math548_2_1 / 29

Скачано с http://antigtu.ru

Задача Кузнецов Дифференцирование 1-29

Условие задачи

Исходя из определения производной, найти :

Решение

По определению производная в точке :

Исходя из определения находим:

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

, при

Получаем:

Т.е.

Задача Кузнецов Дифференцирование 2-29

Условие задачи

Составить уравнение касательной к данной кривой в точке с абсциссой .

Решение

Найдем :

Тогда:

Поскольку функция в точке имеет конечную производную, то уравнение касательной имеет вид:

, где

Получаем:

Т.е. уравнение касательной:

Задача Кузнецов Дифференцирование 3-29

Условие задачи

Найти дифференциал .

Решение

Задача Кузнецов Дифференцирование 4-29

Условие задачи

Вычислить приближенно с помощью дифференциала.

Решение

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то

Выберем:

Тогда:

Вычисляем:

Получаем:

Задача Кузнецов Дифференцирование 5-29

Условие задачи

Найти производную.

Решение

Задача Кузнецов Дифференцирование 6-29

Условие задачи

Найти производную.

Решение

Задача Кузнецов Дифференцирование 7-29

Условие задачи

Найти производную.

Решение

Задача Кузнецов Дифференцирование 8-29

Условие задачи

Найти производную.

Решение

Задача Кузнецов Дифференцирование 9-29

Условие задачи

Найти производную.

Решение

Задача Кузнецов Дифференцирование 10-29

Условие задачи

Найти производную.

Решение

Задача Кузнецов Дифференцирование 11-29

Условие задачи

Найти производную.

Решение

Задача Кузнецов Дифференцирование 12-29

Условие задачи

Найти производную.

Решение

Задача Кузнецов Дифференцирование 13-29

Условие задачи

Найти производную.

Решение

Задача Кузнецов Дифференцирование 14-29

Условие задачи

Найти производную.

Решение

Задача Кузнецов Дифференцирование 15-29

Условие задачи

Найти производную .

Решение

Получаем:

Задача Кузнецов Дифференцирование 16-29

Условие задачи

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .

Решение

Так как , то

Найдем производные:

Тогда:

Уравнение касательной:

Уравнение нормали:

Задача Кузнецов Дифференцирование 17-29

Условие задачи

Найти производную -го порядка.

Решение

Вычислим закономерность:

Докажем полученную формулу, с помощью метода математической индукции.

Что и требовалось доказать!

Задача Кузнецов Дифференцирование 18-29