2.4. ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ.

19

Расстояние между двумя параллельными плоскостями

Ax + By + Cz + D1 = 0 и

Ax + By + Cz + D2 = 0:

D1 − D2

d =

.

A

2 + B2 +

C2

Угол n между плоскостями

Aix + Biy + Ciz + Di = 0

(i = 1, 2):

cos ϕ =

A1A2 + B1B2 + C1C2

.

A2

+ B2

+ C2

A2

+ B2

+ C2

1

1

1

2

2

2

плоскостей

A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

(1)

Параметрическое уравнение прямой:

x = x0 + rxt,

y = y0 + ryt,

z = z0 + rzt,

где r = (rx,

ry, rz) — направляющий вектор прямой,

x0, y0, z0

— координаты точки, при-

надлежащей прямой.

Компоненты направляющего вектора прямой связаны с коэффициентами системы (1) ра-

венствами:

rx = (B1C2 – B2C1),

ry = (C1A2 – C2A1),

rz = (A1B2 – A2B1).

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x0; y0; z0) и имеющей направ-

ляющий вектор r = (r ,

r

, r ):

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

x

y

z

rx

ry

rz

Угол

n между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями

x − x

y − y

z − z

x − x′

y − y′

z − z′

0

=

0

=

0

,

0

=

0

=

0

:

rx

ry

rz

rx′

ry′

rz′

cos ϕ =

rx′rx + ry′ry + rz′rz

.

(rx2 + ry2 + rz2) (rx′2 + ry′2 + rz′2)

rx

=

ry

=

rz

.

rx′

ry′

rz′

Условие перпендикулярности прямой, заданной каноническим уравнением, и плоскости

Ax + By + Cz + D = 0:

A

= B

=

C .

r

r

r

x

y

z

Уравнение прямой, проходящей через точку

(x0; y0; z0) и перпендикулярной плоскости

Ax + By + Cz + D = 0:

x – x0 = λA,

y – y0 = λB, z – z0 = λC.

Расстояние от точки (x1;

y1; z1)

до прямой, заданной каноническим уравнением:

ry

rz

2

2

rx

ry

2

12

rz

rx

+

+

y0 − y1

z0 − z1

z0 − z1 x0 − x1

x0 − x1 y0 − y1

d =

.

2

2

2

rx

+ ry

+ rz

20

II.2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.5. Поверхности второго порядка.

Общее уравнение поверхности второго порядка в декартовой системе координат:

F (x, y, z) ≡ a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13xz + 2a23yz + a33z2 +

+ 2a1x + 2a2y + 2a3z + a0 = 0.

(1)

Инварианты поверхности второго порядка относительно параллельного переноса и пово-

рота осей:

a11

a12

a13

a1

a11

a12

a13

a12 a22 a23 a2

∆ =

;

δ =

a a

a

;

a13

a23

a33

a3

12

22

23

a13

a23

a33

a1

a2

a3

a0

a22

a23

a33 a13

S = a11 + a22 + a33 ;

J =

a11 a12

+

+

.

a

a

a

a

a

a

12

22

23

33

13

11

Характеристическая квадратичная форма уравнения (1):

n (x, y, z) ≡ a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13xz + 2a23yz + a33z2.

(2)

Характеристическое уравнение квадратичной формы (2):

a11 − λ

a12

a13

a12

a22 − λ

a23

= 0 .

a13

a23

a33 − λ

Связь между корнями λ1, λ2,

λ3

характеристического уравнения квадратичной формы и

инвариантами:

S = λ1 + λ2 + λ3 ;

J = λ1λ2 + λ1λ3 + λ2λ3 ;

δ = λ1λ2λ3.

2.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

21

К л а с с и ф и к а ц и я п о в е р х н о с т е й в т о р о г о п о р я д к а .

I. δ ≠ 0:

Условия

S δ > 0, J > 0

выполнены

нарушены

эллипсоид:

двуполостный гиперболоид:

∆ < 0

x2

y2

z2

x2

y2

z2

+

+

=

1

+

−

= −1

a

2

2

c

2

a

2

2

c

2

b

b

мнимый эллипсоид:

однополостной гиперболоид:

∆ > 0

x2

y2

z2

x2

y2

z2

+

+

= −1

+

−

= 1

a

2

b

2

c

2

a

2

2

c

2

b

мнимый конус с действительной вершиной:

конус:

∆ = 0

x2

y2

z2

x2

y2

z2

+

+

= 0

+

−

= 0

a

2

2

c

2

a

2

2

c

2

b

b

I I. δ = 0:

2

2

∆ < 0:

эллиптический параболоид:

x

+

y

= ±z .

2

2

a

2

b

2

∆ > 0:

гиперболический параболоид:

x

−

y

= ±z .

2

2

∆ = 0:

цилиндры:

a

b