электроны. В кристалле кремния валентная зона образуется из состояний 3s23p2. Она отделена от свободной зоны, образованной из состояний 3p4, запрещенной зоной ∆ESi = 1,12 эВ.

В решетке кремния каждый атом окружен четырьмя соседями, образуя с ними ковалентную связь. Схематически двумерное представление связей атомов кремния изображено на

Fr

Рис 1.5. Возникновение свободного электрона и дырки в решетке кремния.

рис. 1.5. Действительное же расположение атомов трехмерно. При очень низкой температуре все валентные электроны участвуют в образовании связей между атомами и не участвуют поэтому в электропроводности.

При повышении температуры кристалла тепловые колебания решетки приводят к разрыву некоторых валентных связей. В результате часть электронов, ранее участвовавших в образовании валентных связей, отщепляется и становится электронами проводимости. Это означает, что они переходят из валентной зоны в свободную зону (зону проводимости) (рис. 1.6). При наличии электрического поля они перемещаются против поля и образуют электрический ток.

EC

Генерация Рекомбинация

EV

Рис. 1.6. Генерационно-рекомбинационные процессы в собственном полупроводнике ( – электрон; – дырка).

Однако, кроме процесса переноса заряда с помощью электронов проводимости, возможен еще и другой механизм электропроводности. Он обусловлен тем, что разрыв валентной связи приводит к появлению вакантного места с отсутсвующей связью. Такие «пустые» места с отсутствующими электронами связи получили название «дырок». По-другому можно сказать, что дырка – это нескомпенсированная валентная связь. Легко

видеть, что возникновение дырок в кристалле полупроводника создает дополнительную возможность для переноса заряда

Fr

Рис. 1.7. Схематическое представление дырочной проводимости ( – связанный электрон; – дырка).

(рис. 1.7).

Действительно, при наличии дырки какой-либо из электронов связи может перейти на место дырки. В результате в этом месте будет восстановлена нормальная связь, но зато появится дырка в другом месте. В новую дырку, в свою очередь, сможет перейти какой-либо из других электронов связи и т.д. Такой процесс будет происходить многократно, в результате чего в образовании тока будут принимать участие не только электроны проводимости, но и электроны связи, которые будут постепенно перемещаться так же, как и электроны проводимости против электрического поля.

Однако, в отличии от электронов проводимости, электроны связи перемещаются в валентной зоне. При этом дырки (нескомпенсированные связи) будут двигаться в валентной зоне противоположно, в направлении электрического поля, т.е. так, как двигались бы положительно заряженные частицы. Следовательно, дырку можно рассматривать как некую квазичастицу, имеющую положительный заряд, численно равный

заряду электрона и массу, несколько отличающуюся от массы электрона.

Рассмотренный процесс перемещения нескомпенсированной связи получил название дырочной проводимости. Следовательно, в полупроводниках возможны два различных процесса электропроводности: электронный, осуществляемый движением электронов в зоне проводимости, и дырочный, обусловленный движением дырок в валентной зоне.

Переход электронов из связанного состояния в валентной зоне в свободное состояние зоны проводимости приводит к появлению двух свободных носителей заряда: электрона и дырки. Этот процесс получил название генерации электронно-дырочной пары. Однако, если свободный электрон встретится с дыркой, то они рекомбинируют (соединяются). Это означает, что электрон нейтрализует положительный заряд дырки и теряет свободу перемещения. Рекомбинация приводит к одновременному исчезновению свободных электрона и дырки. В состоянии равновесия устанавливается такая концентрация электронов (и равная ей концентрация дырок), при которой число прямых и обратных переходов в единицу времени одинаково.

Процесс проводимости в химически чистых полупроводниках, лишенных примесей и других дефектов решетки, в котором участвуют электроны и дырки, получил название собственной проводимости.

1.3 Примесные полупроводники

Замещение части атомов полупроводника в узлах кристаллической решетки атомами примеси приводит к существенному изменению его электрических свойств. Такие полупроводниковые материалы называют примесными и соответственно их электропроводность примесной. Наиболее применяемыми примесями в кремнии являются пятивалентный фосфор и трехвалентный бор. В связи с тем, что фосфор и бор имеют разное количество валентных электронов, они будут

оказывать и различное влияние на электрические свойства кремния. Рассмотрим действие каждого из них в отдельности.

На рис. 1.8 условно изображена решетка кремния с примесью атомов фосфора. Для образования ковалентных связей с соседями атому фосфора достаточно четырех электронов. Пятый электрон атома фосфора оказывается связанным слабо и может быть легко отщеплен при поглощении части энергии тепловых колебаний решетки. В этом случае в зоне

Рис. 1.8. Схематическое изображение решетки кремния с примесью фосфора.

проводимости кремния

появляется один свободный электрон , а атом фосфора превращается в положительно заряженный ион. При этом образование дырки не происходит, т.к. ковалентные связи в кристалле не нарушаются. Следовательно, в кремнии с пятивалентной примесью лишь электроны могут участвовать в электропроводности. Такой полупроводник называют полупроводником п-типа (от слова negative – отрицательный). Атомы примеси, поставляющие электроны проводимости, называются донорами.

При приближении свободного электрона к положительно заряженному иону примеси он может быть захвачен этим ионом. Таким образом, в полупроводнике происходят два процесса: процесс ионизации ионов примеси, сопровождающийся появлением свободного электрона проводимости, и процесс деионизации при захвате свободного электрона ионом примеси и превращении последнего в атом. С увеличением температуры количество свободных электронов сначала растет, а затем достигает насыщения, т.к. при высокой температуре почти все атомы примеси будут находиться в ионизированном состоянии.

Примеси искажают электрическое поле решетки. Это приводит к возникновению на энергетической диаграмме локальных уровней, расположенных в запрещенной зоне кристалла (рис. 1.9). Уровни энергии, образованные донорной примесью, называются донорными уровнями. Энергию, соответствующую локальному уровню, электрон может иметь, лишь находясь вблизи атома примеси, вызвавшего появление этого уровня. Следовательно, электрон, занимающий примесный уровень, локализован вблизи атома примеси. Однако, любой уровень зоны проводимости или валентной зоны может быть занят электроном, находящимся в любом месте кристалла.

EC

ED

Донорные уровни

EV

Рис. 1.9. Энергетическая диаграмма полупроводника п – типа ( ED – энергия уровня донорной примеси).

Теперь рассмотрим решетку кремния с примесью трехвалентного элемента, например, бора (рис. 1.10), который имеет всего три валентных электрона, в то время как для образования ковалентной связи с соседями необходимы четыре электрона. Это означает, что одна из связей будет неукомплектованной. Недостающий четвертый электрон может быть захвачен из соседней связи. При этом атом бора превратится в отрицательный ион, а оборванная (неукомлектованная) связь соседних атомов кремния будет представлять собой дырку, способную блуждать по кристаллу. Это означает, что электрический ток в таком полупроводнике будет обусловлен движением дырок. Проводимость в этом случае называется дырочной, а полупроводник – полупроводником р-типа (от слова positive – положительный). Примеси, захватывающие электроны и вызывающие вследствие этого возникновение дырок, называются акцепторными.

Рис 1.10. Схематическое изображение решетки кремния с примесью бора.

Акцепторам на энергетической диаграмме соответствуют локальные энергетические уровни, расположенные в запрещенной зоне вблизи потолка валентной зоны (рис. 1.11). Возникновению дырок отвечает переход электрона из валентной

зоны на акцепторный уровень. Происходят и обратные переходы электрона с акцепторного уровня в валентную зону. При обратном переходе имеет место разрыв одной из четырех ковалентных связей иона примеси с его соседями и рекомбинация электрона, освободившегося при этом, с дыркой. В области невысоких температур, когда вероятность перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости мала, электропроводность

EC

Акцепторные уровни

EA

EV

Рис. 1.11. Энергетическая диаграмма полупроводника р – типа ( EA – энергия уровня акцепторной примеси; – электрон; – дырка).

полупроводника р-типа будет осуществляться за счет движения дырок в валентной зоне.

1.4. Электропроводность полупроводников и ее температурная зависимость

Движение носителей заряда в твердых телах (электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне) при действии на них электрического поля существенно отличается от движения заряженных частиц в вакууме. Так, свободные заряды под действием кулоновской силы в однородном электрическом поле движутся в вакууме с постоянным ускорением. Действительно, в

соответствии со вторым законом Ньютона ускорение можно записать в виде

соответственно; F – напряженность электрического поля.

Из (1.1) следует, что ускорение пропорционально

напряженности электрического поля, и поскольку F всюду одинакова и не зависит от времени, то a тоже остается постоянным. В этом случае скорость заряженной частицы линейно зависит от времени, а именно:

где v0 и v – скорости в начальный момент времени и в момент

времени t .

Аналогично движутся электроны и дырки в твердых телах в промежутке времени между соседними актами рассеяния (рис. 1.12). Обычно время наблюдения значительно превышает среднее время свободного пробега носителей заряда. Следовательно, можно говорить лишь о средней скорости движения зарядов, которая, как показывает эксперимент, пропорциональна напряженности электрического поля:

В дальнейшем для определенности будем рассматривать электропроводность полупроводника п-типа. В этом случае выражение для плотности электрического тока может быть записано следующим образом:

электронов.

С другой стороны, в соответствии с законом Ома в

В связи с тем, что удельная электропроводность пропорциональна концентрации и подвижности носителей заряда, рассмотрим отдельно зависимости n и µ от температуры.

1.4.1. Концентрация носителей заряда

Концентрация электронов в зоне проводимости полупроводника, приходящаяся на интервал энергии dE , пропорциональна плотности электронных состояний, вероятности их заполнения электронами и интервалу энергии, а именно:

проводимости (удвоенное число уровней, приходящихся на единичный интервал энергии) в единичном объеме кристалла; f (E) – функция Ферми–Дирака, определяющая вероятность

нахождения электрона на уровне с энергией E .

Функция распределения Ферми–Дирака имеет следующий

вид:

где EF – электрохимический потенциал, который применительно

к электронам называют также уровнем Ферми или энергией Ферми; k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура.

Функция Ферми–Дирака применима для системы электронов, находящихся в термодинамическом равновесии. Кроме того, она учитывает, что 1) все электроны системы неразличимы (одинаковы); 2) состояние электрона определяется четырьмя квантовыми числами (главным, азимутальным, магнитным и спиновым), а изменение состояния – изменением значения хотя бы одного из них; 3) в системе не может быть одновременно более одного электрона в каждом квантовом состоянии (принцип Паули). Из выражения (1.8) следует, что уровень Ферми – это энергия такого квантового состояния, вероятность заполнения которого равна ½.

Вид функции Ферми–Дирака схематически показан на рис. 1.13. При температуре равной абсолютному нулю (Т = 0К) она имеет вид разрывной функции. В этом случае при E < EF

функция f (E) =1. Это значит, что все квантовые состояния с такими энергиями заполнены электронами. Для E > EF функция f (E) = 0 и соответствующие квантовые состояния совершенно

не заполнены.

При Т ≠ 0 функция Ферми–Дирака изображается непрерывной кривой и в узкой области энергий, порядка нескольких kT , в окрестности точки E = EF изменяется от 1 до

0. Ширина переходной области увеличивается с повышением

При Е, бóльшем EF на несколько kT, единицей в

знаменателе выражения (1.8) можно пренебречь по сравнению с экспонентой, и тогда

где С – постоянная. Следовательно, при достаточно больших энергиях («хвост» функции распределения) квантовое распределение Ферми–Дирака (1.8) переходит в классическое распределение Максвелла–Больцмана (1.9).

Рис. 1.13. Распределение Ферми–Дирака: 1 – Т = 0; 2 – Т > 0.

У металлов уровень Ферми лежит в зоне проводимости, у диэлектриков – в запрещенной зоне, а у полупроводников – как в запрещенной зоне, так и в зоне проводимости для полупроводника п-типа или в валентной зоне для полупроводника р-типа. Полупроводники, у которых уровень Ферми находится в зоне проводимости или в валентной зоне называются вырожденными. Невырожденный полупроводник (уровень Ферми располагается в запрещенной зоне) при достаточно большой концентрации примеси может стать вырожденным. Для описания поведения электронного газа в металлах и вырожденных полупроводниках использование

функции распределения Ферми–Дирака является принципиальным. Электронная система, подчиняющаяся статистике Ферми–Дирака, носит название вырожденной. В случае невырожденного полупроводника, когда уровень Ферми лежит на несколько kT ниже дна зоны проводимости или выше потолка валентной зоны, можно пользоваться статистикой Максвелла–Больцмана. Все дальнейшие рассуждения будем проводить применительно к невырожденным полупроводникам.

На рис. 1.14 изображено схематично положение уровня Ферми в металле и невырожденных полупроводниках п- и р-типа при Т = 0. Видно, что в металле уровень Ферми совпадает с последним (наиболее высоким) уровнем энергии, заполненным электронами, а в полупроводниках он находится в запрещенной зоне, а именно, в середине энергетического интервала между уровнем донорной примеси и дном зоны проводимости в полупроводнике п-типа и в середине энергетического интервала между уровнем акцепторной примеси и потолком валентной зоны в полупроводнике р-типа. В собственном полупроводнике уровень Ферми лежит в середине запрещенной зоны.

Рис. 1.14. Положение уровня Ферми в металле (а) и полупроводниках п-типа (б) и р-типа (в) при Т = 0.

Плотность электронных состояний в зоне проводимости пропорциональна корню квадратному из разности энергии электрона и энергии дна зоны проводимости, а именно:

где m – эффективная масса электрона, учитывающая особенности движения электрона в периодическом электрическом поле кристалла; h – постоянная Планка.

На рис. 1.15 для полупроводника п-типа представлены зависимости функции распределения Ферми–Дирака, плотности электронных состояний в зоне проводимости и спектральной

проводимости, причем ее значения заметно отличаются от нуля в сравнительно небольшом энергетическом интервале. Это позволяет относительно легко найти концентрацию свободных электронов. Действительно, при интегрировании выражения (1.7) в качестве верхнего предела вместо значения энергии, соответствующей потолку зоны проводимости, можно взять бесконечность, а именно:

EC

ED EF EV

Рис. 1.15. Зависимости функции Ферми–Дирака (а); плотности электронных состояний (б) и спектральной плотности концентрации электронов (в) от энергии для полупроводника п-типа.

где NC = 2(2πmkT )3 / 2 h−3 – эффективная плотность состояний в

зоне проводимости.

Экспоненциальный множитель в выражении (1.12) в нашем случае невырожденного полупроводника дает вероятность заполнения квантового состояния с энергией EC (распределение

Максвелла–Больцмана). В связи с этим формула (1.12) означает, что для невырожденного полупроводника концентрация подвижных электронов получается такой же, как если бы вместо непрерывного распределения состояний в зоне в каждом единичном объеме кристалла было NC состояний с одинаковой

энергией EC .

Проведя аналогичные рассуждения относительно полупроводника р-типа, можно получить следующее выражение для концентрации дырок в валентной зоне:

где NV = 2(2πm kT )3/ 2 h−3 – эффективная плотность состояний в

валентной зоне; m – эффективная масса дырки.

Выражения для концентрации электронов (1.12) и дырок (1.13) не зависят от параметров примесных уровней, поэтому они оба вместе применимы как для полупроводника п-типа, так и для полупроводника р-типа. Формулы (1.12) и (1.13) справедливы и для собственного полупроводника.

В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок одинаковы. Тогда в соответствии с (1.12) и (1.13) будем

где ni и pi – концентрации электронов и дырок в собственном

Энергетическое положение уровня Ферми в полупроводниковых материалах зависит от типа примеси, ее концентрации и энергии ионизации, плотности квантовых состояний в соответствующих энергетических зонах и температуры. В теории полупроводников показано, что при невысоких температурах выражение для уровня Ферми в полупроводнике п-типа может быть записано в виде

а для полупроводника р-типа – в виде

EF = EA + EV + kT ln N A , (1.17) 2 2 2NV

где N D и N A – концентрации донорной и акцепторной примесей соответственно; ED и EA – энергии донорного и акцепторного

уровней соответственно.

Подставляя (1.16) в (1.12) и (1.17) в (1.13), после несложных преобразований для концентрации электронов в полупроводнике п-типа и концентрации дырок в полупроводнике р-типа будем иметь соответственно:

Рассмотрим подробно температурную зависимость концентрации подвижных электронов. На рис. 1.16 схематично представлена зависимость логарифма концентрации электронов от обратной температуры. При низких температурах (область 3)

концентрация электронов в зоне проводимости увеличивается с ростом температуры за счет ионизации донорной примеси (1.18). Участок насыщения (область 2) соответствует температурам, при которых примесь полностью ионизирована и уже не поставляет электроны в зону проводимости, а генерация электроннодырочных пар, обусловленная переходами электронов из валентной зоны в зону проводимости, еще незначительна. При высоких температурах (область 1) увеличение концентрации электронов с ростом температуры объясняется переходом электронов из валентной зоны в зону проводимости (1.15).

Теперь рассмотрим вопрос о подвижности носителей заряда и ее температурной зависимости.

1.4.2. Подвижность носителей заряда

Подвижность свободных носителей заряда в твердых телах определяется рассеянием их на неоднородностях, которые могут

быть двух типов: дефекты кристаллической решетки (атомы примеси, дислокации, границы кристаллических зерен и т. п.) и флуктуационные неоднородности, связанные с тепловыми колебаниями кристаллической решетки. В моноатомных полупроводниках, к которым относится, например, кремний, рассеяние носителей зарядов на тепловых колебаниях решетки значительно при сравнительно высоких температурах. При низких же температурах преобладает рассеяние на ионах примеси. При наличии обоих механизмов рассеяния результирующая подвижность может быть представлена в виде

где µпр – подвижность носителей заряда при рассеянии на ионах

примеси; µТ – подвижность носителей зарядов при рассеянии на тепловых колебаниях решетки.

Подвижности µпр и µТ по-разному зависят от температуры.

Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что

µпр = aT 3 / 2 , µТ =bT −3 / 2 , (1.21)

где a и b – постоянные.

Из (1.21) следует, что в области низких температур, когда преобладает рассеяние на ионах примеси, подвижность носителей заряда с увеличением температуры должна расти. В области же высоких температур становится существенным рассеяние на тепловых колебаниях кристаллической решетки, увеличивающееся с ростом температуры, что должно приводить к уменьшению подвижности. Подставляя (1.21) в (1.20) после

Зависимость подвижности от температуры в соответствии с (1.22) представлена схематично на рис. 1.17. Видно, что в области

низких температур подвижность действительно увеличивается с ростом температуры, а в области высоких температур уменьшается. Положение максимума на кривой µ = f (T ) зависит

от концентрации дефектов в решетке: с увеличением

µ

Т

Рис. 1.17. Температурная зависимость подвижности носителей заряда.

концентрации примеси максимум смещается в сторону более высоких температур.

Отметим, что выражение (1.22) применимо для описания температурной зависимости подвижности как электронов, так и дырок. Отличие состоит лишь в значениях постоянных a и b. В полупроводниковых материалах электроны, как правило, имеют большее значение подвижности, чем дырки ( µn >µp , где µn и

µp – подвижность электронов и дырок соответственно). Кроме

того, подвижность носителей заряда может иметь существенно различные значения для разных полупроводников. Так, при комнатной температуре в кремнии µn = 0,12 м2/(В·с) и

µp = 0,05 м2/(В·с), а в антимониде индия (InSb) µn = 8 м2/(В·с) и

µp = 0,94 м2/(В·с).

Зная температурную зависимость концентрации свободных носителей заряда и их подвижности, можно найти температурную зависимость электропроводности полупроводников.

1.4.3. Температурная зависимость электропроводности

В общем случае удельная электропроводность полупроводников определяется двумя составляющими: собственной и примесной, а именно:

где σсоб и σпр – удельные проводимости, обусловленные

собственными и примесными носителями заряда соответственно. Рассмотрим отдельно каждую из составляющих общей электропроводности. Сначала проведем анализ собственной электропроводности, в которой принимают участие электроны и дырки, появившиеся вследствие тепловой генерации. В этом случае в соответствии с (1.6) выражение для σсоб может быть

записано в виде

В области собственной электропроводности равновесные концентрации электронов и дырок равны ( ni = pi ). Тогда

выражение (1.24) с учетом (1.15) можно преобразовать к следующему виду

температуры, однако эти зависимости весьма слабые по сравнению с экспонентой. Поэтому поведение функции σсоб = f (T ) согласно (1.25) характеризуется экспоненциальным

сомножителем, а коэффициент перед экспонентой ( e(µn + µp )NC NV ) в широких интервалах температур можно

полагать практически постоянным. Это позволяет по известной зависимости σсоб = f (T ) , используя формулу (1.25), находить

Примесная электропроводность обусловлена основными носителями заряда: электронами в полупроводнике п-типа и дырками в полупроводнике р-типа. Вклад неосновных носителей заряда (дырок в полупроводнике п-типа и электронов в полупроводнике р-типа) в σпр ничтожно мал, поскольку их

концентрации гораздо меньше концентраций основных носителей заряда. В этом случае выражение для электропроводности (1.6) с учетом (1.18) для полупроводника п- типа и (1.19) для полупроводника р-типа будет иметь вид

электронном и дырочном полупроводниках соответственно. Логарифмируя выражения (1.27) и (1.28) и дифференцируя

их затем по обратной температуре, после несложных преобразований получим формулы для энергии ионизации

На рис. 1.18 приведены зависимости логарифма проводимости от обратной температуры для электронного полупроводника при различной концентрации донорной примеси.

Аналогично выглядят кривые ln σ = f (1/ T ) для дырочного

полупроводника при различной концентрации акцепторов. В области низких температур в полупроводнике имеет место примесная проводимость (участок 3 – 4), увеличение которой с ростом температуры (с уменьшением значений обратной температуры) определяется возрастанием концентрации примесных носителей заряда. Участок 2 – 3 соответствует температурам, при которых все атомы примеси ионизированы, а собственная проводимость еще очень мала. Некоторое уменьшение проводимости полупроводника с увеличением температуры в этом случае связано с уменьшением подвижности носителей заряда за счет увеличивающегося рассеяния их на колебаниях кристаллической решетки. При дальнейшем

ln σ

1

увеличивается с ростом температуры за счет увеличения концентрации собственных носителей заряда.

При увеличении концентрации примеси в полупроводнике ( N D1 < N D2 < N D3 ) участки температурной зависимости

примесной проводимости смещаются вверх по оси ординат, а температура перехода от примесной проводимости к собственной смещается в сторону более высоких температур. При этом влияние подвижности носителей заряда на температурную зависимость проводимости полупроводника уменьшается (протяженность участка 2 – 3 сокращается). При достаточно высокой концентрации примеси ее атомы остаются неполностью ионизированными вплоть до температуры, при которой начинает преобладать собственная проводимость. В этом случае участок 2 – 3 вообще отсутствует.

Экспериментальные зависимости электропроводности полупроводников, представленные в координатах ln σ − 1/ T ,

используются для определения значений ширины запрещенной зоны (1.26) и энергии ионизации примеси (1.29) и (1.30).