Специальные классы фал

В заключение определим некоторые специальные классы булевых функций, которые заслуживают отдельного рассмотрения: симметричные, однородные, мажоритарные и пороговые. На основе таких функций создаются специальные методы синтеза комбинационных схем.

Функция называется симметричной относительно пары переменных если эта функция не изменяется при перемене местами переменных

Функция называется полностью симметричной, если она симметрична относительно всех пар переменных Такие функции часто называют просто симметричными, а функции, которые симметричны относительно только некоторых, а не всех пар переменных - частично симметричными функциями.

Симметричные функции просто реализуются на основе устройств с двухсторонней проводимостью, таких как механические контакты и двунаправленные КМОП ключи.

Важным свойством ФАЛ является однородность. ФАЛ называется положительной относительно переменной если для всех 2^n-1 возможных комбинаций значений оставшихся n - 1 переменных

Существует такая нормальная форма выражения для ФАЛ, в которой не появляется с отрицанием. ФАЛ называют положительной или монотонной, если она положительна относительно всех переменных.

Аналогично ФАЛ отрицательна относительно переменной , если выполняется соотношение . Существует такая нормальная форма выражения для ФАЛ, в которой не появляется без отрицания. ФАЛ называется отрицательной, если она отрицательна относительно всех переменных.

ФАЛ, которая на некоторых переменных является положительной, а на других отрицательной, называется однородной.

ФАЛ является однородной, так как она положительна по переменным и отрицательна по переменной , а ФАЛ не является однородной, так как переменная присутствует без инверсии и с инверсией. Однородную ФАЛ иногда называют смешанной монотонной.

Если число переменных ‘n’ нечетно и ФАЛ принимает значение 1, если (n+1)/2 или более (то есть более половины) переменных принимает значение 1, и 0 в противном случае, то такая ФАЛ называется мажоритарной функцией. Наиболее широко используется мажоритарная функция, называемая схемой голосования 2 из 3, в качестве восстанавливающего органа в схемах с многократным резервированием.

Обобщением мажоритарной функции является пороговая функция.

ФАЛ называется пороговой, если существует множество действительных чисел , называемых весами переменных и действительное число Т, называемое порогом функции, такие, что

где принимает только значения 0 и 1, которые арифметически умножаются на веса , а являются арифметическими суммами. Мажоритарные и пороговые функции являются подклассами однородных функций. Пороговые функции были впервые введены для моделирования функций нервных клеток (нейронов), но в дальнейшем изучались в теории схем из функциональных элементов, в теории распознавания образов, для повышения надежности избыточных переключательных схем и других областях.

Специальные классы функций и их свойства, представляющие интерес, изменяются с возникновением новых реальных задач и с изменением схемотехники и технологии цифровых элементов [2 – 8].