88

3.Бесконечные произведения

3.1.Основные определения

∞

В бесконечном произведении p1 p2 … pn = ∏pn числа pn — члены бесконечного про-

n=1

m

изведения, Pm = p1 p2 … pm = ∏pn — частичные произведения.

n=1

Предел P последовательности {Pn} при n → ∞ называется значением бесконечного

произведения. Если P конечно и P ≠ 0, то произведение называется сходящимся, в против-

ном случае — расходящимся.

Если lim Pm = 0 , то бесконечное произведение расходится к нулю.

m→∞

∞

Бесконечное произведение ∏pn называется абсолютно сходящимся, если абсолютно

n=1

∞

сходится ряд ∑ln pn .

n=1

3.2.Свойства бесконечных произведений.

∞

Если бесконечное произведение ∏pn сходится, то lim pn = 1.

n=1 n→∞

∞

Если в бесконечном произведении ∏(1 + an) , начиная с некоторого номера N0, все

n=1

числа an имеют один знак, то для сходимости произведения необходимо и достаточно, чтобы

∞

ряд ∑an сходился.

n=1

3.3.Некоторые бесконечные произведения.