Минимизация частично определенных функций алгебры логики
Частично (не полностью) определенными называются функции, значения которых заданы лишь для части полного множества возможных наборов их аргументов.
Такие функции достаточно часто встречаются в задачах синтеза комбинационных и последовательностных устройств, где их происхождение обусловлено тем, что некоторые сочетания входных двоичных переменных не имеют места (например, вследствие наличия избыточных кодовых групп при двоичном кодировании входных величин). Наборы аргументов, при которых функция не определена, называют избыточными или запрещенными.
При минимизации частично определенных функций производят их доопределение, которое состоит в произвольном задании значений функции, соответствующих избыточным набором. Указанные значения можно выбирать равными 0 или 1. Доопределения выполняют таким образом, чтобы результирующая минимальная ДНФ функции была наиболее простой (при этом учитывается возможность выполнения дополнительных склеиваний при доопределении функции единицами).
В качестве примера рассмотрим минимизацию формы функции, заданной табл. 2. Значения функции, соответствующие первому и трем последним наборам аргументов, не определены (что отмечено крестиками в колонке y). На карте Карно рассматриваемой функции (рис. 4) ячейки для избыточных наборов также отмечены крестиками. Доопределение функции единицами для трех последних наборов аргументов позволяет представить ее минимальную ДНФ в виде:
y = x1+x2x3
Легко убедиться, что всякое иное доопределение приводит к ДНФ, содержащее большее число вхождений аргументов (букв).
Таблица 2:
|
|
X1 |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
X |
1 |
|
|
X3 |
|
|
1 |
X |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
|
|
| |
|
Рисунок 4 | ||||||
Логическое проектирование комбинационных устройств
Основные разновидности задач, встречающихся при логическом проектировании комбинационных автоматов, сводятся к следующим:
1) проектирование автоматов с одним выходом;
2) проектирование автоматов с несколькими выходами;
3) проектирование автоматов, свободных от состязаний.
В лабораторной работе будет рассматриваться только первая задача.
Типовой порядок логического проектирования комбинационных устройств с одним выходом включает следующие этапы:
1) кодирование входных и выходных переменных и переход от словесного задания оператора к табличному;
2) переход от табличной формы оператора к аналитической в виде СДНФ;
3) упрощение СДНФ оператора и получение его минимальной ДНФ;
4) переход от минимальной ДНФ к минимальной форме в базисе ФПС [Набор двоичных функций, который обеспечивает представление любой другой функции посредством суперпозиции функций этого набора, принято называть функционально полной системой (ФПС)] , реализуемого логическими элементами;
5) составление структурной схемы автомата в соответствии с результирующей минимальной аналитической формой оператора. Абстрактный синтез устройства исчерпывается первым этапом; четыре последующих этапа относятся к структурному синтезу.
ПРИМЕР
Рассмотрим задачу синтеза автомата, заданного следующим содержательным описанием.
Имеются три датчика, выходные сигналы которых являются двоичными. Используя элементы Шеффера (И-НЕ) необходимо реализовать функцию, принимающую единичное значение, когда единичные значения принимают по меньшей мере два из трех сигналов. Такой ЦА называют мажоритарным элементом или элементом голосования 2 из 3-х.
Число входных переменных автомата, очевидно, равно трем ( x1,x2,x3 ); выходная переменная - одна ( Y ). Значения Y =1 соответствуют наборам x1, x2, x3, в которых две или три переменных равны 1; при остальных наборах Y=0. Таблица истинности автомата является полной (табл. 3). Соответствующая ей СДНФ оператора имеет вид:
y = x̅1 x2 x3+ x1 x̅2 x3+ x1 x2 x̅3 + x1 x2 x3 (2)
Таблица Карно оператора (рис. 5) свидетельствует о возможности попарного склеивания минтермов в (2).
Сокращенная ДНФ не содержит избыточных импликант и является, следовательно, минимальной
y = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 (3)
Двукратное инвертирование (3) приводит к минимальной форме в базисе функций Шеффера.
Таблица 3
|
|
X1 |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
X3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
|
|
| |
Рисунок 5
Рисунок 6
Функциональная схема автомата, соответствующая (4), представлена на рис. 6.
Она включает один трехвходовой и три двухвходовых элемента И-НЕ.