6.9. Неравновесное уравнение Пуассона

Запишем уравнение Пуассона для ОПЗ полупроводника р‑типа, находящегося в неравновесных условиях, в виде:

. (6.48)

Здесь nир– неравновесные концентрации электронов и дырок, описываемые соотношением (6.37),N_D⁺иN_A^–– концентрации ионизованных доноров и акцепторов. Подставляя (6.37) в (6.48) и учитывая, что в квазинейтральном объеме

,

получаем аналогично по сравнению с равновесным случаем:

. (6.49)

Проводя интегрирование уравнения (6.49), получаем первый интеграл неравновесного уравнения Пуассона в виде:

. (6.50)

Обозначим F(ψ, φ₀, φ_c) величину, равную

. (6.51)

Знак электрического поля Евыбирается так же, как и в равновесном случае. Еслиψ_s > 0, тоЕположительно, еслиψ_s < 0, полеЕотрицательно.

Согласно теореме Гаусса величину электрического поля на поверхности E_s однозначно определяет зарядQ_sc в ОПЗ:

, (6.52)

где L_D – дебаевская длина экранирования, определяемая соотношением:

.

Для области инверсии, в которой работает МДП‑транзистор, выражение для заряда Q_scзначительно упрощается. Действительно, поскольку величинаψ_sположительна и велика, из (6.51) и (6.52) следует, что зарядQ_scравен:

. (6.53)

Заряд электронов Q_nв канале определяется разностью между полным зарядомQ_sc и зарядом ионизированных акцепторовQ_В:

. (6.54)

Для области слабой инверсии пока ионизованных акцепторов

. (6.55)

Для области сильной инверсии, когда , заряд ионизованных акцепторов не зависит от поверхностного потенциалаψ_s. Его величина равна:

. (6.56)

Здесь и далее мы приняли для простоты, что концентрация основных носителей дырок p_p0 в квазинейтральном объеме равна концентрации легирующей акцепторной примесиN_A. Выражения для заряда свободных носителейQ_nв канале получаем из (6.53 – 6.56).

Для области слабой инверсии

. (6.57)

Для области сильной инверсии

. (6.58)

В начале области сильной инверсии, когда , для выражения заряда электронов Q_nв канале необходимо пользоваться соотношением (6.54), подставляя в него значенияQ_sc из (6.53), а значенияQ_В– из уравнения (6.56).

Таким образом, решение неравновесного уравнения Пуассона даст выражения (6.57, 6.58), описывающие зависимость заряда электронов Q_n в инверсионном канале МДП‑транзистора от поверхностного потенциала и квазиуровня Ферми.

6.10. Уравнение электронейтральности в неравновесных условиях

Как уже отмечалось в разделе 6, для получения в явном виде вольт-амперной характеристики транзистора необходимо найти связь между поверхностным потенциалом ψ_sи квазиуровнем Фермиφ_c. Рассмотрим для этого уравнение электронейтральности:

. (6.59)

Заряд в ОПЗ состоит из заряда свободных электронов Q_nв канале и заряда ионизованных акцепторовQ_В, как показано в (6.54). Разложим зарядQ_Впо степенямψ_sвблизи порогового значения поверхностного потенциалаψ_s = 2φ₀.

Имеем:

, (6.60)

. (6.61)

Величина C_B^* – емкость обедненной области при пороговом значении поверхностного потенциалаψ_s, 2φ₀.

С учетом (6.60) и (6.61) соотношение (6.59) примет вид:

. (6.62)

Назовем пороговым напряжением V_Тнапряжение на затворе МДП‑транзистораV_GS в равновесных условиях (φ_c = 0), соответствующее пороговому потенциалуψ_s = 2φ₀:

. (6.63)

Из (6.62) и (6.63) следует, что

. (6.64)

С учетом значений для порогового напряжения соотношения (6.64) уравнение электронейтральности примет вид:

, (6.65)

где nи Δψ_sбудут равны:

.

Множитель n – число, характеризующее отношение емкости поверхностных состоянийи емкости обедненной областиС_Вк емкости подзатворного диэлектрикаС_ox. Значенияn могут лежать для реальных МДП‑структур в диапазоне 1÷5. Величина Δψ_sхарактеризует отклонение в данной точке поверхностного потенциала от порогового значения. Слагаемоев уравнении (6.65) соответствует заряду свободных электроновQ_nпри пороговом значении поверхностного потенциала и обычно мало по сравнению с остальными слагаемыми, входящими в правую часть уравнения (6.65).

Для области слабой инверсии заряд свободных электронов мал и последним слагаемым в (6.65) можно пренебречь. Поскольку напряжение на затворе V_GSи пороговое напряжениеV_Т – постоянные величины, то из (6.65) следует, что для области слабой инверсии в каждой точке инверсионного канала величина

должна оставаться постоянной. Постоянную величину найдем из условия, что вблизи истока φ_c = 0 и, следовательно,

. (6.66)

Отсюда следует, что в предпороговой области зависимость поверхностного потенциала ψ_sот квазиуровня Фермиφ_cбудет определяться следующим выражением:

, (6.67)

здесь ψ_s0 – значение поверхностного потенциала в точке канала, гдеφ_c= 0.

Величина mравна:

. (6.68)

Таким образом, в МДП‑транзисторе в области слабой инверсии при отсутствии захвата на поверхностные состояния (N_ss = 0;m = n) поверхностный потенциалψ_sне зависит от квазиуровня Фермиφ_cи, следовательно, постоянен вдоль инверсионного канала. Этот важный вывод обуславливает целый ряд особенностей в характеристиках МДП‑транзистора в области слабой инверсии.

Для области сильной инверсии при в уравнении (6.65) в правой части доминирует слагаемое, связанное со свободными носителями зарядаQ_W. Поэтому необходимо, чтобы вдоль канала в каждой точке величина заряда электроновQ_nоставалась постоянной. Поскольку в этой области дляQ_nсправедливо выражение (6.58), получаем:

.

Следовательно, в области сильной инверсии

. (6.69)

На рисунке 6.10 в качестве примера приведен расчет функциональной связи между ψ_sиφ_cпо уравнению (6.65), выполненный численным методом. Параметры для расчета указаны в подписи к рисунку.

Рис. 6.10. Зависимость поверхностного потенциалаψ_sот величины квазиуровня Фермиφ_cв канале МОП ПТ при различных напряжениях затвораV_G, B.

V_T= 0,95 В;N_ss= 10¹²см^-2эВ^-1;N_A= 10¹⁶см^-3;d_ox= 50 Å.

Пунктирная линия соответствует условию: ψ_s = 2φ₀

Зная связь между поверхностным потенциалом ψ_sи величиной квазиуровня Фермиφ_c, можно получить соотношение между дрейфовой и диффузионной составляющими тока в произвольной точке канала. Действительно, из (6.46), (6.47) и (6.67) следует, что для области слабой инверсии

. (6.70)

В области слабой инверсии при отсутствии захвата (N_ss = 0,m = n) весь ток канала диффузионный. При наличии захвата на поверхностные состояния появляется дрейфовая составляющая. Физически она обусловлена появлением продольного электрического поля за счет различия в заполнении поверхностных состояний вдоль канала. При заполнении поверхностных состояний основными носителями тока инверсионного канала дрейфовый и диффузионный ток имеют одно и то же направление. При условии постоянства плотности поверхностных состоянийN_ss(ψ_s) в запрещенной зоне полупроводника соотношение между диффузионной и дрейфовой составляющей в области слабой инверсии сохраняется.

Для области сильной инверсии из (6.46), (6.47) и (6.69) следует, что диффузионный ток равен нулю и весь ток канала дрейфовый:

. (6.71)

В области перехода от слабой к сильной инверсии доля дрейфовой составляющей в полном токе канала возрастает от значения, определяемого соотношением (6.70), до единицы.