lab_mech9to18 / №1-12
.pdf
1
Лабораторная работа № 1-12 БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
И.Ф.Уварова
Цель работы
Определение скорости тел при помощи баллистического маятника.
Теоретическое введение
Один из классических методов определения скорости снарядов, пуль и тому подобных тел основан на неупругом столкновении таких тел с покоящимся телом значительно большей массы. Если таким массивным покоящимся телом является маятник, то после абсолютно неупругого столкновения маятник с застрявшим в нем телом начинает совершать колебания, определив амплитуду которых, можно затем найти начальную скорость тела до столкновения.
Рассмотрим сначала упрощенную модель взаимодействия тела с маятником (рис.1).
Рис.1. Схема неупругого столкновения шарика с баллистическим маятником. Шарик массы m, движущийся горизонтально со скоростью v , попадает в
маятник массы М, который может свободно (без трения) вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (ось z перпендикулярна плоскости рис.1 и направлена «на нас»). После неупругого столкновения маятник с застрявшим в нем шариком будем рассматривать как материальную точку массы (М+m), находящуюся в центре масс системы маятник-шарик. Пусть потенциальная энергия маятника в нижней точке равна нулю. Тогда в положении максимального отклонения маятника потенциальная энергия Еп равна:
Eп = ( m + M )× g ×Dh ,
2 где g - ускорение свободного падения, а h - высота подъема центра масс системы. Учтем, что
Dh = l ×(1 -cosα) ,
где l– расстояние от точки подвеса до центра масс системы, α – угол максимального отклонения маятника. Тогда для потенциальной энергии маятника в точке максимального отклонения получим следующее выражение:
Eп = ( m + M )× g ×l ×(1- cosα ) . |
(1) |
|
Кинетическая энергия системы Ек сразу после столкновения равна: |
|
|
Ек = |
( m + M )v2 |
(2) |
c , |
||
|
2 |
|
vc - скорость центра масс системы сразу после столкновения. Пренебрегая потерями энергии на трение и сопротивление воздуха, можем считать, что
Ек = Еп .
(3)
Подставим в уравнение (3) выражения (1) и (2) и выразим скорость центра масс маятника vc :
vc = |
|
|
(4) |
2 × g ×l ×(1 - cosα ) |
|||
Скорость шарика непосредственно перед столкновением |
можно найти, |
||
воспользовавшись законом сохранения импульса. До столкновения импульс
системы |
p1 равен импульсу |
шарика массой |
m, летящего со скоростью v |
(маятник покоится): |
|
|
|
|
p1 |
= m × v , |
(5) |
а импульс |
p2 системы сразу после неупругого столкновения равен: |
||
|
p2 |
= ( m + M )vc , |
(6) |
где М – масса маятника. Полагая, что время соударения мало и маятник за это время не успевает сместиться из положения равновесия, можно считать, что скорость центра масс маятника сразу после удара направлена горизонтально, тогда проекция импульса системы на горизонтальную ось x сохраняется:
p1 = p2 .
Из данного условия с учетом уравнений (5) и (6) выразим скорость v, подставим выражение (4) для скорости vc и получим выражение для скорости шарика v:
v = |
(m + M ) |
× |
|
. |
(7) |
|
2 × g × l × (1- cosα) |
||||||
m |
||||||
|
|
|
|
|
3
Рассмотрим теперь более точную модель баллистического маятника, попрежнему считая шарик материальной точкой, а маятник абсолютно твердым телом. Тогда кинетическую энергию Ек системы «маятникшарик» сразу после столкновения следует представить в виде:
I ×ω2 , Eк = 2
(8)
где I – момент инерции системы относительно оси, проходящей через точку подвеса О, а ω – угловая скорость вращения маятника сразу после соударения. Пренебрегая моментом сил трения, действующим в оси подвеса, и предполагая, что за время соударения маятник не успевает сместиться из положения равновесия, можно считать, что момент импульса системы относительно оси вращения остается постоянным. Момент импульса шарика может быть рассчитан как момент импульса материальной точки. Непосредственно перед соударением момент импульса шарика L1 относительно оси вращения (т.е. проекция вектора L1 на ось z) равен:
L1 = m × v × r ,
где r - расстояние от точки О до прямой, вдоль которой движется шарик. Сразу после соударения момент импульса системы L2 относительно оси вращения (проекция вектора L2 на ось z) равен:
L2 = I ×ω .
|
|
|
|
|
|
Векторы L1 ,L2 ,ω направлены перпендикулярно плоскости чертежа на нас. |
|||||
Из условия сохранения момента импульса относительно оси вращения |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
L1 = L2 , |
|
||
найдем ω и перепишем выражение (8) для кинетической энергии в виде: |
|
||||
Ек |
= ( m × v × r )2 . |
(9) |
|||
|
|
2 × I |
|
||
Момент инерции I маятника с шариком можно найти, зная из эксперимента |
|||||
период его колебаний Т : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
||
Т = 2π |
|
|
. |
(10) |
|
|
( m + M )× g ×l |
||||
Из условия сохранения механической энергии (2) с учетом формул (1), (9) и (10) найдем выражение для скорости шарика v:
4
v = |
( m + M ) |
× l × g ×T |
|
. |
(11) |
2 ×(1- cosα ) |
|||||
|
2π × m |
r |
|
|
|
Описание экспериментальной установки.
Экспериментальная установка (рис.2) состоит из металлической пластины 1, установленной вертикально на лабораторном столе с помощью опор 2. К пластине 1 крепится собственно баллистический маятник, представляющий собой стержень 3 с массивной насадкой 4 на конце. В насадке сделано несквозное отверстие, в которое попадает металлический шарик, вылетающий из спускового устройства 5. Внутри спускового устройства находится пружина, которую можно сжать и зафиксировать в трех различных положениях с помощью задвижки 6. Задвижка снабжена магнитом, который удерживает шарик до выстрела. Спусковой механизм приводится в действие с помощью рычага 7. Максимальное отклонение маятника от положения равновесия определяется по отклонению подвижной стрелки 8 на угловой шкале 9. Для прямого измерения скорости шарика установка может быть дополнена цифровым измерителем скорости 10, снабженным двумя фотоэлементами. Цифровой измеритель скорости крепится к спусковому устройству 5.
Рис.2 Схема экспериментальной установки.
1- металлическая пластина, 2 –опоры, 3 – стержень баллистического маятника, 4 – массивная насадка, 5 – спусковое устройство, 6 – задвижка, 7 – спусковой рычаг, 8 – подвижная стрелка, 9 – угловая шкала, 10 – цифровой измеритель скорости.
|
|
|
Таблица 1. Технические данные приборов. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
№№ |
Название |
Пределы |
Число |
Цена |
Класс |
Абсолютная |
п/п |
прибора |
измерений |
делений |
деления |
точности |
приборная |
5
погрешность
1 Угловая шкала
2Цифровой
измеритель
скорости
|
|
Таблица 2. Параметры экспериментальной установки. |
||
m ± m , кг |
M ± M , кг |
r ± r , м |
T ± T , с |
l , м |
Порядок выполнения работы.
Измерение максимального угла отклонения баллистического маятника при неупругом столкновении с шариком и прямое измерение скорости шарика с помощью цифрового измерителя скорости.
Работу следует делать в строгом соответствии с нижеизложенным порядком выполнения и в объеме, предусмотренном индивидуальным заданием. Поскольку вылетающий из спускового устройства шарик может нанести механические травмы и вызвать порчу лабораторного оборудования, необходимо каждый раз перед освобождением спускового устройства убедиться, что шарик прикреплен точно к центру магнита, а отверстие насадки 4 находится точно напротив отверстия спускового устройства.
1.Взвесьте шарик на электронных весах один раз. Запишите массу шарика в таблицу 1, погрешность измерения массы примите равной приборной погрешности электронных весов.
2.Запишите в таблицу 2 параметры баллистического маятника, указанные на рабочем месте.
3.Измерьте линейкой расстояние l от точки подвеса до центра масс маятника. Положение центра масс указано на маятнике. Запишите значение l в таблицу 2.
4.Включите в сеть цифровой измеритель скорости 10. Цифровое табло должно загореться. Нажмите кнопку «Reset» на лицевой панели измерителя, чтобы обнулить показания.
5.Убедитесь, что пружина спускового устройства не сжата. Вставьте шарик в отверстие спускового устройства и прикрепите его к центру магнита.
6.Оттяните пружину назад за задвижку 6 и зафиксируйте ее в первом положении.
6
7.Убедитесь, что шарик прикреплен точно к центру магнита, а отверстие насадки 4 находится точно напротив отверстия спускового устройства. Конец подвижной стрелки 8 должен указывать на 0 угловой шкалы. Произведите выстрел, потянув за рычаг 7.
8.Зафиксируйте угол максимального отклонения маятника по показаниям подвижной стрелки 8 на шкале 9. Запишите максимальный угол α отклонения маятника в таблицу 3.
9.По показаниям цифрового измерителя скорости определите скорость шарика и запишите в таблицу 3.
10.Повторите измерения максимального угла отклонения маятника и скорости шарика в соответствии с п.п. 4-8 еще 4 раза.
11.Проведите измерения максимального угла отклонения маятника и скорости шарика для начальной деформации пружины, соответствующей второму и третьему положению. Для каждого начального положения пружины
измерения проводите 5 раз.
Таблица 3. Измерение угла отклонения и прямые измерения скорости шарика.
№ |
|
Начальная деформация пружины |
|
|
||||
п/п |
I |
|
|
II |
|
|
III |
|
αi °, |
αi ,° |
vi , Δvi , |
αi ,° |
αi ,° |
vi , Δvi , |
αi ,° |
αi ,° |
vi , Δvi , |
1 |
|
м/с м/с |
|
|
м/с м/с |
|
|
м/с м/с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
v σv |
|
|
v σv |
|
|
v σv |
α σα |
α σα |
α σα |
||||||
Обработка результатов измерений.
1.Используя значения углов отклонения маятника из таблицы 3, вычислите значение средние значения α , погрешности отдельных измерений αi и среднеквадратичную погрешность σα для трех различных начальных
положений пружины по формулам:
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åαi |
|
|
|
|
10 |
( αi )2 |
|
|
||
|
|
|
, |
αi = α −αi , |
σα = å |
. |
|||||||
|
|
|
i=1 |
|
|||||||||
α = |
5( 5 −1) |
||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Результаты запишите в таблицу 3. |
|
|
|
|
|
||||||||
2. Найдите полную абсолютную погрешность угла |
α : |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
α =σα +( α )пр . |
|
|
|
|
|
|||
7
Определение скорости шарика по максимальному отклонению баллистического маятника (упрощенная формула).
1.Пользуясь результатами таблицы 3, вычислите значение скорости шарика по упрощенной формуле (7) для каждого начального положения пружины (для каждого среднего значения α ).
2.Для каждого значения скорости вычислите абсолютную погрешность измерения по формуле:
|
|
|
|
M |
|
æ m + M ö |
|
æ |
|
|
|
|
|||
|
|
2gl(1 -cosα) |
æ |
ö |
|
|
|
||||||||
|
|
1 -cosα |
|
l |
|
|
|||||||||
Dv = |
|
|
|
çDM + |
|
Dm÷ |
+ç |
|
÷ |
|
ç |
|
|
Dg + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
m |
è |
m |
ø |
è |
m |
ø |
2 |
ç |
|
g |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ö |
g |
|
|
|
gl sin α |
||
Dl + |
|
Dα÷ |
||||
|
|
|
||||
l |
1 -cosα |
÷ |
||||
ø |
||||||
При вычислении принять: g =9,81 м/с2, g =0,005 м/с2, l =10−3 м. Полученные значения v округлите до одной значащей цифры. Округлите
значения v с точностью до погрешности. Результаты запишите в таблицу 4. Найдите относительную погрешность ε определения скорости по формуле:
δ = |
v |
×100% . |
(12) |
|
v |
||||
|
|
|
||
Определение скорости шарика по |
максимальному отклонению |
|||
баллистического маятника (точная формула).
1.Пользуясь результатами таблицы 3, вычислите значение скорости шарика по точной формуле (11) для каждого начального положения пружины (для каждого среднего значения α ).
2.Для каждого значения скорости вычислите абсолютную погрешность измерения по формуле:
|
|
2(1- cosα ) |
g ×T ×l æ |
M |
|
ö |
æ m + M |
ö |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Dv = |
|
|
|
|
çDM + |
|
|
Dm÷ |
+ ç |
÷ |
|
2(1 - cosα ) ´ |
|||||||
|
2π × mr |
|
|
m |
|||||||||||||||
|
|
è |
|
|
ø |
è 2π × m ø |
|
|
|
|
|||||||||
æ |
|
|
|
g ×T |
|
g ×T ×l |
|
|
g ×T ×l |
|
|
|
sinα |
ö |
|||||
´ç l ×T |
Dg + l × g DT + |
Dl + |
Dr + |
|
|
|
Dα ÷ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ç |
|
r |
|
r |
r |
2 |
|
|
|
r |
|
2(1 - cosα ) |
÷ |
||||||
è r |
|
|
|
|
|
|
ø |
||||||||||||
При вычислении принять: g =9,81 м/с2, |
g =0,005 м/с2, |
|
|
l =10−3 м. |
|||||||||||||||
3.Полученные значения v округлите до одной значащей цифры. Округлите значения v с точностью до погрешности. Результаты запишите в таблицу 4.
4.Найдите относительную погрешность определения скорости по формуле (12). Результаты запишите в таблицу 4.
Определение скорости шарика по результатам прямых измерений.
1.Пользуясь результатами прямых измерений скорости из таблицы 3, найдите среднее значение скорости v , погрешности отдельных измерений скорости
vi , и среднеквадратичную погрешность σv для каждого начального положения пружины по следующим формулам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åvi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
( vi )2 |
|
|
||
|
v = |
i=1 |
, |
vi = v − vi |
, |
σ v = å |
|
. |
||
|
10(10 −1) |
|||||||||
|
10 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты запишите в таблицу 3. |
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Найдите полную абсолютную погрешность скорости |
v : |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
v =σv +( v )пр , |
|
|
|
|
|
|
где |
приборную ошибку ( |
v )пр считайте |
равной абсолютной |
приборной |
||||||
погрешности цифрового определителя скорости. |
|
|
|
|
|
|||||
3.Полученные значения v округлите до одной значащей цифры. Округлите значения v с точностью до погрешности. Результаты запишите в таблицу 4.
4.Найдите относительную погрешность определения скорости по формуле (12), результат запишите в таблицу 4.
5.Пользуясь результатами таблицы 4, сравните полученные разными методами значения скорости шарика. Объясните возникшие различия этих значений.
Таблица 4. Результаты вычисления скорости маятника.
Метод |
Начальная деформация пружины |
|
I |
II |
III |
v ± v , м/с |
v ± v , м/с |
v ± v , м/с |
Упрощенная |
|
|
формула |
|
|
Точная |
|
|
формула |
|
|
Прямые |
|
|
измерения |
|
|
Библиографический список.
Основной
1.Савельев И.В. Курс общей физики: в 5 кн., кн. 3. М.: АСТ: Астрель, 2007. С. 143-146, 149152.
2.Капуткин Д.Е., Шустиков А.Г. Физика. Обработка результатов измерений при выполнении лабораторных работ. (№ 805). М.: МИСиС. «Учеба». 2007.
Дополнительный
3.Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Оникс. 2003. – 316 с.
Контрольные вопросы
9
1.Что такое баллистический маятник?
2.Как формулируется закон сохранения импульса?
3.Как формулируется закон сохранения механической энергии?
4.Что называется моментом импульса материальной точки и твердого тела относительно точки и относительно оси вращения?
5.Что называется моментом инерции материальной точки и твердого тела?
6.Какими формулами определяются кинетические энергии материальной точки и твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?
7.Какие физические величины в лабораторной работе определяются в результате прямых измерений, а какие в результате косвенных?
8.Как определить приборную погрешность круговой шкалы?
9.Как определить приборную погрешность цифрового измерителя скорости?
Индивидуальные задания.
Задание 1.
1.Выведите упрощенную формулу для определения скорости тела при неупругом столкновении с баллистическим маятником, считая баллистический маятник математическим.
2.Проведите измерения угла отклонения баллистического маятника при неупругом столкновении с шариком № 1 и рассчитайте скорость шарика, пользуясь упрощенной формулой.
3.Проведите прямые измерения скорости шарика с помощью цифрового измерителя скорости. Сравните полученные двумя методами значения скорости шарика и объясните возникшие различия этих значений.
Задание 2.
1.Выведите точную формулу для определения скорости тела при неупругом столкновении с баллистическим маятником, считая баллистический маятник физическим маятником.
2.Проведите измерения угла отклонения баллистического маятника при неупругом столкновении с шариком №2 и рассчитайте скорость шарика, пользуясь точной формулой.
3.Проведите прямые измерения скорости шарика с помощью цифрового измерителя скорости. Сравните полученные двумя методами значения скорости шарика и объясните возникшие различия этих значений.
Задание 3.
10
1.Сформулируйте законы сохранения импульса и механической энергии. Обоснуйте применение этих законов для вывода формулы скорости шарика в данной работе.
2.Проведите измерения угла отклонения баллистического маятника при неупругом столкновении с шариком №3 и рассчитайте скорость шарика, пользуясь упрощенной и точной формулами.
3.Сравните полученные по двум формулам значения скорости шарика и объясните возникшие различия этих значений.
Задание 4.
1.Сформулируйте законы сохранения момента импульса и механической энергии. Обоснуйте применение этих законов для вывода формулы скорости шарика в данной работе.
2.Проведите измерения угла отклонения баллистического маятника при неупругом столкновении с шариком №4 и рассчитайте скорость шарика, пользуясь точной формулой.
3.Проведите прямые измерения скорости шарика с помощью цифрового измерителя скорости. Сравните полученные двумя методами значения скорости шарика и объясните возникшие различия этих значений.