Минимизация функций алгебры логики

Упрощение формул двоичных функций преследует цель получения такого вида формулы, при которой построенный в соответствии с ней автомат отличался бы минимальным расходом логических схем на его изготовление.

В настоящее время наиболее детально разработаны методы решения канони­ческой задачи минимизации формул, которая заключается в отыскании дизъюнктивной формы функции, содержащей минимальное число вхождений аргументов (минимальное число букв). Такие формы функций принято на­зывать оптимальными или минимальными дизъюнктивными нормальными фор­мами.

Исходной формой функции при решении канонической задачи минимизации является ее совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ). Под СДНФ принято понимать формы представления функций посред­ством суперпозиции их минтермов.

Минтермом называют функцию, которая принимает единичное значе­ние при одном из всех возможных наборов аргументов (нулевое - при всех прочих наборах). Понятие минтерм образовано из двух слов "минимальный термин" и говорит о том, что элементарное произведение всегда прини­мает минимальное значение ("0"), если один из терминов (сомножителей) принимает минимальное значение ("0").

Таблица 1:

Номер набора аргументов	Наборы аргументов		Значения минермов С1i
	Х1	Х2	C10	C11	C12	C13
0	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	1	0	0
2	1	0	0	0	1	0
3	1	1	0	0	0	1

В таблице 1 представлены минтермы двух аргументов Х₁ и Х₂ . Минтермы двух аргументов выражаются формулами:

C₀¹ =x̅₁x̅₂ ; C₁¹ = x̅₁x₂ ; С¹₂ = x₁x̅₂ ; C¹₃ = x₁x₂ ,

где С ¹_i - символ конституенты, i -номер набора аргументов.

Если функция задана в другой форме, то последнюю преобразуют в СДНФ на основе аксиом и законов булевой алгебры.

Существует большое число приемов и методов минимизации ФАЛ:

1) расчетный метод (метод непосредственных преобразований),

2) расчетно-табличный метод (метод Квайна-Мак-Класки),

3) табличный метод (метод диаграмм Вейча, карт Карно),

4) метод Петрика (развитие метода Квайна-Мак-Класки),

5) метод неопределенных коэффициентов,

6) метод Рота (алгоритм извлечения),

7) метод гиперкубов,

8) метод функциональной декомпозиции и т.д.

В лабораторной работе мы рассмотрим метод минимизации формул, преложенный Вейчем и усовершенствованный Карно.

Карты Карно представляют собой прямоугольные таблицы, разделен­ные горизонтальными и вертикальными линиями на ячейки (клетки). Об­щее число ячеек совпадает с числом минтермов рассматриваемого числа аргументов (рис. 2). Каждая ячейка соответствует значению одного минтерма. Причем размещение последних осуществляется таким образом, что два смежных минтерма находились в соседних ячейках. Смежными принято называть минтермы, отличающиеся формой вложения в них лишь одного аргумента (в один минтерм аргумент входит в прямой форме, в другой - в инверсной). Например, смежными являются минтермы x₁x₂x̅₃x₄ и x̅₁x₂x̅₃x₄ (различие в аргументе x₁). Соседними считаются ячейки, имеющие общие стороны, а также расположенные на краях одних и тех же строк и столбцов карты.

Такой порядок размещения минтермов обеспечивается следующим образом. Все аргументы (для определенности рассматривается случай Р = 4) разбиваются на две группы, например x₁x₄ и x₂x₃. Пусть на6ором аргументов одной группы (x₁x₄) соответствуют различные строки таблицы; наборам другой (x₂x₃) - различные столбцы. На­боры аргументов каждой из групп, стоящие в соседних строках и столбцах, должны быть смежными (см. рис. 2а). Для определенности крайний правый столбец и нижнюю строку обозначают наборами с нулевым значе­нием всех аргументов. Порядок чередования значений аргументов при переходе от одной строки (или столбца) к другой оказывается при этом одинаковым, он соответствует перестановке цифр в циклическом коде двоичных чисел, а именно: 00,01,11,10. Набор аргументов, соответству­ющий определенной ячейке таблицы, составляют из наборов групп x₁x₄ и x₂x₃, обозначающих строку или столбец, на пере­сечении которых лежит рассматриваемая ячейка (см. рис. 2а), где в каждую ячейку внесены обозначения наборов и соответствующих им минтермов.

y	1 0 (X3 X̅3)	1 1 (X2X3)	0 1 (X̅2X3)	0 0 (X̅2X̅3)
1 0 (X1 X̅4)	С112 X1X2X̅3X̅4	С114 X1X2X3X̅4	С110 X1X̅2X3X̅4	С18 X1X̅2X̅3X̅4
1 1 (X1X4)	С113 X1X2X̅3X4	С115 X1X2X3X4	С111 X1X̅2X3X4	С119 X1X̅2X̅3X4
0 1 (X̅1X4)	С15 X̅1X2X̅3X4	С17 X̅1X2X3X4	С13 X̅1X̅2X3X4	С11 X̅1X̅2X̅3X4
0 0 (X̅1X̅4)	С14 X̅1X2X̅3X̅4	С16 X̅1X2X3X̅4	С12 X̅1X̅2X3X̅4	С10 X̅1X̅2X̅3X̅4

Рис. 2а

		X2									X2
X1		1		1	1				X1		12	14	10	8
			1	1			X4				13	15	11	9		X4
			1	1							5	7	3	1
		1		1	1						4	6	2	0
			X3									X3
Рис 2б										Рис. 2в

Если столбцы и строки с прямой формой вхождения аргументов в соответствующие им минтермы выделить жирной линией, как показано на рис. 2б, и возле этих линий привести символы аргументов, то расположение минтермов в пределах таблица сохранится таким же, как на рис. 2а).

Для того, чтобы быстро определить какому минтерму соответствует каждая клетка карты Карно, внутри каждой клетки записывают десятич­ное число, соответствующее номеру набора из "n" переменных. По­лучившиеся таблицы называют эталонными картами Карно, (см. рис. 2в). Они служат для быстрого заполнения рабочих карт Карно, получаемых на первом шаге упрощения функции.

Первый шаг упрощения функции табличным методом состоит в записи значений минтермов в соответствующие ячейки карты. Ячейки, которым соответствуют единичные значения минтермов (C ¹_i = 1) заполняются единицами; нулевое значение минтермов не обозначают (см. рис. 2б). В заполненной карте наглядно отражаются смежные минтермы: им соответствуют единицы, расположенные в соседних ячейках.

Склеивание смежных минтермов, установление простых и избыточ­ных импликант [Конъюнкции, получаемые в результате склеивания двух смежных минтермов называются импликантами. Импликанты, которые не склеиваются с другими, называются простыми (или первичными)], поиск тупиковых и минимальных форм производится при табличном методе минимизации путем последовательных проб на основе анализа распре­деления единичных значений минтермов по ячейкам таблицы. Склеиваемые минтермы охватывают незамкнутыми контурами, если минтермы находятся в крайних ячейках. Склеиванию по двум аргументам соответствуют контуры, охватывающие четыре соседних ячейки (образуют квадрат или прямоугольник, расположенные в строку, столбец, по углам таблицы (см. рис. 2б). Тупиковой ДНФ соответствуют склеивания, в которых каждый минтерм не содержит лишних покрытий; минимальной ДНФ - склеивание с наиболее рациональным расположением покрытий.

Считывание упрощенных форм с карты Карно состоит в определении импликант, получившихся в результате склеивания. В каждую из таких импликант входят аргументы, по которым склеивание не производилось. Так, упрощенная форма функции, карта Карно которой представлена на рис. 2б (эта форма является минимальной), имеет вид:

y=x₃x₄+x̅₂x₃+x̅₃x̅₄

Для конкретной функции трех аргументов, карты Карно которой представлены на рис. 3, перебор возможных склеиваний минтермов свидетельствует о возможности получения шести простых импликант. Из них можно составить пять тупиковых форм. Покрытия минтермов, иллюст­рируемые рис. 3 а-в, приводят к тупиковым формам, содержащим по четыре импликанты:

y = x₁x̅₂+x₁x̅₃+x̅₁x₂+x̅₁x₃

y = x̅₂x₃+x₁x̅₂+x₂x̅₃+x̅₁x₂

y = x̅₂x₃+x₂x̅₃+x₂x̅₃+x̅₁x₃

	X1							X1							X1
А)	1		1	1		X3	Б)	1		1	1		X3	В)	1		1	1		X3
	1	1	1					1	1	1					1	1	1
		X2							X2							X2
	X1							X1
Г)	1		1	1		X3	Д)	1		1	1		X3
	1	1	1					1	1	1
		X2							X2

Рисунок 3

Два других покрытия ( рис. 3 г, д ) дают формы, содержащие по три импликанты:

y = x₁x̅₂+ x₂x̅₃+ x̅₁x₃ (1)

y = x̅₂x₃+x₁x̅̅₃+ x̅₁x₂

Тупиковые формы (1) являются минимальными ДНФ рассматриваемой кон­кретной функции.