алгебра и геометрия 2010

Алгебра и геометрия

Вариант 11

1. а) Доказать, что множество квадратных матриц с действительными элементами и нулевыми угловыми элементами с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, с нулевой суммой первой и последней координаты. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и x заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

е₁ = (1,3,0,5) v₁ = (1,0,0,1)

e₂ = (0,2,0,2) v₂ = (0,1,0,0)

e₃ = (1,2,2,3) v₃ = (0,0,1,0)

e₄ = (0,0,0,1) v₄ = (0,0,0,1)

x=(-i, i, i+1,0)

Алгебра и геометрия

Вариант 12

1. а) Доказать, что все многочлены из , так что образуют относительно обычного сложения и умножения на числа из векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, с одинаковыми нечетными координатами и одинаковыми четными координатами. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

e₁ = (1,3,0,5) v₁ = (1,0,0,1)

e₂ = (0,2,0,2) v₂ = (0,1,0,0)

e₃ = (1,2,2,3) v₃ = (0,0,1,1)

e₄ = (0,0,0,1) v₄ = (0,0,0,1)

x=(-i, 2+i, i, 1)

Алгебра и геометрия

Вариант 13

1. а) Доказать, что множество квадратных матриц с действительными элементами и нулевой суммой крайних элементов (то есть элементов, стоящих в первой и последней строке и первом и последнем столбце) является векторным пространством над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, с нулевой суммой всех координат. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

e₁ = (1,0,2,1) v₁ = (1,3,0,5)

e₂ = (0,2,0,2) v₂ = (0,1,0,2)

e₃ = (3,1,4,5) v₃ = (1,2,1,3)

e₄ = (1,0,0,0) v₄ = (0,0,0,1)

x=(i+1, i-1, 1, i)

Алгебра и геометрия

Вариант 14

1. а) Доказать, что множество квадратных матриц с действительными элементами и нулевой суммой крайних элементов (то есть элементов, стоящих в первой и последней строке и первом и последнем столбце) является векторным пространством над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, с нулевой суммой всех координат. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

e₁ = (2,3,0,5) v₁ = (1,0,0,1)

e₂ = (0,2,0,2) v₂ = (0,1,0,1)

e₃ = (1,2,1,3) v₃ = (0,0,1,1)

e₄ = (0,0,0,1) v₄ = (0,0,0,1)

x=(i, 2+ i, 2i, 0)

Алгебра и геометрия

Вариант 15

1. а) Доказать, что множество всех нижнетреугольных матриц с действительными элементами и обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых последняя координата равна нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

e₁ = (1,1,1,1) v₁ = (0,1,1,1)

e₂ = (1,1,-1,-1) v₂ = (1,0,1,1)

e₃ = (1,-1,1,-1) v₃ = (1,1,0,1)

e₄ = (1,-1,-1,1) v₄ = (1,1,1,0)

x=(i, - i, 1, 2i)

Алгебра и геометрия

Вариант 16

1. а) Доказать, что множество всех квадратных матриц с действительными элементами, имеющих одинаковые числа на главной диагонали с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, сумма координат которых, равна нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

e₁ = (3,3,-4,-3) v₁ = (1,0,0,0)

e₂ = (0,6,1,-1) v₂ = (0,1,0,0)

e₃ = (5,4,2,1) v₃ = (0,0,1,0)

e₄ = (2,3,3,1) v₄ = (0,0,0,1)

x=(i, - i, 1, 2i)

Алгебра и геометрия

Вариант 17

1. а) Доказать, что множество всех квадратных матриц с действительными элементами, и нулевой суммой элементов, стоящих на главной диагонали с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, сумма нечетных координат которых, равна нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

e₁ = (1,3,0,5) v₁ = (1,1,1,1)

e₂ = (0,1,0,2) v₂ = (0,1,1,1)

e₃ = (1,2,1,3) v₃ = (0,0,1,1)

e₄ = (0,0,0,1) v₄ = (0,0,0,1)

x=(i, -2i, 3+i, 1)

Алгебра и геометрия

Вариант 18

1. а) Доказать, что все многочлены с действительными коэффициентами степени , имеющие корень 0 относительно обычного сложения и умножения на числа, образуют векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, сумма первой и последней координат которых равна 0. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

e₁ = (0,1,1,1) v₁ = (1,0,0,0)

e₂ = (1,0,1,1) v₂ = (0,1,1,1)

e₃ = (1,1,0,1) v₃ = (0,0,1,0)

e₄ = (1,1,1,0) v₄ = (0,0,0,1)

x=(-i, 3i, 2-i, 1)

Алгебра и геометрия

Вариант 19

1. а) Доказать, что множество квадратных матриц из , так что , если нечетно, с обычными операциями сложения и умножения на числа является векторным пространством над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых координаты с четными номерами одинаковы. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

e₁ = (1,i,0,-1) v₁ = (i,-i,1,1)

e₂ = (i,-1,1,-i) v₂ = (1,i,i,1)

e₃ = (1,-i,1+i,1) v₃ = (1+i,0,1,i)

e₄ = (0,i,1,1) v₄ = (0,i,-i,1)

x=(i, 1, -i, 1) i-номер варианта

Алгебра и геометрия

Вариант 20

1. а) Доказать, что все многочлены степени над , не содержащие четных степеней x относительно обычных операций сложения и умножения на числа, образуют векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк с нулевой суммой первой и предпоследней координат. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

e₁ = (1,0,0,0) v₁ = (0,0,0,-1)

e₂ = (0,0,1,0) v₂ = (0,0,2,0)

e₃ = (0,0,0,1) v₃ = (1,0,0,0)

e₄ = (0,1,0,0) v₄ = (0,3,0,0)

x=(-i, 1+i, 1-i, 2)

Алгебра и геометрия

Вариант 1

1. а) Доказать, что множество матриц, у которых первая и последняя строка одинаковы, с обычными операциями сложения и умножения на числа является векторным пространством над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых сумма первых двух и последних двух координат равна нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и x заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

= (1,i,0,-1) =(i,-i,1,1)

= (i,-1,1,-i) =(1,i,i,1)

= (1,-i,1+i,1) =(1+i,0,1,i)

= (0, i, 1, 1) =(0,i,-i,1)

= (i, 1, -i, 1)

Алгебра и геометрия

Вариант 2

1. а) Доказать, что множество симметричных квадратных матриц с вещественными элементами с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых координаты с нечетными номерами одинаковы. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

= (1,1,1,1) =(1,0,0,0)

= (0,1,1,1) =(0,1,0,0)

= (0,0,1,1) =(0,0,1,0)

= (0,0,0,1) =(0,0,0,1)

= (1, i, 2, 1+i)

Алгебра и геометрия

Вариант 3

1. а) Доказать, что множество кососимметричных вещественных квадратных матриц с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых все четные координаты равны нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

=(1,2,3,4) =(1,1,1,1)

=(2,3,1,2) =(0,1,1,1)

=(1,1,1,-1) =(0,0,1,1)

=(1,0,-2,-6) =(0,0,0,1)

=(i, 1, 2i, 1+i)

Алгебра и геометрия

Вариант 4

1. а) Доказать, что множество всех верхнетреугольных матриц с действительными элементами и обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых все нечетные координаты равны нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

=(1,1,0,0) =(1,1,1,1)

=(0,1,1,0) =(0,1,1,1)

=(0,0,1,1) =(0,0,1,1)

=(0,0,0,1) =(0,0,0,1)

=(i, -1, 1, 2+i)

Алгебра и геометрия

Вариант 5

1. а) Доказать, что множество всех многочленов f степени ≤ n с коэффициентами из , для которых 2f(0) = f(1) относительно обычных операций сложения и умножения на числа, образуют векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, с двумя одинаковыми последними координатами. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

=(1,2,3,4) =(1,1,1,1)

=(0,1,2,3) =(0,1,1,1)

=(0,0,1,2) =(0,0,1,1)

=(0,0,0,1) =(0,0,0,1)

=(1, 2+i, -i, 0)

Алгебра и геометрия

Вариант 6

1. а) Доказать, что множество всех квадратных матриц с действительными элементами, имеющих одинаковые числа на главной диагонали с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, сумма четных координат которых, равна нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.