Алгебра и Геометрия / GeomAlgebra

1055. Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариантные одновременно относительно двух линейных операторов, заданных матрицами

1057. Доказать, что если для операторов ', Ã конечномерного векторного пространства V над полем C выполняются равенства '2 = Ã2 = ", òî â V существует одномерное или двумерное подпространство, инвариантное относительно ' è Ã.

1058. Доказать, что комплексное векторное пространство, содержащее только одну прямую, инвариантную относительно линейного оператора ', неразложимо в прямую

сумму ненулевых подпространств, инвариантных относительно '.

ГЛАВА 12.

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

42. Скалярное произведение

1059. Пусть x = (x1; x2), y = (y1; y2). Доказать, что каждое из перечисленных ниже правил задает на R2

à) (x; y) = x1y1 + x2y2, á) (x; y) = 2x1y1 + 5x2y2,

â) (x; y) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2.

Вычислить скалярное произведение векторов x = (1; 1), y = (¡3; 2) в каждом случае. 1060. Доказать, что в евклидовом пространстве jxj = jyj тогда и только тогда, когда

векторы x ¡ y è x + y ортогональны.

1061. В пространстве Mn(R) со скалярным произведением (X; Y ) = tr XY T найти

ортогональное дополнение к подпространству: а) матриц с нулевым следом; б) симметрических матриц; в) кососимметрических матриц; г) верхнетреугольных матриц.

Дополнить до ортогонального базиса систему векторов евклидова пространства:

1062. (1; ¡2; 2; ¡3), (2; ¡3; 2; 4). 1063. (1; 1; 1; 2), (1; 2; 3; ¡3).

1066. Найти ортогональную проекцию вектора x евклидова пространства на линейную оболочку ортонормированной системы векторов e1; : : : ; ek.

51

1067. Доказать, что в любых двух подпространствах евклидова пространства можно выбрать ортонормированные базисы e1; : : : ; ek è f1; : : : ; fl таким образом, чтобы

(ei; fj) = 0 ïðè i 6= j è (ei; fj) > 0

1068. Пусть e1; : : : ; ek è f1; : : : ; fl ортонормированные базисы подпространств L è

M евклидова пространства, A = ((ei; fj)) матрица порядка k £ l. Доказать, что все характеристические числа матрицы AT ¢ A принадлежит отрезку [0; 1] и не зависят от

выбора базисов в подпространствах L è M.

1069. Доказать, что сумма квадратов длин проекций векторов любого ортонормированного базиса евклидова пространства на k-мерное подпространство равна k.

43. Процесс ортогонализации

С помощью процесса ортогонализации построить ортогональный базис линейной оболочки системы векторов евклидова пространства:

1070. (1; 2; 2; ¡1), (1; 1; ¡5; 3), (3; 2; 8; ¡7). 1071. (1; 1; ¡1; ¡2), (5; 8; ¡2; ¡3), (3; 9; 3; 8).

1072. (2; 1; 3; ¡1), (7; 4; 3; ¡3), (1; 1; ¡6; 0), (5; 7; 7; 8).

1073. Пусть L подпространство евклидова пространства V , L? ортогональное дополнение к L. Доказать следующие свойства ортогонального дополнения:

à) V = L © L?; á) (L?)? = L; â) (L1 + L2)? = L?1 \ L?2 ;

ã) (L1 \ L2)? = L?1 + L?2 ; ä) V ? = 0, 0? = V .

Найти базис ортогонального дополнения линейной оболочки системы векторов евклидова пространства:

1074. (1; 0; 2; 1), (2; 1; 2; 3), (0; 1; ¡2; 1).

1075. (1; 1; 1; 1), (¡1; 1; ¡1; 1), (2; 0; 2; 0).

1076. Доказать, что системы линейных уравнений, задающих линейное подпростран- ñòâî â Rn и его ортогональное дополнение, связаны следующим образом: коэффициенты

линейно независимой системы, задающей одно из этих подпространств, являются координатами векторов базиса другого подпространства.

Найти проекцию вектора x на подпространство L = ha1; : : : ; ani, и ортогональную составляющую вектора x:

1079. a1 = (1; 1; 1; 1), a2 = (1; 2; 2; ¡1), a3 = (1; 0; 0; 3); x = (4; ¡1; ¡3; 4). 1080. a1 = (2; 1; 1; ¡1), a2 = (1; 1; 3; 0), a3 = (1; 2; 8; 1); x = (5; 2; ¡2; 2).

1081. Найти проекцию вектора x на подпространство L и ортогональную составляющую вектора x, åñëè x = (7; ¡4; ¡1; 2) è L задано системой уравнений

2x1 + x2 + x3 + 3x4= 0; 3x1 + 2x2 + 2x3 + x4= 0; x1 + 2x2 + 2x3 ¡ 4x4= 0:

52

44. Геометрия евклидовых пространств

Найти расстояние от вектора x до подпространства, заданного системой уравнений:

1086. (Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.) Пусть e1; : : : ; ek ортонорми- рованная система векторов n-мерного евклидова пространства V . Доказать, что для

любого вектора x выполняется неравенство

Xk

j(x; ei)j2 6 jxj2;

i=1

причем равенство достигается для любого x тогда и только тогда, когда k = n, то есть данная система векторов является ортонормированным базисом пространства V

(равенство Парсеваля).

1087. Доказать, что определитель Грама любой системы векторов в процессе ортогонализации не меняется.

1088. Доказать, что определитель Грама системы векторов равен нулю тогда и только тогда, когда система линейно зависима, и положителен, если она линейно независима.

1089. Доказать, что определитель Грама системы векторов не превосходит произведения квадратов длин векторов системы, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы попарно ортогональны или один из них нулевой.

1090. С помощью скалярного произведения векторов доказать, что а) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон;

б) квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

1091. (n-мерная теорема Пифагора). Доказать, что квадрат диагонали n-мерного

прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из одной вершины.

1092. Найти число диагоналей n-мерного куба, ортогональных данной диагонали. 1093. Найти длину диагонали n-мерного куба с ребром a и углы между диагоналями

куба и его ребрами.

1094. Найти радиус шара R, описанного около n-мерного куба с ребром a, и решить неравенство R < a.

1095. Доказать, что длина ортогональной проекции ребра n-мерного куба на любую его диагональ равна 1=n длины диагонали.

Вычислить объем n-мерного параллелепипеда со сторонами:

1096. (1; ¡1; 1; ¡1), (1; 1; 1; 1), (1; 0; ¡1; 0), (0; 1; 0; ¡1). 1097. (1; 1; 1; 1), (1; ¡1; ¡1; 1), (2; 1; 1; 3), (0; 1; ¡1; 0).

1098. (1; 1; 1; 2; 1), (1; 0; 0; 1; ¡2), (2; 1; ¡1; 0; 2), (0; 7; 3; ¡4; ¡2), (39; ¡37; 51; ¡29; 5).

1099. Доказать, что для объема параллелепипеда выполняется неравенство

V (a1; : : : ; ak; b1; : : : ; bl) 6 V (a1; : : : ; ak) ¢ V (b1; : : : ; bl);

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда (ai; bj) = 0 ïðè âñåõ i è j.

53

Найти угол между вектором x и подпространством L = ha1; : : : ; ani:

1103. Доказать, что если каждые два различных из k векторов евклидова простран-

1104. Доказать, что если каждые два различных из k векторов евклидова пространства образуют тупой угол, то k 6 1 + dim V .

1105. Найти угол между диагональю n-мерного куба и его k-мерной гранью.

1106. Найти угол между двумя подпространствами L1 = h(1; 0; 0; 0); (0; 1; 0; 0)i è

L2 = h(1; 1; 1; 1); (1; ¡1; 1; ¡1)i.

45. Линейные функции

1107. Доказать, что для каждого базиса сопряженного пространства V единственный базис пространства V , для которого данный базис является сопряжен-

íûì.

1108. Доказать, что для любой ненулевой линейной функции f íà n-мерном пространстве V существует базис e1; : : : ; en пространства V , такой, что

f(x1e1 + : : : + xnen) = x1

для любых коэффициентов x1; : : : ; xn.

1109. Доказать, что всякое k-мерное подпространство n-мерного пространства является пересечением ядер некоторых n ¡ k линейных функций.

1110. Пусть f ненулевая линейная функция на векторном пространстве V (не обязательно конечномерном), U = Ker f. Доказать, что

à) U максимальное подпространство V , то есть не содержится ни в каком другом подпространстве, отличном от V ;

á) V = U © hai для любого a 2= U.

1111. Доказать, что если две линейные функции на векторном пространстве имеют одинаковые ядра, то они различаются скалярным множителем.

1112. Доказать, что n линейных функций на n-мерном пространстве линейно неза-

висимы тогда и только тогда, когда пересечение их ядер есть нулевое подпространство. 1113. Доказать, что векторы e1; : : : ; ek конечномерного пространства V линейно неза-

висимы тогда и только тогда, когда существуют линейные функции f1; : : : ; fk 2 V ¤ такие, что det(fi(ej)) 6= 0.

1114. Пусть l1, l2 линейные функции на векторном пространстве V . Доказать, что для всех x 2 V , то одна из функций нулевая.

е) если оператор ' невырожден, то ('¡1)¤ = ('¤)¡1.

54

базисе.

1117. Найти оператор, сопряженный к проектированию координатной плоскости на ось абсцисс параллельно биссектрисе первой и третьей четвертей.

1118. Пусть ' проектирование евклидова пространства V на подпространство V1 параллельно подпространству V2. Доказать, что

à) V = V1? © V2?;

á) '¤ проектирование пространства V íà V2? параллельно V1?.

1119. Доказать, что если подпространство евклидова пространства инвариантно относительно линейного оператора ', то его ортогональное дополнение инвариантно от-

носительно оператора '¤.

1120. Доказать, что ядро и образ сопряженного оператора '¤ являются ортогональ- ными дополнениями соответственно к образу и ядру оператора '.

1121. Доказать, что если x собственный вектор операторов ' è '¤ в евклидовом пространстве с собственными значениями ¸ è ¹, òî ¹ = ¸.

47. Симметрический оператор

1122. Доказать, что собственные векторы симметрического оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

1123. Доказать, что если ' è Ã симметрические операторы в евклидовом пространстве V è ('x; x) = (Ãx; x) äëÿ âñåõ x 2 V , òî ' = Ã.

1124. Доказать, что произведение двух симметрических операторов в евклидовом пространстве является симметрическим оператором тогда и только тогда, когда эти операторы перестановочны.

1125. Доказать, что проектирование евклидова пространства L1©L2 на подпростран- ñòâî L1 параллельно L2 является симметрическим оператором тогда и только тогда, когда L1 è L2 ортогональны.

вочны тогда и только тогда, когда они имеют общий ортонормированный собственный базис.

55

1134. Симметрический оператор ' евклидова пространства V называется неотрицательным (положительным), если ('x; x) > 0 (('x; x) > 0) äëÿ âñåõ x 2 V .

Доказать, что симметрический оператор в евклидовом пространстве а) неотрицателен тогда и только тогда, когда все его собственные значения неотри-

цательны; б) положителен тогда и только тогда, когда все его собственные значения положи-

тельны.

1135. Доказать, что если ' оператор в евклидовом пространстве, то '¤' неотри-

цательный симметрический оператор и положителен тогда и только тогда, когда оператор ' обратим.

1136. Доказать, что если два неотрицательных симметрических оператора в евклидовом пространстве перестановочны, то их произведение неотрицательный симметрический оператор.

1137. Доказать, что собственные значения произведения двух неотрицательных симметрических операторов в евклидовом пространстве, один из которых обратим, являются вещественными и неотрицательными.

48. Ортогональный оператор

1138. Доказать: если оператор в евклидовом пространстве сохраняет длины векторов, то он ортогонален.

1139. Доказать, что если векторы x è y евклидова пространства имеют одинаковую длину, то существует ортогональный оператор, переводящий x â y.

1140. Пусть x1; : : : ; xk è y1; : : : ; yk две системы векторов евклидова пространства. Доказать, что ортогональный оператор, переводящий xi â yi, i = 1; : : : ; k, существует тогда и только тогда, когда (xi; xj) = (yi; yj) ïðè âñåõ i è j îò 1 äî k.

1141. а) Пусть w ненулевой вектор евклидова пространства. Для любого вектора x положим Uw(x) = x¡2((w;x; ww))w. Доказать, что Uw(w) = ¡w è Uw(y) = y, åñëè y 2 hwi?.

б) Пусть x, y ненулевые векторы евклидова пространства, причем y 2= hxi. Äîêà-

jxj

зать, что найдется такой вектор w, ÷òî Uw(x) = jyjy.

56

ГЛАВА 13.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

49. Окружность

1154. Составить уравнение окружности с центром в точке (a; 0) (a > 0), касающейся оси Oy.

1155. Составить уравнение окружности радиуса r, касающейся осей координат.

Найти координаты центра и радиус следующих окружностей:

1156. x2 + y2 + x = 0. 1157. x2 + y2 + 3y = 0. 1158. x2 + y2 + 2x ¡ 4y = 0.

1159. 3x2 + 3y2 ¡ 6x + 4y ¡ 1 = 0.

Охарактеризовать геометрически множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условиям:

1160. (x ¡ 3)2 + (y ¡ 3)2 < 8, x > y. 1161. x2 + y2 + x + y > 0, y > 2x. 1162. x2 + y2 ¡ 2x < 0, jyj < 1=4.

1163. Составить уравнение окружности, проходящей через три не лежащие на одной прямой точки (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3).

1164. Составить уравнение окружности, проходящей через точки M1 = (x1; y1) è

M2 = (x2; y2) и через начало координат при условии, что прямая M1M2

через начало координат.

1165. Составить уравнение окружности, проходящей через точки (1; 1), (0; 2) и касающейся окружности (x ¡ 5)2 + (y ¡ 5)2 = 16.

1166. Составить уравнение окружности, касающейся оси Ox в начале координат и касающейся окружности (x ¡ 6)2 + (y ¡ 13)2 = 25.

1167. Составить уравнение окружности, проходящей через точки (x1; y1), (x2; y2), зная, что ее центр лежит на прямой Ax + By + C = 0.

1168. Составить уравнение касательной к окружности (x ¡a)2 + (y ¡b)2 = r2 в точке (x0; y0), лежащей на этой окружности.

1169. Составить уравнения касательных к окружности (x ¡ a)2 + (y ¡ b)2 = r2, параллельных прямой Ax + By + C = 0.

57

1170. Составить уравнение окружности, центр которой лежит на прямой x+2y+2 = 0 и которая пересекает ортогонально каждую из двух окружностей x2 + y2 ¡ 6x = 0,

x2 + y2 + 8x = 0.

1171. Составить уравнение окружности, пересекающей ортогонально три окружно-

ñòè: x2 + y2 + x + 2y = 0, x2 + y2 + 2x + 2y + 3 = 0, x2 + y2 + 3x + y ¡ 1 = 0.

1172. Составить уравнение окружности, проходящей через точку (1; ¡2) и точки пересечения прямой x ¡ 7y + 10 = 0 с окружностью x2 + y2 ¡ 2x + 4y ¡ 20 = 0.

50. Преобразование координат на плоскости

AD, AB; началом второй системы является вершина C, а базисом CB, CD.

1174. Даны две системы координат: Oxy è O0x0y0. Относительно первой системы начало второй системы находится в точке O0 = (¡4; 2), îñü O0x0 пересекает ось Ox â

точке A = (2; 0), à îñü O0y0 пересекает ось Oy в точке B = (0; 8). Принимая за базисные

¡¡! ¡¡!

векторы второй системы векторы O0A è O0B, выразить координаты произвольной точки относительно первой системы через ее координаты во второй системе.

1175. Даны две системы координат: Oxy è O0x0y0. Координаты x è y произвольной

точки относительно первой системы координат выражаются через ее координаты x0 è y0 относительно второй системы следующими формулами: x = 2x0¡5y0+3, y = ¡x0+2y0¡2.

Найти координаты начала второй системы и единичных векторов ее осей относительно первой системы.

1176. Дан параллелограмм OACB. Рассмотрим две системы координат, принимая

середины сторон AC è BC). Найти координаты вершин параллелограмма во второй

системе.

1177. В треугольнике OAB проведены медианы AD è BE, пересекающиеся в точке

1178. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC; O точка пересечения ее боковых сторон, O0 точка пересечения диагоналей. Выразить коорди-

1179. Написать формулы преобразования координат, принимая за новые оси O0x0 è O0y0 прямые 2x + y ¡ 4 = 0 è x ¡ y + 2 = 0, а за единичную точку точку (3; 7).

1180. Написать уравнение прямой x ¡ y ¡ 5 = 0 в системе координат, осями которой служат прямые 2x ¡ y + 7 = 0 (îñü O0y0), x + y ¡ 4 = 0 (îñü O0x0), а единичной точкойточка (0; 0).

1181. Написать формулы преобразования0 прямоугольных координат, если начало новой системы находится в точке O = (¡4; 2), угол от положительного направления

îñè Ox до положительного направления оси O0x0 равен 120o и обе системы одинаково ориентированы.

58

1182. В системе Oxy дана точка (6; ¡2); найти ее координаты в системе O0x0y0, ïîëó- чающейся из системы Oxy переносом начала в точку O0 = (3; ¡4) и поворотом на угол

¡ arccos 12=13.

1183. Даны две прямоугольные системы координат Oxy è O0x0y0. Начало второй

точка пересечения осей Oy è O0y0. Выразить координаты произвольной точки относи-

тельно первой системы через ее координаты во второй системе.

1184. За начало первой прямоугольной системы координат Oxy принимается вер-

øèíà O прямоугольного треугольника AOB, а за положительное направление осей Ox

¡! ¡¡!

è Oy направления катетов OA è OB, причем jOAj = 3, jOBj = 1. За начало второй

тельное направление оси O0y0 выбирается так, чтобы обе системы имели одинаковую

ориентацию. Выразить координаты произвольной точки относительно первой системы через ее координаты во второй системе.

1185. Относительно прямоугольной системы координат Oxy даны две взаимно пер-

пендикулярные прямые: a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0.

Принимая эти прямые соответственно за оси O0y0 è O0x0, а за положительные направ-

ления осей O0x0 è O0y0 векторы (a1; b1) è (a2; b2), найти выражения новых координат x0, y0 произвольной точки M через ее старые координаты x è y.

51. Эллипс, гипербола, парабола

1186. Составить уравнение линии второго порядка, оси которой совпадают с осями координат, зная, что она проходит через точки (2; 2), (3; 1).

1187. Написать уравнение эллипса, описанного около равностороннего треугольника, две вершины которого находятся в точках (a; 0) è (¡a; 0) и совпадают с вершинами

эллипса, принадлежащими одной оси.

1188. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1; 2), асимптотами которой служат прямые y = 1=2x, y = ¡1=2x.

1189. Доказать, что длина отрезка, соединяющего центр эллипса с произвольной его точкой, заключена между длинами полуосей этого эллипса.

2 1190. Найти длину стороны равностороннего треугольника, вписанного в параболу y = 2px так, чтобы одна из вершин треугольника совпадает с вершиной параболы.

1191. Написать уравнение эллипса, пересекающего ось Ox в точках (1; 0) è (9; 0) è

касающегося оси Oy в точке (0; 3), зная, что его оси параллельны осям координат.

1192. Написать уравнение эллипса, оси которого параллельны осям координат, касающегося осей Ox è Oy соответственно в точках (5; 0) è (0; 3).

1193. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1; 0), асимптотами которой являются прямые x = 0, y = 1.

1194. Написать уравнение равносторонней гиперболы, для которой ось Ox служит асимптотой, а точка (1; 1) вершиной.

1195. Вычислить длины сторон равнобедренного треугольника ABC, вписанного в равностороннюю гиперболу с полуосями, равными a, зная, что вершина A совпадает с вершиной гиперболы и что угол при этой вершине равен 120o.

59

1196. Написать уравнение эллипса с вершинами (0; 6) è (0; ¡2), çíàÿ, ÷òî íà îñè Ox

этот эллипс высекает хорду длины 6.

1197. Написать уравнение линии второго порядка, для которой ось Ox является осью симметрии, ось 0y касательной к вершине, зная что линия проходит через две точки

(2; 3) è (6; ¡3).

52. Эллипс, гипербола, парабола (продолжение)

1198. Доказать, что произведение расстояний любой точки гиперболы до двух асимптот одно и то же для всех точек гиперболы.

1199. Найти наибольший радиус круга, лежащего внутри параболы y2 = 2px è êàñà-

ющегося параболы в ее вершине.

1200. Доказать, что четыре точки пересечения двух парабол, оси которых взаимно перпендикулярны, лежат на одной окружности.

1201. Через фиксированную точку A0 оси параболы проводятся всевозможные хор-

ды. Доказать, что произведение расстояний от концов хорды до оси параболы не зависит от направления хорды.

1202. Написать уравнение параболы, вершина которой находится в точке (2; 6), à

ось параллельна оси Oy, çíàÿ ÷òî íà îñè Ox эта парабола высекает хорду длины 6.

1203. Написать уравнение равносторонней гиперболы, одна из вершин которой находится в точке (2; 2), действительная ось параллельна оси 0y при условии, что на оси

Ox гипербола высекает хорду длины 8.

1204. Написать уравнение эллипса, для которого прямые x+y ¡1 = 0 è x¡y +1 = 0 суть большая и малая оси и длины полуосей которого a = 2, b = 1.

1205. Написать уравнение параболы, осью которой служит прямая x + y + 1 = 0 и которая проходит через точки (0; 0), (0; 1).

1206. Написать уравнение гиперболы, зная ее ось 2x ¡ y + 2 = 0, асимптоту y = 0 è

точку (1; 1).

1207. Написать уравнение гиперболы, зная, что ее асимптоты параллельны осям координат и что гипербола проходит через следующие точки: (0; 0), (2; 1), (1; 2).

53. Фокусы и директрисы кривых второго порядка

Найти фокусы F1, F2 и соответствующие им директрисы линий:

дящих через точку (¡2; 12).

1215. Написать уравнение линии второго порядка, зная ее фокус (2; 0), соответствующую ему директрису x = 8 и эксцентриситет e = 1=2. Найти второй фокус и вторую

директрису линии.

1216. Написать уравнение линии второго порядка, фокус которой находится в точ- ке (2; 0), соответствующая ему директриса имеет уравнение x = 5, зная, что линия

проходит через точку (10; 6) Найти второй фокус и вторую директрису этой линии.

60