Эпюр 1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕТРИЧЕСКИЕ И ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

ЭПЮР I

Методические указания к самостоятельной подготовке

по дисциплине «Начертательная геометрия и инженерная графика» для студентов дневной формы обучения

строительных специальностей

Составители: Л.Л. Сидоровская А.Ю. Лапшов В.И. Чурбанов

Ульяновск

2007

УДК 514.1(076) ББК 22.151.3 я7

М 54

Рецензент доцент кафедры «Строительное производство и материалы» строительного факультета Ульяновского государственного технического университета Е. Г. Дементьев

Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета

Метрические и позиционные задачи. Эпюр I: Методические указания к

М54 самостоятельной подготовке по дисциплине «Начертательная геометрия и инженерная графика» для студентов дневной формы обучения строительных специальностей / сост.: Л. Л. Сидоровская, А. Ю. Лапшов, В. И. Чурбанов. – Ульяновск: УлГТУ, 2007. – 18 с.

Составлены в соответствии с программой курса «Начертательная геометрия и инженерная графика».

Методические указания содержат методику выполнения Эпюра I, требования, предъявляемые к оформлению чертежей, образцы выполненных работ и варианты индивидуальных заданий.

Разработка включает также перечень контрольных вопросов по указанной теме. Предназначены студентам строительных специальностей дневной формы обучения

специальностей 27010265 «Промышленное и гражданское строительство» и 27010965 «Теплогазоснабжение и вентиляция».

УДК 514.1(076) ББК 22.151.3 я7

Учебное издание

МЕТРИЧЕСКИЕ И ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ. ЭПЮР I

Методические указания СИДОРОВСКАЯ Лариса Леонидовна ЛАПШОВ Александр Юрьевич ЧУРБАНОВ Владимир Иванович

Редактор М. В. Теленкова Подписано в печать 28.12.2007 г. Формат 60х84/8. Бумага офсетная.

Усл. печ. л.2,09. Тираж 150 экз. Заказ 20. Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.

Типография УлГТУ, 432027, Сев. Венец, 32

© Л. Л. Сидоровская, А. Ю. Лапшов, В. И. Чурбанов, составление, 2007 © Оформление. УлГТУ, 2007

3

3

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В программу курса начертательной геометрии и черчения включено выполнение домашних графических работ. В состав эпюра 1 включены четыре задачи, охватывающие разделы:

1.Точка: эпюры точек, расположенных в различных четвертях пространства, построение проекций точек по заданным координатам.

2.Прямая: четыре положения прямой, следы прямой, построение натуральной величины отрезка прямой.

3.Плоскость: способы задания плоскости на эпюре, следы плоскости, плоскости частного и общего положения, принадлежность плоскости точки и прямой.

4.Взаимное пересечение геометрических образов. Три вида позиционных задач на пересечение геометрических образов (прямой и плоскости, двух плоскостей). Построение параллельных плоскостей.

5.Перпендикулярность прямой и плоскости, построение взаимно перпендикулярных плоскостей.

Приступая к выполнению эпюра 1, проработать по учебному пособию [1]

соответствующие разделы курса, освоить обозначения и символику. Чертежи выполняются в соответствии с ГОСТами, ЕСКД [3].

1. НАЗНАЧЕНИЕ РАБОТЫ

Выполнение эпюра 1 позволяет:

-закрепить теоретический материал и получить практические навыки в решении метрических и позиционных задач начертательной геометрии, что, в свою очередь, развивает у студентов пространственное воображение;

-ознакомиться с основными правилами выполнения и оформления чертежей, ГОСТами, ЕСКД;

-научиться работать самостоятельно с индивидуальными домашними заданиями.

2.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Всостав эпюра 1 входит четыре задачи.

Вприложение 1 даны координаты точек A, B, C, определяющих плоскость α, и точка D (используется только для решения задачи № 2).

Требуется:

Задача 1. Построить следы απ1 и απ2 плоскости α, заданной тремя точками A, B, C.

Задача 2. Определить натуральную величину расстояния от точки D до плоскости α.

Задача 3. Построить плоскость β, параллельную плоскости α и отстоящую от нее на расстоянии 30 мм.

Задача 4. Через вершину B провести плоскость γ, перпендикулярную противоположной стороне (AC), построить пересечение плоскостей α и γ и определить видимость.

4

3. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Каждая задача оформляется на листе формата А4 в карандаше в соответствии с требованиями стандартов ЕСКД. Сначала чертежи следует выполнить тонкими линиями, а после проверки обвести мягким карандашом с соблюдением толщины линии по ГОСТу 2.303

– 68. Линии видимого контура 0,8…1 мм, линии связи, размерные и выносные должны быть в пределах 0,2…0,3 мм. Искомые элементы допускается обводить цветным карандашом или фломастером.

На листе размещается основная надпись и таблица данных. В основную и дополнительную надписи вписываются обозначения чертежа. Например:

Н.Г. 001.005.001., где Н.Г. – шифр предмета (начертательная геометрия),

001. – шифр семестра (первый семестр),

005. – шифр номера варианта (вариант 5),

001. – шифр номера задания (эпюр 1).

В дополнительной надписи обозначение чертежа вписывается повернутым на 180°. Остальные графы основной надписи заполняются по образцу (рис. 4.4.), чертеж подписывается студентом чернилами в соответствующей графе и ставиться дата его выполнения.

Надписи и обозначения выполняются шрифтом Б с наклоном 75° по ГОСТ 2.304-81. Размер шрифта показан на рис. 4.4. Следует обратить внимание на написание прописных и строчных букв латинского и греческого алфавита.

Для удобства чтения чертежа рекомендуется пользоваться следующими обозначениями:

-стороны треугольника ABC обозначаются a, b, c, (сторона, лежащая против вершины A , обозначается a , против B – b и т.д.);

-горизонтали и фронтали – h, f;

-перпендикуляр к плоскости – n;

-линия пересечения плоскостей – l;

-точка встречи прямой с плоскостью – K.

Задачи эпюра 1 решаются по мере чтения курса и проработки учебного материала на

практических занятиях. Студент предъявляет выполненные чертежи четырех задач и защищает их, отвечает на вопросы, связанные с решением задач и теоретическим курсом. В конце семестра сданные чертежи брошюруются в общую подшивку и сдаются преподавателю.

4. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Решение всех четырех задач эпюра 1 начинается с построения осей координат x, y, z с учетом заранее продуманной компоновки чертежа. По координатам строятся фронтальные и горизонтальные проекции точек A, B, C, (во второй задаче точки D) и их одноименные проекции (кроме точки D) соединяются тонкими линиями. Тем самым плоскость α задается треугольником ABC, что удобно для решения задач.

4.1. Задача 1 (см. рис. 4.1)

Необходимо построить следы απ1 (горизонтальный) и απ2 (фронтальный) плоскости, заданной тремя точками A, B, C.

Следами плоскости называют прямые, по которым плоскость пересекает плоскости проекций:

α∩ π1 = απ1 ,

α∩ π2 = απ2 ,

5

Для построения следов плоскости α используем правило: прямая принадлежит

плоскости, если её следы лежат на одноименных следах этой плоскости. След прямой есть точка встречи её с плоскостью проекций. Отсюда решение задачи сводится к нахождению следов каких - либо двух прямых, принадлежащих плоскости α. В нашем примере удобно построить фронтальные следы сторон треугольника a и b и горизонтальный след прямой c :

a ∩ π2= N, b ∩ π2 = N', c ∩ π1 = M .

Одноименные фронтальные следы прямых a и b соединяем и получаем фронтальный след плоскости α . Продолжив его до пересечения с осью x, находим точку схода следов αx:

N U N' = απ2 ,

απ2 ∩ x = αx .

Горизонтальный след плоскости строим, соединив точку схода следов с горизонтальным следом прямой c:

αx U M = απ1 .

В некоторых вариантах следы плоскости не пересекаются в пределах чертежа с осью x. В этом случае следует построить два горизонтальных и два фронтальных следа прямых и одноименные следы соединить.

Построение:

Для построения фронтального следа прямой a продолжаем её горизонтальную проекцию α1 до пересечения с осью x, получаем точку N1 – горизонтальную проекцию фронтального следа:

α1 ∩ x = N1.

Через эту точку проводим линию связи до пересечения с продолжением фронтальной проекции прямой a. Точка N, совпадающая со своей фронтальной проекцией N ≡ N2, и будет фронтальным следом прямой a.

Аналогично строим фронтальный след прямой b.

Соединив точки N и N' прямой, получили фронтальный след плоскости α, на пересечении с осью x находим точку схода следов αx.

Для построения горизонтального следа прямой c продолжим её фронтальную проекцию c2 до пересечения с осью x, получаем точку M2 – фронтальную проекцию горизонтального следа:

c2 ∩ x = M2.

Проводим линию связи до пересечения с продолжением горизонтальной проекции прямой c. Точка M совпадает со своей горизонтальной проекцией M ≡ M1 – горизонтальный след прямой c. Соединив его с точкой схода следов, получим горизонтальный след плоскости α:

M U αx = απ1 .

4.2. Задача 2 (см. рис. 4.2)

Необходимо определить натуральную величину расстояния от точки D до плоскости α. Расстояние от точки D до плоскости α определяется отрезком перпендикуляра, опущенного из точки D на плоскость α. Известно, что прямая перпендикулярная

плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве пересекающихся прямых используются прямые уровня плоскости: горизонталь и фронталь. Это обусловлено тем, что прямой угол проецируется на плоскость

без искажения, если одна из его сторон параллельна этой плоскости проекции, а другая не перпендикулярна ей. Тогда у прямой, перпендикулярной плоскости, на чертеже горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

6

Решение:

-В заданной плоскости α строим горизонталь и фронталь;

-Из точки D опускаем перпендикуляр на плоскость α;

-Находим точку встречи K перпендикуляра с плоскостью α;

-Для этого:

а) заключаем перпендикуляр n во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость σ; б) находим линию пересечения вспомогательной плоскости σ с данной плоскостью α;

в) в пересечении построенной линии с перпендикуляром n определяем точку встречи его с плоскостью.

-определяем натуральную величину отрезка [DK] способом прямоугольного треугольника. Это и будет расстояние от точки D до плоскости α.

Построение:

В плоскости α строим горизонталь h – прямую, лежащую в плоскости и параллельную горизонтальной плоскости проекций π1. В нашем примере её удобно провести через точку C.

(h α) (h || π1).

Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси x и проходит через точку C2 . По принадлежности строим горизонтальную проекцию горизонтали – h1:

(h2 || x) (h2 α2); h1 α1 .

Аналогично строим в плоскости α фронталь f – прямую, лежащую в плоскости и параллельную фронтальной плоскости проекций π2:

(f α) (f || π2).

Её горизонтальная проекция f1 параллельна оси x и проходит через точку A1 . Фронтальная проекция фронтали f2 строиться по принадлежности к плоскости α.

Проекции перпендикуляра, опущенного из точки D на плоскость α, перпендикулярны соответствующим проекциям горизонтали и фронтали:

(n1 D1 ) (n1 h1), (n2 D2 ) (n2 f2).

Для построения точки встречи перпендикуляра с плоскостью α, заключаем его во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость σ:

(σ n) (σ π2).

На чертеже фронтальный след этой плоскости σ π2 совпадает с фронтальной проекцией n2, которая перпендикулярна n.

σπ2 ≡ n2 .

Строим линию пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью треугольника ABC. Отмечаем точки пересечения фронтального следа σ π2 со сторонами треугольника – точки 32 и 42 и по принадлежности находим горизонтальную проекцию линии пересечения – отрезок [31 41].

σ ∩ α = [34].

Строим точку пересечения перпендикуляра n с построенной линией пересечения – отрезком [3 4].

n ∩ [3 4] = K .

Сначала строим на горизонтальной проекции и по принадлежности – на фронтальной:

n1 ∩ [31 41] = K1; K2 n2 .

Натуральную величину расстояния от точки D до плоскости α – отрезок [DK] определяем способом прямоугольного треугольника.

Для этого необходимо построить, например, на плоскости π2 прямоугольный треугольник, одним катетом которого является фронтальная проекция отрезка [DK] – отрезок [D2K2], а вторым служит разность удалений концов этого отрезка от плоскости π2 – отрезок

[Y(·)K – Y(·)D].

7

Гипотенуза этого треугольника определяет натуральную величину искомого отрезка

[DK].

4.3. Задача 3 (см. рис. 4.3)

Необходимо построить плоскость β, параллельную плоскости α и отстоящую от нее на расстоянии 30 мм.

Чтобы построить такую плоскость нужно из произвольной точки плоскости α (например точки А) восстановить к ней перпендикуляр; отложить на нём отрезок заданной величины (30 мм) и через полученную точку провести искомую плоскость β, параллельную плоскости α.

Решение:

-В заданной плоскости α строим горизонталь и фронталь;

-Из вершины треугольника А восстанавливаем перпендикуляр к плоскости α;

-На перпендикуляре от точки А откладываем отрезок заданной величины – 30 мм;

-Через конец этого отрезка, точку F, проводим искомую плоскость β, параллельную плоскости α.

Построение:

Как и в предыдущей задаче строим горизонталь и фронталь в плоскости α.

Из точки А, наиболее удобной для построения, восстановим перпендикуляр к плоскости α. Для этого, как известно, необходимо его горизонтальную проекцию

направить перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальную проекцию – перпендикулярно фронтальной проекции фронтали.

Чтобы отложить на перпендикуляре n отрезок заданной величины (30 мм), возьмем на нем произвольную точку E, отсекающую на луче произвольный отрезок [EK].

Способом прямоугольного треугольника найдем натуральную величину этого отрезка. На горизонтальной проекции строим прямоугольный треугольник, одним катетом которого является горизонтальная проекция отрезка – отрезок [E1A1], а вторым катетом служит разность удалений его концов от плоскости π1:

[Z(·)E – Y(·)A] .

Гипотенуза этого прямоугольного треугольника определяет натуральную величину отрезка [EA] .

Откладываем на ней от точки А0 отрезок [A0F0], равный 30 мм. Переносим точку F0 на горизонтальную проекцию перпендикуляра, проведя прямую F0F1 параллельно катету А0А1 . По линии связи строим точку F2 на фронтальной проекции перпендикуляра.

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Отсюда искомую плоскость задаем двумя прямыми m и l, соответственно параллельными двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости α, например, сторонам треугольника c и b :

β || α (m || c) (l || b) , где (c ∩ b) α и (m ∩ l) β .

4.4. Задача 4 (см. рис. 4.4)

Необходимо через вершину B провести плоскость γ, перпендикулярную противоположной стороне АC, построить линию пересечения плоскостей α и γ и определить видимость.

8

Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит перпендикуляр к другой плоскости. Возможны два случая построения взаимно перпендикулярных плоскостей:

-искомая плоскость проходит через перпендикуляр к заданной плоскости;

-искомая плоскость проходит перпендикулярно прямой, лежащей в заданной плоскости.

Решение:

-Через вершину B проводим плоскость γ, перпендикулярную стороне в треугольника

АВС;

-Строим линию пересечения заданной плоскости α с плоскостью γ.

Для этого необходимо:

а) пересечь обе плоскости вспомогательной, например, горизонтальнопроецирующей плоскостью σ и найти линии пересечения этой плоскости с каждой из заданных плоскостей α и γ;

б) найти точку пересечения – точку К построенных линий пересечения. Эта точка будет принадлежать искомой линии пересечения плоскостей α и γ;

в) провести через точки К и B прямую l, которая является искомой линией пересечения плоскостей α и γ;

- Определяем видимость построенных плоскостей.

Построение:

Через точку B проводим плоскость γ, перпендикулярную к стороне в, задавая ее пересечением горизонтали и фронтали:

γ B ; γ (h ∩ f) .

На чертеже направляем горизонтальную проекцию горизонтали перпендикулярно горизонтальной проекции стороны в, а фронтальную проекцию фронтали направляем перпендикулярно фронтальной проекции стороны в.

γ в (h1 в1) (f2 в2) .

Построенная плоскость будет перпендикулярна заданной плоскости α как плоскость, перпендикулярная прямой в, лежащей в этой плоскости.

γ α (γ в) (в α ).

Строим линию пересечения плоскостей α и γ. Для этого пересекаем обе плоскости вспомогательной плоскостью, например, горизонтально-проецирующей плоскостью σ. На чертеже она задается своим горизонтальным следом σπ1. Вспомогательная секущая плоскость берется произвольно, но для получения четкого чертежа её проводят подальше от точки B.

Строим линии пересечения вспомогательной плоскости с каждой из заданных плоскостей α и γ.

Отмечаем точки 11 и 21 пересечения горизонтального следа σπ1 со сторонами с1 и a1 и по линиям связи находим их фронтальные проекции 12 и 22. Отрезок [12] определяет линию пересечения плоскостей σ и α.

σ ∩ α = [12].

Аналогично определяем линию пересечения плоскостей σ и γ – отрезок [34].

σ ∩ γ = [34].

Пересечение отрезков [12] и [34] дает точку К, принадлежащую линии пересечения плоскостей α и γ:

[12] ∩ [34] = К; К l.

На чертеже сначала находим фронтальную проекцию точки К, а затем по линии связи определяем положение её горизонтальной проекции, точку К1.

Линия пересечения l плоскостей определяется двумя точками К и B:

К U B = l ; l = α ∩ γ.

9

Ограничим горизонталь и фронталь плоскости γ точками E и F, получим треугольник FBE. Определим видимость сторон треугольника ABC и FBE, используя метод конкурирующих точек.

Конкурирующими точками называются точки, лежащие на одной проецирующей прямой и конкурирующие между собой по высоте или глубине.

Из двух конкурирующих точек по высоте на плоскости π1 считается видимой та точка, высота которой больше. На чертеже её фронтальная проекция будет расположена дальше от оси х.

Из двух конкурирующих точек по глубине на плоскости π2 считается видимой та точка, глубина которой больше. На чертеже ее горизонтальная проекция будет расположена дальше от оси х.

Для определения видимости сторон треугольника на плоскости π1 рассмотрим положение конкурирующих по высоте точек 5 и 6, расположенных на скрещивающихся прямых – отрезках [AС] и [FE] . Точка 6, принадлежащая отрезку [AС], на плоскости π1 будет видима, так как она расположена выше точки 5, принадлежащей отрезку [FE] .

На чертеже ее фронтальная проекция 62 расположена дальше от оси х, чем фронтальная проекция точки 5 – точка 52, то есть

Z(·)6 > Z(·)5.

Следовательно, на плоскости π1 отрезок [A1С1] – видим, а участок отрезка [F1E1] от точки 51 до линии пересечения плоскостей – невидим.

Для определения видимости сторон треугольника на плоскости π2 рассмотрим положение конкурирующих по глубине точек 7 и 8, расположенных на скрещивающихся прямых – отрезках [FB] и [AС].

Точка 8, принадлежащая отрезку [AС], на плоскости π2 будет видимой, т. к. она расположена глубже точки 7, принадлежащей отрезку [FB]. На чертеже её горизонтальная проекция 81 расположена дальше от оси х, чем точка 71, то есть

Y(·)8 > Y(·)7 .

Следовательно, на плоскости π2 часть отрезка [B2F2] от точки B2 до стороны треугольника [А2С2] невидима, а участок [72F2] – видим.

Видимость остальных сторон треугольников как на плоскости π1, так и на плоскости π2 определить не составляет труда, имея в виду, что линия пересечения плоскостей является границей видимости.

10