Алгебра и Геометрия / GeomAlgebra

872. Найти расстояние от точки (1; 3; 5) до прямой:

(à) 2x + y + z ¡ 1 = 0; 3x + y + 2z ¡ 3 = 0;

(á) x = t, y = 1 ¡ 2t, z = 3 + t.

874. Найти расстояние между диагональю куба и непересекающей ее диагональю грани, если ребро куба равно 1.

41

ГЛАВА 10.

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

33. Аксиоматика и линейная зависимость

875.Пусть x, y векторы, ®, ¯ скаляры. Доказать, что а) ®x = 0 тогда и только тогда, когда ® = 0 èëè x = 0;

á) ®x + ¯y = ¯x + ®y тогда и только тогда, когда ® = ¯ èëè x = y.

876.При каких значениях ¸ из линейной независимости системы векторов a1, a2 вытекает линейная независимость системы ¸a1 + a2, a1 + ¸a2.

877.При каких значениях ¸ из линейной независимости системы a1; : : : ; an вытекает линейная независимость системы a1 + a2; a2 + a3; : : : ; an¡1 + an; an + ¸a1?

878.Пусть x, y, z линейно независимые векторы, a произвольный вектор. До-

Пусть ®1; : : : ; ®n попарно различные вещественные числа. Доказать линейную

889.В пространстве функций одной вещественной переменной векторы f1; : : : ; fn линейно независимы тогда и только тогда, когда существуют числа a1; : : : ; an такие, что определитель det(fi(aj)) отличен от нуля. Доказать это.

890.В векторном пространстве V над полем C определим новое умножение векторов

на комплексные числа по правилу ® ± x = ®x¯ . Доказать, что относительно операций +

è± множество V является векторным пространством. Найти его размерность.

891.Пусть Cn множество всех строк (a1; : : : ; an) длины n, ai 2 C. Åñëè b 2 C, то положим b ± (a1; : : : ; an) = (ba¯1; : : : ; ba¯n). Является ли Cn относительно операций + è ±

векторным пространством?

892. Пусть V множество всех положительных функций на [a; b]. Определим сложение двух функций и умножение функции на число равенствами

f © g = fg; ® ¯ f = f®; f; g 2 V; ® 2 R:

Доказать, что V с указанными операциями является векторным пространством над полем R.

893.Пусть F ïîëå, E его подмножество, являющееся полем относительно тех же самых операций (такие подмножества поля F называют его подполями). Доказать, что F является векторным пространством над полем E.

894.Найти базис и размерность поля C над полем R.

895.Пусть m1; : : : ; mk различные натуральныеpчисла, каждоеp из которых не делится на квадрат простого числа. Доказать, что числа m1; : : : ; mk линейно независимы

âпространстве R íàä Q.

896. Пусть r1; : : : ; rn различные рациональные числа из интервала (0; 1). Доказать, что в пространстве R над полем Q числа 2r1 ; : : : ; 2rn линейно независимы.

42

34. Базис векторного пространства

Пусть векторы e1; : : : ; en è x заданы своими координатами в некотором базисе. Доказать, что e1; : : : ; en также базис пространства, и найти координаты вектора x â ýòîì

базисе:

897. e1 = (1; 1; 1), e2 = (1; 1; 2), e3 = (1; 2; 3), x = (6; 9; 14).

898. e1 = (2; 1; ¡3), e2 = (3; 2; ¡5), e3 = (1; ¡1; 1), x = (6; 2; ¡7).

899. e1 = (1; 2; ¡1; ¡2), e2 = (2; 3; 0; ¡1), e3 = (1; 2; 1; 4), e4 = (1; 3; ¡1; 0), x = (7; 14; ¡1; 2).

Доказать, что каждая из двух заданных систем векторов является базисом. Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму:

900. a1 = (1; 2; 1), a2 = (2; 3; 3), a3 = (3; 8; 2); b1 = (3; 5; 8), b2 = (5; 14; 13), b3 = (1; 9; 2).

901. a1 = (1; 1; 1; 1), a2 = (1; 2; 1; 1), a3 = (1; 1; 2; 1), a4 = (1; 3; 2; 3);

b1 = (1; 0; 3; 3), b2 = (¡2; ¡3; ¡5; ¡4), b3 = (2; 2; 5; 4), b4 = (¡2; ¡3; ¡4; ¡4).

902. Доказать, что в пространстве Rn[x] многочленов степени 6 n с вещественными коэффициентами системы 1; x; : : : ; xn è 1; x¡a; (x¡a)2; : : : ; (x¡a)n, ãäå a 2 R, являются

базисами, и найти координаты многочлена f(x) = a0 + a1x + : : : + anxn в этих базисах

èматрицу перехода от первого базиса ко второму.

903.Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если а) поменять местами два вектора первого базиса; б) поменять местами два вектора второго базиса;

в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?

Доказать, что системы векторов линейно независимы, и дополнить их до базиса пространства строк:

904. (2; 2; 7; ¡1), (3; ¡1; 2; 4), (1; 1; 3; 1). 905. (2; 3; ¡4; ¡1), (1; ¡2; 1; 3). 906. (4; 3; ¡1; 1; 1), (2; 1; ¡3; 2; ¡5), (1; ¡3; 0; 1; ¡2), (1; 5; 2; ¡2; 6).

907. (2; 3; 5; ¡4; 1), (1; ¡1; 2; 3; 5).

35. Подпространства

Выяснить, является ли подпространством соответствующего векторного пространства каждая из следующих совокупностей векторов:

908. Векторы плоскости с началом O, концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в точке O.

909. Векторы плоскости с началом O, концы которых лежат на данной прямой.

910. Векторы плоскости с началом O, концы которых не лежат на данной прямой.

911. Векторы координатной плоскости, концы которых лежат в первой четверти. 912. Векторы пространства Rn, координаты которых целые числа.

913. Ограниченные последовательности комплексных чисел.

914. Последовательности вещественных чисел, имеющие предел.

915. Последовательности вещественных чисел, имеющие предел a. 916. Многочлены четной степени с коэффициентами из поля F .

917. Многочлены с коэффициентами из поля F , не содержащие четных степеней переменной x.

43

Доказать, что следующие совокупности векторов пространства F n, F ïîëå, îáðà-

зуют подпространства, и найти их базисы и размерности:

918. Векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты. 919. Векторы, у которых координаты с четными номерами равны 0.

920. Векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой. 921. Векторы вида (®; ¯; ®; ¯; : : :), ãäå ® è ¯ любые элементы F .

922. Векторы, являющиеся решениями однородной системы линейных уравнений. Выяснить, какие из следующих совокупностей матриц порядка n над полем F îáðà-

зуют подпространства в пространстве матриц Mn(F ), найти их базисы и размерности:

923. Все матрицы. 924. Симметрические матрицы.

925. Кососимметрические матрицы. 926. Невырожденные матрицы.

927. Вырожденные матрицы. 928. Матрицы со следом, равным нулю.

Пусть RS пространство всех функций, определенных на множестве S и принима-

ющих вещественные значения. Выяснить, какие из следующих совокупностей функций f(x) 2 RS составляют подпространство:

929.Функции, принимающие значение a в данной точке s 2 S.

930.Функции, принимающие значение a во всех точках некоторого подмножества

T½ S.

931.Функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества S.

932.Функции, имеющие предел a ïðè x ! 1 (ïðè S = R).

933.Функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при S = R).

Пусть K1 пространство бесконечных последовательностей с элементами из поля K. Выяснить, какие из следующих совокупностей последовательностей составляют в K1 подпространство:

934.Последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от

íóëÿ.

935.Последовательности, в которых лишь конечное число элементов равно нулю.

936.Последовательности, в которых все элементы отличны от 1.

Выяснить, какие из следующих совокупностей многочленов образуют подпространства в пространстве Rn[x], и найти их базисы и размерности:

937.Многочлены, имеющие данный корень ® 2 R.

938.Многочлены, имеющие данный корень ® 2 CnR.

939.Многочлены, имеющие данные корни ®1; : : : ; ®k 2 R.

940.Многочлены, имеющие данный простой корень ® 2 R.

941.Доказать, что если подпространство векторного пространства Rn[x] для любого k = 0; 1; : : : ; m содержит хотя бы один многочлен степени k и не содержит многочленов

степени > m, то оно совпадет с Rm[x].

Пусть R[x1; : : : ; xm] пространство многочленов от переменных x1; : : : ; xm.

942.Найти размерность подпространства всех однородных многочленов степени k.

943.Найти размерность подпространства симметрических многочленов, являющихся однородными многочленами степени k.

Пусть F поле, состоящее из q элементов. Найти:

944.Число векторов в пространстве строк F n.

945.Число базисов пространства строк F n.

44

946.Число невырожденных матриц порядка n над полем F .

947.Число вырожденных матриц порядка n над полем F .

948.Число k-мерных подпространств пространства строк F n.

949.Число решений уравнения AX = 0, ãäå A прямоугольная матрица ранга r с коэффициентами из поля F , X столбец неизвестных высоты n.

Найти базис и размерность линейной оболочки следующей системы векторов:

950. (1; 0; 0; ¡1), (2; 1; 1; 0), (1; 1; 1; 1), (1; 2; 3; 4), (0; 1; 2; 3).

951. (1; 1; 1; 1; 0), (1; 1; ¡1; ¡1; ¡1), (2; 2; 0; 0; ¡1), (1; 1; 5; 5; 2), (1; ¡1; ¡1; 0; 0).

Найти систему линейных уравнений, задающую линейную оболочку, следующей системы векторов:

952. (1; ¡1; 1; 0), (1; 1; 0; 1), (2; 0; 1; 1).

953. (1; ¡1; 1; ¡1; 1), (1; 1; 0; 0; 3), (3; 1; 1; ¡1; 7), (0; 2; ¡1; 1; 2).

Для указанных систем векторов выяснить какое из двух включений имеет место:

ha1; : : : ; ani ½ hb1; : : : ; bmi, hb1; : : : ; bmi ½ ha1; : : : ; ani.

954. a1 = (1; 1; 1), a2 = (1; 2; 3); b1 = (1; ¡2; ¡5), b2 = (1; 0; ¡1).

955. a1 = (1; 1; 1; 1), a2 = (1; 2; 3; 4), a3 = (1; ¡1; 1; ¡1); b1 = (3; 2; 5; 4), b2 = (3; 0; 1; ¡2).

36. Сумма подпространств

956.Пусть L1 è L2 подпространства конечномерного векторного пространства V . Доказать, что если L1 ½ L2, òî dim L1 6 dim L2, причем равенство имеет место только при L1 = L2.

957.Доказать, что если размерность суммы двух подпространств векторного пространства на единицу больше размерности их пересечения, то сумма равна одному из этих подпространств, а пересечение другому.

958.Пусть V n-мерное векторное пространство. Доказать, что если сумма размер-

ностей двух подпространств больше n, то их пересечение содержит ненулевые векторы.

Пусть U, V , W подпространства векторного пространства:

959.Можно ли утверждать, что U \ (V + W ) = (U \ V ) + (U \ W )?

960.Доказать, что равенство из предыдущей задачи верно, если V µ U.

961.Доказать, что (U + W ) \ (W + V ) \ (V + U) = [(W + V ) \ U] + [(V + U) \ W ].

962.Доказать, что dim [(U +V )\W ]+dim (U \V ) = dim [(V +W )\U]+dim (V \W ).

963.Доказать, что (U \ V ) + (V \ W ) + (W \ U) ½ (U + V ) \ (V + W ) \ (W + U) è

разность размерностей этих подпространств является четным числом.

Найти размерности суммы и пересечения линейных оболочек L1 = ha1; : : : ; ani, L2 = hb1; : : : ; bmi для следующих систем векторов:

964. a1 = (1; 2; 0; 1), a2 = (1; 1; 1; 0); b1 = (1; 0; 1; 0), b2 = (1; 3; 0; 1).

965. a1 = (1; 1; 1; 1), a2 = (1; ¡1; 1; ¡1), a3 = (1; 3; 1; 3); b1 = (1; 2; 0; 2), b2 = (1; 2; 1; 2), b3 = (3; 1; 3; 1).

966. a1 = (2; ¡1; 0; ¡2), a2 = (3; ¡2; 1; 0), a3 = (1; ¡1; 1; ¡1); b1 = (3; ¡1; ¡1; 0), b2 = (0; ¡1; 2; 3), b3 = (5; ¡2; ¡1; 0).

45

Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек L1 = ha1; a2; a3i è L2 =

hb1; b2; b3i:

967. a1 = (1; 2; 1), a2 = (1; 1; ¡1), a3 = (1; 3; 3); b1 = (1; 2; 2), b2 = (2; 3; ¡1), b3 = (1; 1; ¡3).

968. a1 = (1; 2; 1; ¡2), a2 = (2; 3; 1; 0), a3 = (1; 2; 2; ¡3); b1 = (1; 1; 1; 1), b2 = (1; 0; 1; ¡1), b3 = (1; 3; 0; ¡4).

969. a1 = (1; 1; 0; 0), a2 = (0; 1; 1; 0), a3 = (0; 0; 1; 1); b1 = (1; 0; 1; 0), b2 = (0; 2; 1; 1), b3 = (1; 2; 1; 2).

970. a1 = (¡1; 6; 4; 7; ¡2), a2 = (¡2; 3; 0; 5; ¡2), a3 = (¡3; 6; 5; 6; ¡5); b1 = (1; 1; 2; 1; ¡1), b2 = (0; ¡2; 0; ¡1; ¡5), b3 = (2; 0; 2; 1; ¡3).

971. a1 = (1; 1; 0; 0; ¡1), a2 = (0; 1; 1; 0; 1), a3 = (0; 0; 1; 1; 1); b1 = (1; 0; 1; 0; 1), b2 = (0; 2; 1; 1; 0), b3 = (1; 2; 1; 2; ¡1).

37. Прямая сумма

972. Доказать, что сумма L подпространств L1 è L2 тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор x 2 L однозначно представляется в виде

x1 = x2 = : : : = xn. Доказать, что R = U © V , найти проекции единичных векторов на U параллельно V è íà V параллельно U.

974.Пусть U = h(1; 1; 1; 1); (¡1; ¡2; 0; 1)i, V = h(¡1; ¡1; 1; ¡1); (2; 2; 0; 1)i. Доказать,

÷òî R4 = U © V , и найти проекцию вектора (4,2,4,4) на U параллельно V .

975.Доказать, что для любого подпространства U ½ Rn существует такое подпро- странство V , ÷òî Rn = U © V .

976.Доказать, что пространство матриц Mn(R) является прямой суммой подпространства симметрических и подпространства кососимметрических матриц, и найти

на каждое из этих подпространств параллельно другому подпространству.

977. Пусть U подпространство кососимметрических матриц, V подпространство

верхнетреугольных матриц в Mn(R). а) Доказать, что U © V = Mn(R).

б) Найти проекцию матриц Eij íà U è V .

978. Пусть U подпространство симметрических матриц V подпространство верх-

ненильтреугольных матриц в Mn(R). а) Доказать, что U © V = Mn(R).

б) Найти проекцию матрицы Eij íà U è V .

979.Пусть F ïîëå èç q элементов, U подпространство размерности m в пространстве V размерности n над полем F . Найти число таких подпространств W â V , ÷òî V = U © W .

980.Пусть V линейное пространство над бесконечным полем F è V1; : : : ; Vk подпространства в V , причем V = V1 [ : : : [ Vk. Доказать, что V = Vi для некоторого i.

46

ГЛАВА 11.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

38. Определение линейного оператора. Ядро и образ

векторов переводит в линейно зависимую систему.

994. Доказать, что в n-мерном пространстве для любой линейно независимой систе-

мы векторов a1; : : : ; an и произвольной системы векторов b1; : : : ; bn найдется единствен-

ный линейный оператор, переводящий ai â bi (i = 1; : : : ; n).

995. Доказать, что в одномерном векторном пространстве всякий линейный оператор имеет вид x 7!®x, ãäå ® некоторый скаляр.

996. Доказать, что всякое подпространство векторного пространства является: а) ядром некоторого линейного оператора; б) образом некоторого линейного оператора.

997. Доказать, что если два линейных оператора ранга 1 имеют равные ядра и равные образы, то они перестановочны.

998. Если для линейного оператора ' векторного пространства V выполняется равенство '2 = ', òî V = Ker ' © Im '. Доказать.

999. Пусть ' линейный оператор ранга 1. Доказать, что хотя бы один из операторов ' + ", ' ¡ " обратим. (Здесь " тождественный оператор.)

1000. Пусть ' линейный оператор в пространстве V , L подпространство V è L \ Ker ' = 0. Доказать, что любая линейно независимая система векторов из L оператором ' переводится в линейно независимую систему.

39. Матрица линейного оператора

Найти матрицу оператора в указанном базисе:

1001. (x1; x2; x3) 7!(x1; x1 + 2x2; x2 + 3x3) в пространстве R3 в базисе из единичных

векторов.

1002. Поворот плоскости на угол ® вокруг начала координат в произвольном орто-

нормированном базисе.

1003. Поворот трехмерного пространства на угол 2¼

3 вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями x1 = x2 = x3, в базисе из единичных

векторов осей координат.

47

состоящем из матричных единиц.

1010. X 7!AX + XB (A, B фиксированные матрицы в пространстве M2(R) â

базисе, состоящем из матричных единиц. n. 1011. Дифференцирование в пространстве Rn[x] в базисе 1; x; : : : ; x

1012. Дифференцирование в пространстве Rn[x] в базисе xn; xn¡1; : : : ; 1. 1013. Дифференцирование в пространстве Rn[x] в базисе

1; x ¡ 1; (x ¡ 1)2 ; : : : ; (x ¡ 1)n

2 n!

. 1014. Доказать, что в пространстве R3 существует единственный линейный оператор, переводящий векторы (1; 1; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 2) соответственно в векторы (1; 1; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 1) и найти матрицу этого оператора в базисе, состоящем из единичных

Найти матрицу этого оператора в базисах: а) e2, e1, e3, e4;

á) e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3, e1 + e2 + e3 + e4.

1016. Линейный оператор в пространстве R2[x] имеет в базисе 1, x, x2 матрицу

Найти его матрицу в базисе 3x2 + 2x + 1, x2 + 3x + 2, 2x2 + x + 3.

1017. Линейный оператор в пространстве R3 имеет в базисе (8; ¡6; 7), (¡16; 7; ¡13),

Найти его матрицу в базисе (1; ¡2; 1), (3; ¡1; 2), (2; 1; 2).

1018. Пусть линейный оператор ' â n-мерном векторном пространстве V переводит линейно независимые векторы a1; : : : ; an в векторы b1; : : : ; bn

48

что матрица этого оператора в некотором базисе e1; : : : ; en равна BA¡1, где столбцы мат- ðèö A è B состоят соответственно из координат заданных векторов в базисе e1; : : : ; en.

1019. Найти общий вид матрицы линейного оператора ' в базисе, первые k векторов

Найти матрицу оператора 'Ã в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.

40. Собственные векторы

0

1026. Доказать, что в пространстве Rn[x] линейный оператор f 7!f(ax + b) имеет следующие собственные значения: 1; a; : : : ; an.

1027. Доказать, что собственный вектор линейного оператора ' с собственным зна- чением ¸ является собственным вектором оператора f('), ãäå f(x) многочлен, с собственным значением f(¸).

1028. Доказать, что если оператор ' невырожденный, то операторы ' è '¡1 имеют

одни и те же собственные векторы.

1029. Доказать, что все ненулевые векторы пространства являются собственными для линейного оператора ' тогда и только тогда, когда ' оператор подобия x 7!®x,

ãäå ® некоторый фиксированный скаляр.

1030. Доказать, что если линейный оператор ' â n-мерном пространстве имеет n различных собственных значений, то любой линейный оператор, перестановочный с ',

имеет базис, состоящий из его собственных векторов.

1031. Доказать, что если оператор '2 имеет собственное значение чисел ¸ è ¡¸ является собственным значением оператора '.

1032. Доказать, что всякий многочлен степени n со старшим коэффициентом (¡1)n является характеристическим многочленом некоторой матрицы порядка n.

1033. Доказать, что если A è B квадратные матрицы одинакового порядка, то матрицы AB è BA имеют совпадающие характеристические многочлены.

49

1034. Найти характеристические числа матрицы AT ¢ A, ãäå A матрица-строка

(a1; : : : ; an).

1035. Доказать, что все характеристические числа матрицы отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица невырождена.

Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных

41. Инвариантные подпространства

1046. Найти инвариантные подпространства для оператора дифференцирования в пространстве Rn[x].

1047. Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов линейного оператора ' инвариантна относительно '.

1048. Ядро и образ линейного оператора ' инвариантны относительно '. Доказать. 1049. Доказать, что всякое подпространство, содержащее образ оператора ', èíâà-

риантно относительно '.

1050. Доказать, что если подпространство L инвариантно относительно ', то его образ и полный прообраз инвариантны относительно '.

1051. Доказать, что если линейный оператор ' невырожден, то всякое подпространство, инвариантное относительно ', инвариантно относительно '¡1.

1052. Доказать, что в n-мерном комплексном пространстве всякий линейный оператор имеет инвариантное подпространство размерности n ¡ 1.

1053. Пусть линейный оператор ' â n-мерном пространстве имеет в некотором ба-

зисе диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпространства, инвариантные относительно '.

1054. Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариантные относительно линейного оператора с матрицей

04 ¡2 2 1

50