Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ульяновское Высшее Авиационное Училище Гражданской Авиации

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИКА для экономистов / Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г. Математические формулы. 1985.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.04.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3028 29 30 > Следующая >>>

104

4. Функции Бесселя

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е Б е с с е л я :

z2 d2w2	+ z dw + (z2		− ν2 )w = 0 ;
dz		dz
решения: функции Бесселя первого рода J±ν (z) ,			второго рода Yν (z) и третьего рода
Hν(1) (z), Hν(2) (z) (или функции Ганкеля).
Соотношения между функциями Бесселя:
Y (z)	=	Jν (z) cos νπ − J−ν (z)		.

ν		sin	νπ

Если ν — целое, то под правой частью понимается ее предельное значение.

H(1)	(z) = J (z) + iY (z)		H(2)	(z) = J (z) − iY (z)
ν	ν	ν	ν	ν	ν

J		(z) = (−1)n J (z)			Y	(z) =	(−1)nY		(z).
−n				n	−n			n
Разложение в ряд:	J (z) =		∞ (−1)k (z 2)2k+ν			; J		(z) =	∞

			∑ k! Γ(k + ν +1)						∑
		ν	∑ k! Γ(k + ν +1)			−n			∑
			k=0						k=n

(−1)k (z 2)2k−n k!(k − n)! ;

−n n−1

(n − k −1) ! z2 k

Yn (z) = −

∑

ln Jn (z) −

k=0

∞

(−z2

4)k

−

∑

[ψ(k +1) + ψ(n + k +

1)]

k!(n + k)

Интегральные представления:

k=0

(z 2)ν

Jν (z) =

∫

cos (z cos θ)sin2ν θdθ =

π Γ(ν +1 2)

2 (z 2)ν

ν−1 2

∫(1 − t2 )

cos zt dt

(Re ν > −1 2);

π Γ(ν +1 2)

Y (z) = 1 π sin

zsin θ − νθ dθ − 1 ∞

eνt

+ e−νt cos

νπ

}

e−zshtdt

arg z

;

π ∫

(

)

π ∫

{

(

)

sin νπ

∞

−zsh(t−νt)

Jν (z) =

∫

cos (zsin θ − νθ)dθ −

∫

arg z

;

Jn (z) =

1 π cos (zsin θ − nθ)dθ.

π ∫0

Дифференцирование (здесь f — любая из функций J, Y, H(1), H(2)):

1 d m

zν f (z)

= zν−m f

(z);

ν−m

z dz

1 d

z−ν f

(z) = (−1)m z−ν−m f

(z).

ν+m

z dz

	VI.4. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ						105
Произведение функций Бесселя:
Jν (z) Jµ (z) =	∞	(−1)k (z 2)ν+µ+2k Γ(ν + µ + 2k +1)				.
Jν (z) Jµ (z) =	∑k! Γ(µ + k +1) Γ(ν + k +1) Γ(ν + µ + k +1)					.
	∑k! Γ(µ + k +1) Γ(ν + k +1) Γ(ν + µ + k +1)
	k=0
Рекуррентное соотношение (здесь f — любая из функций J, Y, H(1), H(2)):
	f	(z) + f	(z) =	2ν	f (z) .
	f	(z) + f	(z) =		f (z) .
	ν−1	ν+1		z ν

Связь между функциями Бесселя полуцелого порядка:

J	(z) = (−1)n+1Y	(z);	Y	(z) = (−1)n J	(z).
−n−1 2	n+1 2		−n−1 2	n+1 2

Связь с элементарными функциями:
J	(z) = (−1)n	2	zn+1	1	d n sin z		;

n+1 2		πz				z
				z dz

(z)

= (−1)n+1

zn+1

1 d n cos z

;

n+1 2

πz

z dz

(z) J

(z) + J

(z) J

(z) = 2sin νπ ;

−ν+1

−ν

ν+1

πz

J (z)Y

(z)

−Y

(z) J

(z) =

ν−1

πz

106

5. Модифицированные функции Бесселя I и K

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е :

z2 d2w + z dw − (z2 + ν2 )w = 0 ; dz2 dz

решения: модифицированные функции Бесселя I±ν(z) и Kν(z) (функция Макдональда).

Связь с функциями Бесселя и соотношения между модифицированными функциями Бес-

селя:

−

iπν

iπ

−π < arg z -

Jν (ze

)

;

Iν (z) =

3iπν

3iπ

−

Jν (ze

)

< arg z - π

;

Kν (z) =

[I−ν (z)

− Iν (z)];

2sin πν

если ν — целое, то в правой части равенства стоит ее предельное значение.

(z) = I (z);

(z) = K (z);

I (−z) = (−1)n I (z) .

−n

∞

(z 2)2k+ν

Разложение в ряд:

Iν (z) =

;

∑k! Γ(k + ν +1)

k=0

K (z) = 1 z

−n n−1

(n − k −1)!

− z

I (z) +

∑

+ (−1)n+1 ln

2 2

k=0

(−1)n

z n

∞

(z2 4)k

∑

[ψ(k +1) + ψ(n

+ k +1)]

k!(n + k)!

Интегральные представления:

k=0

I (z)

= 1 π ez cos θ cos νθdθ − sin νπ ∞ e−z ch(t−νt) dt

arg z

< π

;

π ∫

∫

π (z

ν ∞

−zt

−1)

ν−1 2

Kν (z) =

> −

Re z

arg z

;

Γ(1 2

+ ν) ∫

I (z) =

π ez cos θ cos nθdθ.

∫0

Рекуррентные соотношения:

(z) − I

(z) =

2ν I (z);

(z) − K

(z) = −

2ν K (z).

ν−1

ν+1

z ν

ν−1

Дифференцирование (f — любая из функций I ,

eiπν K ):

1 d

zν f

(z)

= zν−m f

(z);

1 d

z−ν f

(z)

= z−ν−m f

(z) .

ν−m

ν+m

z dz

VI.5. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ I И K											107
Связь модифицированных функций Бесселя с элементарными функциями:
			I	(z) =		2	sh z;
			I	(z) =			sh z;
			1 2			πz
						πz			2sin (νπ)
I (z) I			(z) − I		(z) I		(z) = −		2sin (νπ)	;
I (z) I			(z) − I		(z) I		(z) = −			;
ν	−ν+1			−ν	ν−1				πz
									πz
	K	(z) I (z)			+ K (z) I			(z) = 1 .
	ν+1		ν		ν		ν+1		z
									z

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3028 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МАТЕМАТИКА для экономистов

#
20.04.2015509 Кб187Арнольд В.И. Что такое математика. 2002.pdf
#
20.04.2015593 Кб99Булгаков Н.А. Основные законы и формулы по математике и физике.pdf
#
20.04.20151 Мб68ЕГЭ Математика 2009 Демо - проект.pdf
#
20.04.2015411 Кб96Пучков Н.П., Ткач Л.И. Теория множеств в курсе ''Математика'' для гуманитарных специальностей. 2004.pdf
#
20.04.2015146 Кб94Тихомиров В.Н. Великие математики прошлого и их великие теоремы. 2003.pdf
#
20.04.20151 Мб73Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г. Математические формулы. 1985.pdf
#
20.04.20159 Мб60Энциклопедия элементарной математики. 5. Геометрия. 1966.djvu