лекции Анализ Данных
.pdfРешение системы алгебраических уравнений:
yi = i , i - опред-ль матрицы, в к-й i-столбец заменен столбцом правой части.
=det A - обратная матрица к матрице А
AA−1 = A−1 A = E
|
a |
|
a ... |
a |
|
|
|
|
|
|
A11 |
A21 |
|
||||
A = |
|
a |
11 |
a |
12 |
|
a |
1n |
|
|
−1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
... |
2n |
, |
A |
|
= |
|
|
A |
A |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
21 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
22 |
|
|
|
... |
|
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aij = (−1)i+ j M ij
M ij - соответствующий минор матрицы А Минор – вычеркнутый i-столбец и j-строка.
ГЛАВА 4.
МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ.
ПАРАГРАФ 1. КОРРЕКТНОСТЬ ПО АДАМАРУ.
Задача явл-ся корректно поставленной, если выполняются след. 3 условия:
1.решение существует;
2.решение единственно;
3.решение устойчиво.
Ay = f – линейное уравнение А – линейный оператор;
y – искомое решение;
f – заданная правая часть.
y и f принадлежат соответствующему Гильбертовому пространству.
Задача не корректно поставлена, если не выполняется хотя бы одно из перечисленных выше условий.
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, y1 = y2 = 2 |
||
− 2 y + 3 y |
2 |
= |
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нарушен 1-ый пункт. |
|
− y1 + 2 y |
= 3, |
|
|||||||||||||
|
y1 = y2 = 3 |
||||||||||||||
|
y |
|
|
+ 4 y |
|
=15; |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
− 2 y1 + 3y2 |
= 4 - сис-ма недоопределена, нарушен 2-ой пункт. |
|||||||||||||
3) |
|
|
|
2 y1 |
− 3y2 |
|
= 3,01 |
- сис-ма неустойчива |
|||||||
|
|
|
|
|
|
+ 2 y2 = −2 |
|||||||||
|
−1,33y1 |
|
|||||||||||||
|
y |
1 |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
ff |
|
≈ 0,5% |
- т.е. изменяет правую часть. |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= 0,33 |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|||||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y1 |
− 3y2 = 3 |
y1 = 3 |
|
|
|
+ 2 y2 = −1,99 |
|
=1 |
−1,33y1 |
y2 |
ПАРАГРАФ 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.
При обработке результатов экспер-та Метод Наименьших Квадратов называют метод подбора праметров модели исхода из условия минимизации невязки.
Рассмотрим МНК в общем виде для систем ЛАУ:
Ay = f |
|
a |
a ... |
11 |
12 |
A = a21 |
a22 ... |
|
... |
... |
a1n
a2n , m > n ,
amm
y1 y = M fyn
f1
=Mfn
Учитывая, что сис-ма переопределена, то невозможно подобрать решение (наруш. 1 пункт) Ay − f ≠ 0
В методе наименьших квадратов условие невязки заменятеся на условно ее min.
Ay − f = min
Псевдо решение переопр-й СЛАУ явл-ся решение, удовлетворяющее условию минимизации невязки.
Условие минимизации невязки:
Ay − f = min Ù Ay − f 2 = min =>
??????????????????????????????????????????
Дифф-ем ( 1-ая производная д.б. = 0)
A* (Ay |
− f ) = 0 - производная Фреше |
|||||||||
a |
|
a |
|
|
, |
a* |
a* |
|
строки на столбцы + комплексное сопряжение |
|
A = |
11 |
|
12 |
|
A* = |
11 |
21 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
a |
21 |
L |
|
a12 |
|
|
|
В случае если все элементы матрицы А дейстр. то совпадает с транспонир-й матрицей A* = АТ, где A* - сопряж-я, АТ – транспонир-я
A* Ay = A* f By =U , |
где B = A* A = AT A |
U= A* f = AT f
Öпсевдо решение удовл.
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Bij |
= ∑aikT akj = |
∑aki akj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ui = ∑aikT fk = ∑aki fk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 y |
1 |
|
− 3y |
2 |
= −4, |
|
|
|
2 − 3 |
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ay = f, By =U |
|||||
− y1 + 2 y2 = 3, Ù |
|
|
−1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
+ 4 y2 |
=15; |
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B11 = ∑Ak1 Ak1 = 4 +1 +1 = 6 =A11 A11 + A21 A21 + A31 A31 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B22 = ∑Ak 2 Ak 2 = 9 + 4 +16 = 29 =A12 A12 + A22 A22 + A32 A32 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B12 = ∑Ak1 Ak 2 =A11 A12 + A21 A22 + A31 A32 = −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B21 = −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 − 4 |
|
y |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
− 4 29 |
|
y2 |
|
78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U1 = ∑ak1 fk = a11 f1 + a21 f2 + a31 f3 = 2(−4) + (−1) 3 +15 = 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U 2 = ∑ak 2 fk = a12 f1 + a22 f2 + a32 f3 = 78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методом Крмера ищем решение полученной системы: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y1 |
= |
|
|
|
78 |
29 |
|
|
|
|
= |
4 29 + 4 78 |
|
= 3,96 , |
y2 = |
|
|
|
− 4 |
78 |
|
|
|
= |
6 78 + 4 4 |
= 3,06 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
6 − 4 |
|
|
6 29 − 4 4 |
|
|
|
6 − 4 |
|
6 29 − 4 4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
− 4 |
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
29 |
|
|
|
|
|
|
ПАРАГРАФ 3. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К УРЯМ РЕГРЕССИИ.
- заключается в поиске коэф-тов регрессии исходя из минимизации невязки.
Рассмотрим ур-я регрессии 1-го порядка, а потом обобщим выкладки для общего порядка.
Y =b0 + b1 x
|
X |
Y |
1 |
X1 |
Y1 |
2 |
X2 |
Y2 |
… |
… |
… |
N |
Xn |
Yn |
yi = yрасч.i − yэксп.i
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∑ yi2 |
|
= min - остаточная сумма квадратов. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
S = ∑ yi2 |
= min ∑( yi |
− yPi )2 = min ∑( yi − b0 |
− b1 xi )2 = min |
||||||||||||||||||||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∂S |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
||||||||||
|
|
|
= 0 |
|
|
∑( yi −b0 −bn xi ) = 0 |
|
b0 n |
+b1 ∑xi = ∑yi |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∂b0 |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
, |
|
n |
i=1 |
|
i=1 |
|||||||||||
|
∂S |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
||||||||||||
|
= 0 |
|
∑xi ( yi −b0 |
−b1 xi ) = 0 |
b0 |
∑xi +b1 ∑xi2 = ∑xi yi |
|||||||||||||||||||||||
∂b |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
i=1 |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑yi |
∑xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
∑xi yi |
∑xi2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
b0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(∑yi )(∑xi2 ) − (∑xi yi ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
∑xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑xi |
∑xi2 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n∑xi2 − |
(∑xi )2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni ∑xi yi − (∑xi )(∑yi ) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
∑yi |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
= |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∑xi |
|
∑xi yi |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
(∑xi ) |
2 |
|
|
|
|||||
b = |
|
|
|
|
|
|
|
|
n∑xi − |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∑xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
x |
i |
∑ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y =b |
|
|
|
+ b x + b x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
b0 + b1 ∑xi + b2 ∑xi2 = ∑yi |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xi2 + b2 |
∑xi3 = ∑xi yi |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
b0 ∑xi + b1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
b0 ∑xi2 + b1 |
∑xi3 + b2 |
∑xi4 = ∑xi2 yi |
|
|
|
|
|
|
Оценим погрешность коэф-тов регрессии:
y = b0 |
|
+ b1 x |
|
|
1 |
|
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 = |
|
|
|
= ∑yi (xi − |
x |
) |
||||
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
2 |
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n S x |
i=1 |
||||||||||
|
|
∑(xi − x) |
|||||||||||||||||||
S x |
= |
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
i=1 |
|
b0 = |
|
= ∑yi (z − xi x) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
n |
2 |
|
|
|
|
n S2 |
i=1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z = |
|
|
∑xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем считать что х задается точно, а дисперсия у равна σ y2 . Посчитаем дисперсию коэф-та регрессии:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
σ |
|
= |
(b |
|
|
− b |
|
|
) |
|
|
|
= b |
|
− b |
|
= |
|
|
S |
|
∑ |
y |
(z − xx) |
− |
|
S |
x ∑ |
y |
(z − x |
|
x) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
n |
|
2 |
i |
|
|
|
|
|
|
n |
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
σ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
σb2 = |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
nρx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Коэф-т регрессии b0 b1 коррелированы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
b |
0 |
b |
b |
0 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Kb b |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
=... = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
σb σb |
|
|
|
|
nρx2σb |
σb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценим погрешность у расч.: y p = b0 + b1 x
σ 2 |
= |
|
2 |
− |
|
2 |
= |
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
2 |
= |
|
02 + 2 |
|
x + |
|
12 x2 |
− |
|
02 − 2 |
|
|
|
|
x − |
|
12 x2 |
= |
||||
y |
y |
(b |
0 |
+ b x) |
(b |
0 |
+ b x) |
b |
b b |
b |
b |
b |
|
b |
b |
||||||||||||||||||||||||
y p |
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
||||||
σb2 |
+σb2 x 2 + 2x Kb |
σb |
σb |
= |
|
σ y2 |
[(x − |
|
)2 |
+ ρa2 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
nρx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1: Точность коэф-тов регрессии тем выше, чем больше δx , т.е. чем больше разброс точек вдоль оси х.
Замечание 2: Точность кэф-тов регрессии b0 тем выше, чем меньше x . Замечание 3: Точность урасч. Максимально в окрестности xcp .
МЕТОДЫ ПСЕВДООБРАТНОЙ МАТРИЦЫ МУРА ПЕНРОУЗА. МПоМ.
МПоМ на примере СЛАУ:
a |
y |
|
+ a |
y |
|
+... + a |
|
y |
|
= |
f |
|
|
пускай число уравнений m |
||||||||||
|
11 |
1 |
|
12 |
|
2 |
|
... |
|
|
1n |
|
n |
|
|
1 |
|
n < m => существует множ-во решений у. решение не |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
единственно. |
|||||
|
|
a |
|
y |
+... + a |
|
y |
|
= |
f |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
mn |
n |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
m1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
ρ |
1 |
|
||||
Ay = f, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A = |
|
11 |
|
12 |
|
y = M |
, |
f = M |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
|
|
|
ρn |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
|
МПоМ позволяет выбрать «нормальное» решение этого уравнения
Нормальным решение ур-я наз-ся решение, имеющее минимальную норму ||y|| = min.
y = A+ f , A+ - псевдообратная матрица
Псевдообратной матрицей А наз-ся матрица A+ , к-я удовлетворяет след. условиям:
1)AA+ A = A;
2)A+ AA+ = A+ ;
3)(AA+ )* = AA+ ;
4)(A+ A)* = A+ A
A+ = lim[(αE + A* A)−1 A* ]
МПоМ МНК не гарантирует устойчивости решения
МНК И МПоМ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ФРЕДГОЛЬМА I РОДА.
b
∫k(x, S) y(δ)dS = f (x)
a
x=[c, a]
δ=[a,b]
y(δ) - искомый спектр, входной. k(x, S) - ядро, ур-е Фредгольма
f(x) - заданная правая часть (измеренный спектр)
S - внутренняя переменная x - внешняя переменная
b
Ур-е Фредгольма I рода: ∫k(x, S) y(δ)dS = f (x), x [c, d ]
a
МЕТОД КВАДРАТУР (МЕТОД ТРАПЕЦИЙ)
1. |
[a,b] разобьем с шагом |
S = h1 |
= const ; |
||
2. |
[c,d] разобьем с шагом |
x = h2 |
= const ; |
||
3. |
n = |
b − a |
+1 число узлов на h |
|
|
|
|
||||
|
|
h1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
m = d − c +1 число узлов на h2 h2
4. заменим интеграл на сумму, воспользовавшись формулой трапеции:
b |
n |
∫k(x, S) y(δ)dS ∑Py k(x, S y )y(S y ) |
|
a |
y=1 |
S y = a + ( y −1)h1
h / 2, y =1, y = n |
|||
Py = |
1 |
& |
& |
& |
& |
||
|
h1 , y ≠1, |
y ≠ n |
5. |
вводим дискретизацию по х: |
|
xi = c + (i −1)h2 |
|
n |
6. |
∑Py k(xi , S y ) y(S y ) = f (xi ), i =1/ m |
y=1
n
∑Ai yy j = fi СЛАУ относительно yi
y=1
i= 1/m
Оператор – отображение одного пространства в другое Линейный оператор – оператор, который удовлетворяет след условиям:
1.x1 , x2 : A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 )
2.x1 , λ : A(λ2 ) +λA(x)
Теорема: Каждому лин-му оператору, действительной в лин-м пространстве размерности N, можно сопоставить квадратную матрицу размером (N,N); верно и обратное.
Обратимый оператор – оператор, который имеет обратный
Замечание: собственное значение обратимого оператора λi отличного от 0, собственное
значение обратного оператора = 1 .
λi
Оператор A* наз-ся сопряженным оператору А если выполняется след. соотношение: (Ax, y ) = (x, A* y)
Св-ва сопряженного оператора:
1)E* = E ;
2)(A + B)* = A* + B* ;
3)(A* )* = A;
4)(λA* ) = λA* ;
5)(AB)* = B* A* .
Оператор А наз-ся: самосопряженным, если A* = A Замечание: Оператор A* A явл-ся самосопряженным.
Док-во: (A* A)* = A* (A* )* = A* A
Св-ва самосопряженного оператора:
1)собственные значения самосопряженного оператора вещественны;
2)существует базис, в кот-м оператор А имеет простую структуру (матрица, соотв-ет лин. оператору, имеет диагональный вид)
Самосопряженный оператор А наз-ся положительным, если для x (Ax , x) ≥ 0
Св-ва:
1)собствен-е значения не отриц-ны;
2)A* A явл-ся положительным
(A* Ax , x) = (Ax , (A* )* x) = (Ax , Ax ) ≥ 0
Лиин. оператор А наз-ся ограниченным, если x N : Ax ≤ M x Нормой положит-го оператора явл-ся наименьшее собственное значение.
Теорема: Чтобы Ay = f была устойчива, необходимо и достаточно наличие обратного ограниченного оператор A−1 .
Есл лин. Оператор оператор А сим. Обратной A−1 , то A−1 тоже ограниченная
Для существования A−1 необх-мо и достаточно чтобы опер-р А был не вырожденным. Оператор А не вырожден, если определитель отличен от 0 ( верно и обратное).
ГЛАВА 5.
МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ И АПРОКСИМАЦИИ.
ПАРАГРАФ 1. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ТИХОНОВА.
Явл-ся обобщение МНК и МПоМ.
Пусть имеется лин задача:
Ay = f
A A
− ~ ≤ξ
~ |
≤δ |
f − f |
~ = ~
Решаем задачу Ay f (приближенная задача) Далее «~» опускаем.
В методе регуляризации Тихонова одновременно условия минимаизации невязки и минимизации нормы. Т.о., минимиз. функционал.
Ay − f 2 +α y 2 = min
Ay − f - функционал Тихонова; α - параметр регуляризации (>0)
Дифференциальна функция:
A* ( Ay − f ) +αEy = 0 |
|
(A* A +αE) y = A* f |
если α =0 невязка минимальна => МНК |
y = ( A* A +αE)−1 A* f |
|
Если α растет, невязка растет, решения были гладкими .
α надо подобрать так, чтобы обеспечить применим. Уровень гладкости и размер невязки. Если α →0 , => М…, решения становятся более гладкими.
Пускай B = A* A +αE, U = A* f By =U
Для того чтобы By =U , необходимо и достаточно наличие B −1 (огран)
Докажем наличие B −1 :
Собственное значение оператора В > 0, т.к. собственное значение A* A +αE > 0 => оператор В не рожден => det B ≠ 0 B −1 /
Докажем ограниченность B −1 . Нужно доказать, что В огранич. В положит-но, все значения положительны. Норма равна лин. значению => В огранич => B −1 огранич.
Выбор параметра α :
Для каждой задачи α подбирается индивидуально:
1)способ невязки
ξ= 0
из этих условий подбираем α .
Ay (α) − f =δ
α подбирается исходя из условий погрешности.
2)Пусть
= Ay −1
=(α)
Берем α, соответствующему значению min.
ПАРАГРАФ 2. ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ.
Пусть имеется фун-я, заданная таблично:
X |
Y |
x0 < x1 <..., xy−1 < xy ... < xn |
|
a=x0 |
y0 |
||
x располагаются по возрастанию. |
|||
x1 |
y1 |
||
|
|||
… |
… |
|
|
yy-1 |
yy-1 |
|
|
xy |
yy |
|
|
… |
… |
|
|
b=xn |
yn |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
y(x) позволяет найти внутри диапазона ([a,b]). Рассмотрим способ задания |
y(x) , к-й наз- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ся лин. интерполяция (экстраполяция). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Рассм-м [xy−1 , xy ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
~ |
|
|
, xy ] = kx |
+ b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y[xy−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
~ |
|
|
) = y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y(x |
|
& |
=> находим a и b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
~ y−1 |
|
|
|
y−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y(xy ) = y y& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
y y |
− y y−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ b = y y&−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
xy |
− xy&−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
kxy−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
kxy |
+ b = y y& |
|
|
|
xy y y−1 − xy−1 y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
− xy−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y & |
|
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
y−1 |
|
|
x |
y |
y |
y−1 |
− x |
y−1 |
y |
y |
|
|
|
x − x |
y−1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y[x |
y−1 |
, x |
y |
] = |
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y |
y−1 |
+ |
|
|
y & |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xy |
|
− xy−1 |
|
|
|
|
xy − xy−1 |
|
|
|
|
|
hy |
|
y |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yy& - интерполяционная поправка.
Если ищем |
~ |
y(x) вне диапазона, то это экстраполяция, если внутри диапазона – |
интерполяция.
ПАРАГРАФ 3. КВАДРАТИЧНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ.
X |
Y |
a = x0 < x1... < xy <...xn = b |
|
x0 |
y0 |
||
|
|||
… |
… |
|
|
xy-1 |
yy-1 |
|
xy& |
y y& |
xy+1 |
yy+1 |
… |
… |
xn |
yn |
Рассмотрим отрезок от xy−1 до xy&+1 . Проведем через точки кривую
~ |
|
|
|
|
2 |
+ β +γ (полином второй степени). |
|
|
|
||||||
y(x) =αx |
|
|
|
|
|||||||||||
α, β,γ находятся из след сис-мы ур-й: |
|
|
|
||||||||||||
~ |
(xy−1 ) = y y−1 |
|
2 |
+ βxy−1 |
= y y−1 |
|
|
|
|||||||
y |
αxy−1 |
|
|
|
|||||||||||
~ |
(xy ) = y y |
|
|
1 |
+ βxy+γ |
= yγ |
|
|
|
||||||
y |
|
Ù |
αxy |
|
|
|
|||||||||
~ |
(x |
|
) = y & |
|
2 |
βxy+1 + γ = y y+1 |
|
|
|
||||||
y |
y+1 |
αxy+1 + |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
y+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим след-ю функцию: |
|
|
(x − xy−1 )(x − xy+1 ) |
|
(x − xy )(x − xy−1 ) |
|
|||||||||
~ |
|
|
|
|
(x − xy )(x − xy+1 ) |
y & |
|
y & + |
y & |
||||||
y |
(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
||||
|
(xy−1 − xy )(xy−1 − xy+1 ) |
(xy − xy−1 )(xy − xy+1 ) |
(xy+1 − xy )(xy+1 − xy−1 ) |
||||||||||||
|
|
|
|
y−1 |
|
y |
y+1 |
Если вычисленное значение у внутри отрезка, это интерполяция, вне – экстраполяция.
ПАРАГРАФ 4. ПОЛИНОМ ЛАГРАНЖА.
Пусть есть функция, к-я задана таблично, х удовлетворяет соотношению a = x0 < x1 <... < xn =b
полином степени n
~ |
n |
+δn−1 x |
n−1 |
+... +δ0 |
y(x) =δn x |
|
|
Константы находятся из условия:
~ |
|
) = y |
|
|
y(x |
0 |
0 |
|
|
~ |
|
|||
y(xn ) = yn |
|
~ |
n |
n |
(x − xi ) |
|
y(x) = ∑ ∏ |
|
y j |
||
|
||||
|
y=0 |
i=0 |
(x j − xi ) |
|
|
|
|
|
|
Интерполяция (экстраполяция) хорошо работают если значения у не зашумлены.