Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ульяновское Высшее Авиационное Училище Гражданской Авиации

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИКА для экономистов / Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г. Математические формулы. 1985.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.04.2015

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 303 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2.Алгебра.

2.1.Формулы сокращенного умножения.

Общие формулы:

n−1

xn − cn = (x − c) (xn−1 + xn−2c + xn−3c2 +…+ xcn−2 + cn−1) = (x − c)∑xn−k−1ck ,

k=0

где n — любое;

n−1

xn −cn = (x +c) (xn−1 − xn−2c + xn−3c2 −…+ xcn−2 −cn−1) = (x +c)∑(−1)kxn−k−1ck ,

k=0

где n — четное;

n−1

xn +cn = (x +c) (xn−1 − xn−2c + xn−3c2 −…− xcn−2 +cn−1) = (x +c)∑(−1)kxn−k−1ck ,

k=0

где n — нечетное. Простейшие формулы:

(x + c) (x – c) = x2 – c2;

(x + c) (x2 – xc + c2) = x3 + c3; (x – c) (x2 + xc + c2) = x3 – c3.

2.2. Формулы Виета.

Формулы Виета для приведенного многочлена n-ной степени P(x) = xn + a1xn–1 + + a2xn–2 + … + an-1x + an c корнями c1, c2, …, cn:

c1 + c2 + c3 + … + cn–1 + cn = –a1, c1c2 + c1c3 + … + cn–1cn = a2,

c1c2c3 + c1c2c4 + … + cn–2cn–1cn = –a3,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c1c2c3…cn–1cn = (–1)n an .

Формулы Виета для приведенного квадратного трехчлена P(x) = x2 + px + q :

c1 + c2 = –p, c1c2 = q.

Формулы Виета для приведенного кубичного многочлена P(x) = x3 + px2 + qx + r :

c1 + c2 + c3 = – p, c1c2 + c2c3 + c1c3 = q, c1c2c3 = – r .

2.3. Корни квадратного уравнения.

Формула вычисления корней квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 с действительными коэффициентами:

x = −b ± b2 − 4ac .
1,2	2a

2.4. КОРНИ КУБИЧНОГО УРАВНЕНИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 7

Если D ≡ b2 − 4ac > 0 , то уравнение имеет два различных действительных корня; ес-

ли D = 0, то уравнение имеет один действительный корень кратности 2; если D < 0, то уравнение имеет два комплексно сопряженных корня:

x	= − b		+ i	4ac − b2	;	x	= − b		− i	4ac − b2	.

1		2a		2a		2		2a		2a

Формула вычисления корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0:

x1,2	= −	p	±	p		2
		2			2	− q .

Формула вычисления корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом ax2 + 2kx + c = 0:

x =	− k ±	k2 − ac	.
1,2		a
		a

2.4. Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами.

Корни неполного кубичного уравнения y3 + py + q = 0 вычисляются по формулам

Кардано:							= − A + B ± i A − B 3 ,
	y = A + B,				y	2,3	= − A + B ± i A − B 3 ,
	1					2,3			2	2
									2	2
где	A = 3 −	q	+ Q	,	B =		3 −	q	− Q ,	p 3		q		2
где	A = 3 −	2	+ Q	,	B =		3 −	2	− Q ,	Q =		+	2		,
		2						2			3		2

причем в качестве корней выбираются любые значения кубичных корней, удовлетворяющие

равенству AB = – p/3.

Корни неполного кубичного уравнения с действительными коэффициентами y3 + py + q = 0 могут быть вычислены также по следующим формулам (тригонометрическое

решение). Если Q < 0,

то p < 0,

= 2

−

cos

y2,3 = −2 −

cos

где значения тригонометрических функций вычисляются по значению cosα = −

2 −

(

p 3 3

)

Если Q . 0 и p > 0, то y1 = −2

p 3 ctg 2α,

y2,3 =

p 3

(ctg 2α ± i 3 cosec 2α), где

значения тригонометрических функций вычисляются по значению

tg α = 3 tg

tg β =

(p 3)3 ,

- π ,

π .

Если Q . 0 и p <

0, то

y1 = −2

−p 3 cosec 2α,

y2,3 =

−p 3

(cosec2α ±i

3 ctg2α),

где значения тригонометрических функций вычисляются по значению

tg α =

3 tg

, sin β =

p 3

−

Во всех трех случаях берется действительное значение кубичного корня.

I.2. АЛГЕБРА.

Корни полного кубичного уравнения

ax3 + bx2 + cx + d = 0 вычисляются по форму-

лам x

= y −

(i = 1, 2, 3),

где yi

— корни неполного кубичного уравнения.

2.5. Корни уравнения 4-й степени.

Уравнение четвертой степени ax4

+ bx3

+ cx2 + dx + e = 0

с действительными коэф-

фициентами заменой

y = x +

сводится к неполному уравнению y4 + py2 + qy + r = 0,

корни которого вычисляются по формулам:

( z1 +

z3 ),

y2 = 1

(

z1 − z2 −

z3 ),

(1)

(− z1 + z2 − z3 ),

y4 =

(− z1 − z2 + z3 ),

где z1, z2, z3 — корни кубичного уравнения (кубичной резольвенты) z3 + 2pz2 + (p2 – 4r) z – q2 = 0,

и знаки перед корнями в формулах (1) выбираются так, чтобы выполнялось условие

z1 z2 z3 = −q .

2.6. Неравенства.

Простейшие неравенства:

| a + b | - | a | + | b |;

| a – b | . | | a | – | b | |; a2 + b2 . 2 | ab |;

+ b . 2 ,

(ab > 0);

a + b .

ab , (a . 0, b . 0).

Некоторые общие неравенства:

∑ai

- ∑

;

i=1

n1 ∑ai . n a1a2 …an ,

. 0

(неравенство Коши);

i=1

∑aibi

∑ai2

∑bi2

(неравенство Коши – Буняковского);

i=1

∑ai

- n1 ∑ai2 ;

i=1

1 p n

1 q

∑aibi

∑aip

∑biq

(неравенство Гёльдера), где

= 1.

+ q

i=1

2.7. Комбинаторика и бином Ньютона.

Число перестановок из n элементов: Pn = n! .

Число размещений из n элементов по m элементов:	Am	=	n!	.


	n		(n − m) !

2.7. КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА.

Число сочетаний из n элементов по m элементов: Cmn =	n!	.
Число сочетаний из n элементов по m элементов: Cmn =	m! (n − m) !	.
	m! (n − m) !
Формулы для числа сочетаний:

Cm = Cn−m ; Cm++1 = Cm + Cm+1; C0 + C1 + C2 + …+ Cn−1 + Cn = 2n .

n n n 1 n n n n n n n

Число перестановок с повторениями

Cn (k1, k2,…, km) = k1! k2n!…! km !

(кортежами) состава (спецификации)	(k1, k2, …, km):
(n = k1 + k1 + … + km).	(1)

Число сочетаний из n элементов по m с повторениями: fm		= Cn−1		= Cm		.
	n	m	+n−1		m+n−1
Рекуррентная формула для числа сочетаний с повторениями:		fm	= fm		+ fm−1 .
Формула бинома Ньютона:		n	n−1		n
Формула бинома Ньютона:	∑ Cn (k1,k2,…,kr)a1k1a2k2 …arkr ,
(a1 + a2 +…+ ar)n =	∑ Cn (k1,k2,…,kr)a1k1a2k2 …arkr ,
	k1+k2+…+kr=n

где суммирование проводится по всем наборам неотрицательных целых чисел (k1, k2, …, kr),

для которых k1 + k2 + … + kr = n. Коэффициенты Cn(k1, k2, …, kr), вычисляемые по формуле (1), называются полиномиальными коэффициентами. Формула для числа полиномиальных коэффициентов:

∑Cn (k1,k2,…,kr) = rn .

k1+k2+…+kr=n

<<< < Предыдущая 1 23 / 303 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МАТЕМАТИКА для экономистов

#
20.04.2015509.4 Кб164Арнольд В.И. Что такое математика. 2002.pdf
#
20.04.2015593.11 Кб93Булгаков Н.А. Основные законы и формулы по математике и физике.pdf
#
20.04.20151.01 Mб65ЕГЭ Математика 2009 Демо - проект.pdf
#
20.04.2015411 Кб91Пучков Н.П., Ткач Л.И. Теория множеств в курсе ''Математика'' для гуманитарных специальностей. 2004.pdf
#
20.04.2015145.97 Кб84Тихомиров В.Н. Великие математики прошлого и их великие теоремы. 2003.pdf
#
20.04.20151.01 Mб67Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г. Математические формулы. 1985.pdf
#
20.04.20159.11 Mб57Энциклопедия элементарной математики. 5. Геометрия. 1966.djvu