Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кемеровский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра и Геометрия / GeomAlgebra

.pdf

Скачиваний:

139

Добавлен:

20.04.2015

Размер:

426.22 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ И АЛГЕБРЕ

Кемерово 2008

Кабенюк М. И. Сборник задач по геометрии и алгебре. Кемерово, 2008 г.

Первое издание этого задачника вышло в 1996 году со следующей аннотацией:

"Задачник составлен в соответствии с программой курса "Геометрия и алгебра" на отделении прикладной математики и предназначен для того, чтобы в какой-то степени ликвидировать дефицит задачников, возникший в последние годы на первом курсе математического факультета.

Составитель брал задачи, в частности, из следующих источ- ников: И. В. Проскуряков "Сборник задач по линейной алгебре" (1984 г.), "Сборник задач по алгебре" под редакцией А. И. Кострикина (1995 г.), П. С. Моденов, А. С. Пархоменко "Сборник задач по аналитической геометрии" (1976 г.)."

Оглавление

	ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ, КОМБИНАТОРИКА,
	БИНОМ НЬЮТОНА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
1.	Принцип математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
2.	Комбинаторика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
3.	Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
	ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
4.	Действия с матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
5.	Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
	ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . . . . . . . . . .	12
6.	Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
7.	Метод Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
8.	Фундаментальная система решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
	ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15

9.Определители второго и третьего порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

10.Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

11.Определение определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

12.Свойства определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

13.Числовые определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

14.Вычисление определителей приведением к треугольному виду . . . . . . . 22

	ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. РАНГ МАТРИЦЫ . . . . . .	24
15.	Линейная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	24
16.	Базисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	25
17.	Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	26
	ГЛАВА 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	27
18.	Действия над комплексными числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	27
19.	Тригонометрическая форма комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . .	28
20.	Геометрия комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	29
21.	Корни n-ой степени из комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
	ГЛАВА 7. МНОГОЧЛЕНЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	31
22.	Наибольший общий делитель многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	31
23.	Корни многочленов. Схема Горнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	32
24.	Разложение многочленов на неприводимые множители . . . . . . . . . . . .	33
	ГЛАВА 8. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	34
25.	Действия с векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	34
26.	Система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	34
27.	Деление отрезка в данном отношении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	35
28.	Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	36
29.	Векторное и смешанное произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	37
	ГЛАВА 9. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38

30.Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

31.Плоскость и прямая в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

32.Плоскость и прямая в пространстве (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . 40

	ГЛАВА 10. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА . . . . . . . . . . . . . . . .	42
33.	Аксиоматика и линейная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	42
34.	Базис векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
35.	Подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
36.	Сумма подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	45
37.	Прямая сумма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	46
	ГЛАВА 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	47
38.	Определение линейного оператора. Ядро и образ . . . . . . . . . . . . . . .	47
39.	Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	47
40.	Собственные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	49
41.	Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	50
	ГЛАВА 12. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА . . . . . . . . . . . . . . .	51

42.Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

43.Процесс ортогонализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

44.Геометрия евклидовых пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

45.Линейные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

46.Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

47.Симметрический оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

48.Ортогональный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

ГЛАВА 13. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . . . . . . . . . . . . . . 57

49.Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

50.Преобразование координат на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

51.Эллипс, гипербола, парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

52.Эллипс, гипербола, парабола (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

53.Фокусы и директрисы кривых второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 60

54.Определение типа кривой второго порядка по ее общему уравнению . . . 61

	ГЛАВА 14. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	61
55.	Алгоритм Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	61
56.	Положительно определенные квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . .	62
57.	Приведение к главным осям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	63

ГЛАВА 1.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ, КОМБИНАТОРИКА, БИНОМ НЬЮТОНА

1. Принцип математической индукции

Доказать с помощью математической индукции тождества для всех целых n > 1:

1. 1 + 2 + : : : + n =

n(n + 1)

2. 12 + 22 + : : : + n2 =

n(n + 1)(2n + 1)

2 .

3. 13 + 23 + : : : + n3

n2(n + 1)2

4. 1 + 3 + 5 + : : : + (2n ¡ 1) = n2.

5. 12 ¡ 22 + 32 ¡ 42 + : : : + (¡1)n¡1 ¢ n2 = (¡1)n¡1 ¢

n(n + 1)

2 .

6. 12 + 32 + : : : + (2n

1)2 =

n(4n2 ¡ 1)

2 + 2

5 + : : : + n(3n

1) = n2(n + 1).

8. 1 ¢ 4 + 2 ¢ 7 + : : : + n(3n + 1) = n(n + 1)2.

9. 1 ¢ 2 + 2 ¢ 3 + 3 ¢ 4 + : : : + n(n + 1) =

n(n + 1)(n + 2)

10.

1 ¢ 22 + 2 ¢ 32 + 3 ¢ 42 + : : : + n(n + 1)2

n(n + 1)(n + 2)(3n + 5)

11.

1 ¢ 2 ¢ 3 + 2 ¢ 3 ¢ 4 + : : : + n(n + 1)(n + 2) =

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

12.

+ : : : +

1 ¢ 4

4 ¢ 7

7 ¢ 10

(3n ¡ 2)(3n + 1)

3n + 1.

13.

+ : : : +

1 ¢ 5

5 ¢ 9

9 ¢ 13

(4n ¡ 3)(4n + 1)

4n + 1.

14.

+ : : : +

n(n + 1)

1 ¢ 3

3 ¢ 5

5 ¢ 7

(2n ¡ 1)(2n + 1)

2(2n + 1)

15.

+ : : : +

+ 3n + 2

2n + 4.

12 20

1 ¡ xn

16.

+ : : : +

1 + x + x2 + : : : + xn¡1 =

; x = 1.

4n2 ¡ 1

2n + 1.

1 ¡ x

17.

Найти короткую формулу для выражений:

18.

+: : :+

19.

+: : :+

1 ¢ 2

2 ¢ 3

3 ¢ 4

n(n + 1)

1 ¢ 3

3 ¢ 5

5 ¢ 7

(2n ¡ 1)(2n + 1).

20.

µ1 ¡ 2

¶µ1 ¡

¶: : : µ1 ¡ n + 1

¶.

21.

µ1 ¡ 4

¶µ1 ¡

¶: : : µ1 ¡ (n + 1)2 ¶.

22.

1! + 2

2! + 3

3! + : : : + n

n!.

23.

+ : : : +

n ¡ 1

n! .

Доказать равенства для всех целых n > 1:

24.cos ® cos 2® : : : cos 2n¡1® = sin 2n® r 2n sin ®.

25.2 cos 2n¼+1 = 2 + q2 + : : : + p2; (n корней).

sin

n + 1

26.

sin x + sin 2x + : : : + sin nx =

sin

2 .

2n + 1

sin

27.

+ cos x + cos 2x + : : : + cos nx =

2 sin

28.

sin x + 2 sin 2x + : : : + n sin nx =

(n + 1) sin nx ¡ n sin(n + 1)x

4 sin2

29.

cos x + 2 cos 2x + : : : + n cos nx =

(n + 1) cos nx ¡ n cos(n + 1)x ¡ 1

4 sin2

30.

¡ ctg x, n > 1.

+ : : : +

ctg

2tg 2

2n tg 2n

Доказать неравенства:

31.

n > 1.

+ : : : +

n + 1

n + 2

3n + 1

24,

32.

n > 2.

+ : : : +

n + 1

n + 2

24,

33.

: : :

2n ¡ 1

34.

(2n)!

¢ 4 ¢ 6

p3n + 1,

n + 1

(n!)2 ,

35.

n(n 1)=2

36.

> n!

n > 3

pn < 1 + p2 + : : : + pn

< 2 n

n > 2

37.

< 1 +

+ : : : +

< n, n > 2.

¡ 1

38.

(1 + x)

> 1 + nx, ãäå x > ¡1, n > 1.

39.

(a + b)n < 2n¡1(an + bn), ãäå a + b

0, a = b, n

4c + 1

40.

1 +

> rc + qc + : : : + pc, (n квадратных корней), n > 1.

41.

Пусть x1; x2; : : : ; xn положительные числа. Доказать, что если x1x2 : : : xn = 1,

òî x1 + x2 + : : : + xn > n.

Доказать с помощью принципа математической индукции, что для любого целого

положительного n число a делится на b:

42.

a = n (2n2 ¡ 3n + 1), b = 6.

43. a = 11n+1 + 122n¡1, b = 133.

44.

a = n5 ¡ n,

b = 5.

45. a = 5 ¢ 23n¡2 + 33n¡1, b = 19.

46.

a = 62n ¡ 1,

b = 35. 47. a = 4n + 15n ¡ 1, b = 9.

48.

a = 7n+2 + 82n+1,

b = 57.

49. a = 32n+3 ¡ 24n + 37,

b = 64.

50.

a = 25n+3 + 5n3n+2, b = 17.

51. a = 2n+2 ¢ 3n + 5n ¡ 4,

b = 25.

52.

a = 116n+3 + 1, b = 148.

53. a = 10n + 18n ¡ 28, b = 27.

54.

a = 5n+3 + 113n+1, b = 17.

55. a = 72n ¡ 42n,

b = 33.

56.

a = 62n + 19n ¡ 2n+1, b = 17.

57. a = 62n + 3n+2 + 3n, b = 11.

58.

a = 7 ¢ 52n + 12 ¢ 6n, b = 19.

59.

Пусть a0 = 0, an = p

, n = 1; 2; : : :. Доказать, что последовательность an

2 + an¡1

возрастает.

2 +

= an + bn

. Доказать, что

для любого целого

60.

Пусть

3bn = 1

n > 1.

2. Комбинаторика

61.Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7? Сколько из них делится на 5?

62.Сколько пятизначных чисел читается одинаково слева направо и справа налево?

63.Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

64.Сколько диагоналей имеет выпуклый n-угольник?

65.В выпуклом n-угольнике провели все диагонали, при этом никакие три из них

не пересекаются в одной точке. Сколько имеется точек пересечения указанных диагоналей?

66. Буквы азбуки Морзе состоят из точек и тире. Сколько букв можно изобразить, если длина каждой буквы не более n?

67. Каждая из n футбольных команд должна встретиться в игре с каждой. Сколько

должно быть сыграно матчей?

68. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова а) молоко, б) колобок, в) серебро?

69. Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров, если используются 32 буквы.

70. Игральную кость бросают шесть раз.

а) Сколько всевозможных шестерок чисел может таким образом возникнуть? б) Сколько из них не содержит одинаковых чисел?

в) Сколько из них не содержит лишь одно, два или три числа?

71. Сколькими способами можно выбрать из колоды в 52 карты 6 карт так, чтобы среди них были все 4 масти?

72. а) Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое не могут быть выбраны вместе?

б) Сколькими способами можно выбрать m человек из n , если данные p человек не

могут быть выбраны вместе?

73. Сколько можно составить пятибуквенных слов из 7 гласных и 25 согласных, если гласные и согласные должны чередоваться? А если, кроме того, ни одна буква не повторяется дважды?

74. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 мужчин и 7 женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом?

75. Сколькими способами можно переставить буквы слова "кофеварка"так, чтобы гласные и согласные буквы чередовались? То же для слова "самовар".

76. Сколькими способами можно переставить буквы слова "пастухи"так, чтобы и гласные и согласные шли в алфавитном порядке? То же для слова "Абакан".

77. На плоскости проведено n прямых так, чтобы никакие две из них не были парал-

лельны друг другу и никакие три не проходили через одну точку. Сколько получилось треугольников, стороны которых лежат на этих прямых?

78. На окружности выбрано n различных точек. Сколько существует различных

треугольников с вершинами в этих точках.

79. На плоскости даны n точек, из которых p лежит на одной прямой, а кроме

них никакие три точки не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников, вершинами которых являются эти точки.

80. На двух параллельных прямых взято p è q точек соответственно. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

81. На каждой стороне квадрата взято по n точек (но не вершины). Сколько суще-

ствует треугольников с вершинами в этих точках?

82. На плоскости проведено n прямых так, что никакие две из них не параллельны

и никакие три не проходят через одну точку. Сколько точек пересечения получилось? 83. На сколько частей делят плоскость n прямых, из которых никакие две не парал-

лельны и никакие три не проходят через одну и ту же точку?

84. Сколько существует целочисленных треугольников, длины сторон которых удовлетворяют неравенствам n < x; y; z 6 2n ? Сколько среди них равнобедренных и сколь-

ко равносторонних?

85. Сколько треугольников образуют диагонали, проведенные в выпуклом n-уголь-

íèêå?

86. Сколько существует целочисленных треугольников, длины сторон которых не больше 2n?

87. Сколько существует целочисленных треугольников, длины сторон которых не больше 2n ¡ 1?

Бином Ньютона

Разложить по формуле бинома Ньютона и упростить:

88.

+ b .

89. (a ¡2b)6.

90. (1 + 2x)5.

91.

µx +

¶ .

92.

1 + p

¢5

94.

95.

93. ¡1 ¡ p

¡p

+ p

³p

¡ p

´ .

96.

Ãr

¡ r

! .

Найти коэффициент многочлена при указанной степени переменной:

12,

98. (x=3 ¡ 3=x)

15,

2000,

2000.

97. (a + 1=a)

a 15. ,

99. (x

+ 1)

, x9.

100.

1=4

x0.

101. (1 + x)9 + (1 + x)10

: : :

+ (1 +

)

102.

В разложении

Ãr

+ r

найти член, содержащий ab.

Сколькоp

124

100

120.

целочисленных. 104членов. содержат.разложения:105.

106.

¡p5 3 + p3 7¢36.

107.

¡p3 + p3 2

¢99.

3 +

103.

3 +

2 +

Найти¡

коэффици¡å

сумму всех¢

нтов многочленов:¢

108.

(4x ¡ 5)21.

109. µ3p2x ¡ p2¶

Найти наибольший член разложения:

112. ¡p

+ p

¢20.

110.

(1 + 0:001)1000.

111. (1 + 0:001)3000.

Найти наибольшие коэффициенты многочленов:

¡p5 + p2x¢

113.

3 + 3x¶

114.

µ4 + 4x¶

115.

30.

116.Доказать, что 1110 ¡ 1 кратно 100.

117.Доказать, что 11100 ¡ 1 кратно 1000.

118.Доказать,что число p10 ³¡1 + p10¢100 ¡ ¡1 ¡ p10¢100´ является целым.

Доказать следующие тождества:

119.

120.

+ Cn + : : : + Cn = 2

n+1Cn

¡ Cn

+ : : : + (¡1) Cn = 0:

121.

C1 + : : : +

¡ 1

122. C1

+ 2C2

+ : : : + nCn = n2n¡1.

n + 1

2 n

n + 1

123. Cn1 ¡ 2Cn2 + : : : + (¡1)nnCnn = 0.

124. Cn0 + 2Cn1 + : : : + (n + 1)Cnn = (n + 2)2n¡1.

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ

4. Действия с матрицами

Перемножить матрицы в том порядке, в котором это возможно:
125.	0	2	1	1,		3 0 1 .									126.		0	2 1,			0 1 2 .
125.		1	0		µ	2	1		¶									3	µ		3	2	¶
		3	1															1
127.	@	2	1,	A	1	1.						0			1		@	A
127.	0	1	1,	0	2	1.		128.				0			2 1,		2	4	1		.
	@	3			3				A			@			3		¡			¢						A
	@		A @ AAA						A			@			A											A
129.	Вычислить					T , ãäå					T матрица, транспонированная к																, è
												A = µ				4	1	1	3 ¶:
	0			¡5 1 ¢			0								1.	3	2	1	2							1 0						1.
	0	6	9	¡5 1 ¢			0	4 ¡1					3		1.		131.		0	7		6	¡4	¡5		1 0		2	3	4	5	1.
Вычислить произведения матриц:																							¡3	¡4
130.		5	8	¡4				3			2		5		A				B	5		7	¡3	¡4		C	¢ B	1	2	3	4	C
	@ 4 7 ¡3 A @ 9										6 5				A				B	8 5			¡6	¡1		C	¢ B	2 4 6 8				C
			0	2		1					70			34			107		B		27		¡18	¡		C	B					C
			0	2		1					70			34			107		@		27		¡18	¡	10A @			1	3	5	7	A
																				6		4	3		2			1	3	5	7
132.	0		2	¡1	¡2		1 0				52			26		¡¡68		1 0		¡46			¡31	¡17			1.
	@ ¡3			¡2	¡1		A ¢ @			101				50		¡140		A ¢ @				3	¡2			1	A
Вычислить:				0	1.						µ		1		3	¶.				µ ¡4			¡2	¶.
133.	0	3	1	0	1.		134.				µ		1		3	¶.		135.		µ ¡4			¡2	¶.
		2	1	1	2		134.						2		1	3		135.				3	2		5
136.	µ	0	1	2	A				µ		0		¸		¶.				µ sin '				¡cos ' ¶.
136.	µ	0	1	¶.					µ		0		¸		¶.				µ sin '				¡cos ' ¶.
	@	1	1	n		137.					¸		1		n		138.			cos '			sin '			n

139.Следом квадратной матрицы называется сумма элементов, стоящих на главной диагонали. Доказать, что след AB равен следу BA.

140.Матрицы A è B называются перестановочными, если AB = BA. Квадратная матрица A называется скалярной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, а элементы главной диагонали равны между собой, то есть если A = cE, ãäå c число, а E единичная матрица. Доказать утверждение: для того чтобы

квадратная матрица A была перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была скалярной.

141. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие

вне главной диагонали, равны нулю. Доказать утверждение: для того чтобы квадратная матрица A была перестановочна со всеми диагональными матрицами, необходимо и

достаточно, чтобы матрица A сама была диагональной.

142. Доказать, что если A диагональная матрица и все элементы ее главной диа-

гонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с A, также диагональна.

	µ 3 4 ¶.		µ	5 ¡2 ¶.						0		0	3	1	1. 146.	0	0	0	1	0	1.
Найти все матрицы, перестановочные с данной:
143.	1 2	144.		7 ¡3		145.						3	1	0		B	0	1	0	0	C
										@ 0 0 3 A						B	0	0	0	0	C
147.	Найти значение многочлена f(x) = 3x2 ¡ 2x + 5 от матрицы															B					C
147.	Найти значение многочлена f(x) = 3x2 ¡ 2x + 5 от матрицы															@	0	0	0	1	A
																	0	0	0	1
				0	2	¡4			1	1	:
				@	1	¡2			3	A
148.				@	3	¡5		3	2	A		2	+ 13x ¡ 5 от матрицы
148.	Найти значение многочлена f(x) = x								¡ 7x				+ 13x ¡ 5 от матрицы
				0	1	3	¡1			1	:
					5	2	¡3			A
				@ a		b	¡			A
					2	2			1
149.	Доказать, что матрица A = µ c					d ¶			удовлетворяет уравнению

x2 ¡ (a + d)x + ad ¡ bc = 0:

öå.150. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны нулевой матри- ðèöå.151. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны единичной мат-

5. Обратная матрица

Найти обратные матрицы для следующих матриц (там, где это явно не указано,
предполагается, что матрицы имеют порядок n):																	d ¶.		155.		µ sin ®						¡cos ® ¶.
152.	µ	3	4	¶.			153.		µ 5	7	¶.		154. µ c				d ¶.		155.		µ sin ®						¡cos ® ¶.
	0	1	2				1.		3	4	0					a	b		0				cos ®				sin ®
156.	0	6		3		4	1.		157.		0	2	¡3		1	1.	158.		0	3		9		4	1.
156.		2		5		7	A					3	¡4		5	A1				2		7		3
	@ 1		¡2		¡2		A				@ 1		¡1		¡1	A1			@ 1 5 13 2A								3		4
	0	5		2		3	1.				0	3	5		1		1.				0									1.
159.	0	2		1	¡2		1.		160.		0	1	1		¡1	¡1	1.		161.		0		2	3			1		2	1.
	@	2	¡2			1	A				B	1	¡1		1	¡1	C				B		1 0				2	¡6		C
											B		¡		¡		C				B					¡		¡		C
											@	1	¡		¡	1	A				@		1	1		¡		¡	1	A
	0			¡0 ¡4 1.								1	1		1	1							1	1			1		1
162.	0	3	8	¡0 ¡4 1.						163.		0	0 3 1			¡4 1.		164.		0 0 1 1 ¢ ¢ ¢									1 1
162.	B	1	2		1		¡2	C		163.		B	0	0	1	1	C	164.		B		1		1	1		¢ ¢ ¢		1	C.
	B	3	8	¡1			¡6	C				B	1 2 2			¡1	C			B							¢ ¢ ¢			C.
	B			¡			¡	C				B				¡	C			B										C
	@	2	2	¡	4		¡	A				@	2	7	6	¡	A			B 0¢ ¢0					¢ 0¢ ¢ ¢ ¢ ¢1 C
		2	2		4		3						2	7	6	1				B		0		0	1				1	C
																				@							¢ ¢ ¢			A

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Алгебра и Геометрия

#
20.04.20151.88 Mб102012-10-30-1396.jpg
#
20.04.20152.02 Mб112012-10-30-1397.jpg
#
20.04.20151.91 Mб112012-10-30-1399.jpg
#
20.04.20151.88 Mб102012-10-30-1400.jpg
#
20.04.20151.9 Mб112012-10-30-1401.jpg
#
20.04.2015426.22 Кб139GeomAlgebra.pdf