Учебник / Gusev / F_031

Глава 3

Простейшие нестационарные процессы теплопроводности

§ 3.1. Нестационарный процесс теплопроводности в тонкой пластине и длинном цилиндре для граничных условий 3-го рода

Задача. Определить нестационарное поле температуры в тонкой пластине, которая имела температуру t₀, а затем в начальный момент времени ₀ была помещена в жидкость с t_ж > t₀ (рис.3.1).

Задано: , a, , , t_ж, t₀ = const; q_v = 0.

Найти: t = t(x, , , , a, , t_ж, t₀).

Рис.3.1.

[м²/с].

Исходное уравнение преобразуется:

;

;

, .

Временные условия: , .

Граничные условия: .

Условие симметрии: .

Введем V = t_ж - t, тогда уравнение с граничными и временными условиями примет вид

;

.

Решаем методом разделения переменных:

,

в результате уравнение примет вид

или .

Решая получившиеся два уравнения: и и используя условие , условие симметрии и граничное условие 3-го рода, получаем решение в виде

,

где n_k находим из уравнения , вытекающего из граничного условия, а С₅ - из временного условия.

Таким образом, данная задача имеет множество решений, так как получаемое решение есть частное решение (рис.3.2) трансцедентного уравнения . Общее же решение можно представить суммой всех частных решений: , что в конечном счете дает

Рис.3.2.

или в безразмерной форме , где ; ; (число Фурье).

Рис.3.3.

В справочной литературе по теплообмену представлены в виде графических номограмм ₀ и ₁ семейства кривых, по которым можно вести расчеты (рис.3.3). Они основаны на расчетном уравнении нестационарной теплопроводности, которое связывает четыре безразмерных величины вместо восьми размерных:

, .

Во многих практических расчетах необходимо определить:

1) либо температуру на поверхности пластины

;

2) либо температуру в центре пластины

.

Пользуясь графиком ₀ и ₁, можно выполнить расчеты трех типов.

1. Заданы: продолжительность нагревания (охлаждения) пластины, т.е. число Fо, и интенсивность теплоотдачи на ее поверхности, т.е. число Bi.

Определить: температуру на поверхности и в центре ₀ и ₁.

2. Заданы: температуры ₁ или ₀ и число Bi.

Определить: продолжительность нагрева (охлаждения) до этих температур, т.е. число Fо.

3. Заданы: продолжительность нагрева (охлаждения, т.е. число Fо) до температуры и ₁ (или ₀).

Определить: потребную интенсивность теплоотдачи на поверхности пластины, т.е. число Bi.

Для бесконечно длинного цилиндра место х занимает r: ,  - то же, что и в плоской пластине. В справочной литературе имеются аналогичные расчетные номограммы ₁ и ₀, конечно, численно отличные от тонкой пластины.

Контрольные вопросы

1. Как рассчитать температуру в центре и на поверхности тонкого плоского подложкодержателя в различные моменты времени при его внесении в зону реактора с протоком горячего газа?

2. Как рассчитать температуру в центре и на поверхности длинного цилиндрического подложкодержателя в различные моменты времени при его охлаждении на воздухе после его извлечения его из реактора?

3. Объяснить физический смысл чисел Био и Фурье. Что дает их использование в нестационарной теплопроводности?

§ 3.2. Нестационарный процесс теплопроводности в сложных телах, образованных пересечением простых тел

Задача. Определить нестационарное поле температуры в ограниченном по длине цилиндре в граничных условиях 3-го рода (рис.3.4).

Дано: длина 2; диаметр 2r₀ (пересечение пластины и цилиндра). Так как безразмерное поле температуры в теле, образованном пересечением простых тел, равно произведению безразмерных полей температур

для этих простых тел (), то

Рис.3.4.

;

;

.

Безразмерную температуру в простых телах мы можем находить, используя номограммы из справочной литературы для ₁ и ₀, т.е. для точек, принадлежащих поверхности или центру тонкой пластины и цилиндра.

Контрольные вопросы

1. Как рассчитать в определенные моменты температуру в характерных точках прямоугольного подложкодержателя, имеющего толщину и горизонтальные размеры одного порядка, при его нагреве в условиях выхода на рабочий температурный режим? Сколько таких характерных точек и какие можно рассчитать, используя справочные номограммы ₁ и ₀?

2. Как рассчитать в определенные моменты времени в характерных точках цилиндрического подложкодержателя, имеющего высоту порядка его диаметра, при его нагреве в условиях выхода на рабочий температурный режим? Сколько таких характерных точек и какие можно рассчитать, используя справочные номограммы ₁ и ₀?

§ 3.3. Применение регулярного теплового режима для определения характеристик теплообмена

Регулярный тепловой режим при нестационарной теплопроводности - это режим, когда логарифм разностной температуры становится зависящим линейно от времени (рис.3.5).

При регулярном тепловом режиме, следовательно, ряд вырождается в первый член. Решение для поля температуры имеет вид

; , или ,

где m - темп регулярного теплового режима (m = tg ).

Рис.3.5.

Задача 1. Использование регулярного теплового режима для экспериментального определения коэффициента температуропроводности.

Необходимое условие: число ;  - const,  - const,  можно изменить за счет изменения условий охлаждения (нагрева), т.е. увеличить.

Как только , то (см. рис.3.2), тогда - темп регулярного теплового режима можно найти из экспериментально полученной кривой (прямолинейного участка) нагрева как тангенс угла наклона прямой.

После этого из равенства можно рассчитать а, измеряя темп m:

Задача 2. Использование регулярного теплового режима для определения коэффициента теплоотдачи, число Bi выбирается <<1 (необходимое условие).

Так как , выбираем пластину и материал с возможно меньшим  и большим . Тогда согласно рис.3.2 решение попадает в зону малых углов, где т.е. ; . Так как , то

Следовательно, измерив m, можно рассчитать коэффициент теплоотдачи .

Контрольные вопросы

1. Выделить особенности использования регулярного теплового режима для экспериментального определения коэффициента теплоотдачи материалов.

2. Выделить особенности использования регулярного теплового режима для экспериментального определения коэффициента температуропроводности материалов.

Общие контрольные вопросы к главе 3

1. Определить основные отличия понятий "сложное тело" и "простое тело" в нестационарной теплопроводности. Привести примеры сложных тел.

2. Какие из безразмерных критериев теории нестационарной теплопроводности являются определяющими и определяемыми?

3. Расчеты каких величин можно проводить, используя семейство кривых и ? Какие величины являются в этом случае исходными для расчетов?

4. Назвать основной признак регулярного теплового режима. Можно ли этот режим наблюдать в процессе эксперимента и каким образом его зафиксировать графически?

5. Для каких практических целей может быть использован регулярный тепловой режим?

6. Привести примеры необходимости проведения расчетов нестационарной теплопроводности из технологии микроэлектроники и бытовой техники.

40