![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 1. Сферические функции
- •§1 Полиномы Лежандра
- •1.1. Производящая функция и полиномы Лежандра
- •1.2. Рекуррентные формулы
- •1.3. Уравнение Лежандра
- •1.4. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма
- •1.5. Норма полиномов Лежандра
- •Упражнения
- •§2 Присоединенные функции Лежандра
- •2.1. Присоединенные функции
- •2.2. Норма присоединенной функции
- •§3 Сферические функции
- •3.1. Сферические функции
- •3.2. Ортогональность системы сферических функций
- •Глава 2. Полиномы Чебышева- Эрмита и Чебышева- Лагерра
- •§1 Полиномы Чебышева- Эрмита
- •1.1. Дифференциальная формула
- •1.2. Рекуррентные формулы
- •1.3. Уравнение Чебышева- Эрмита
- •Упражнения
§3 Сферические функции
3.1. Сферические функции
Сферические функции проще всего могут быть введены при решении уравнения Лапласа для шаровой области методом разделения переменных. Разделение переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах:
,
,
где
-угловая
часть
оператора Лапласа в сферических
координатах.
, (1)
. (2)
Решение уравнения Лапласа:
, (3)
,
. (4)
Для определения
получаем уравнения
, (5)
где-
константа разделения.
, (6)
Для определения R(r) получаем уравнение Эйлера:
,
. (6а)
Следствия:
Функция
должна быть ограничена на сфере любого радиуса.
Функция
должна в точках
,
, а также
.
Ограниченное
решение уравнения (6) обладающее
непрерывными производными до второго
порядка называются сферическими
функциями. Решение задачи для
ищем также методом разделения переменных,
полагая
. (7)
,
Умножим на
и поделим на (7)
,
, (8)
где m-константа разделения.
(9)
Задача для
имеет решение лишь при целомm,
и линейно независимыми решениями
являются функции
и
.
Функция
определяется из уравнения
, (10)
(11)
(12)
, (13)
решение (9).
Если потребовать выполнение условия (11)
,
m-
любое число m=0,1,-1,2,-2…
,
m=0,1,-1… (14)
Выберем новую
переменную
и
обозначая
,
получаем для
уравнение присоединенных функций (15)
подставляем все в (10)
. (15)
Полученное уравнение является уравнением для присоединенных функций Лежандра
Потребуем чтобы
функции
были
нормированными
(16)
,
(17)
где
.
(18)
Уравнение (6) имеет
решение (18) при собственных значениях
.
Найдем несколько сферических функций
Легко проверить, что сферические функции является ортонормированными, т.е. справедливо:
Кроме сферических функций используется понятие сферической гармоники которые определяется следующим образом:
число различных
сферических функций n-го
порядка
равно 2n+1.
Линейная комбинация этих (2n+1)
сферических функций
,
Решение уравнения имеет вид:
Специфика заключается в нахождении радиальной части волновой функции R(r).
,
,
,
.
,
есть внутренняя краевая задача, а
есть внешняя краевая задача.
3.2. Ортогональность системы сферических функций
Докажем, что
сферические функции, соответствующие
различным значениям
,
ортогональны на поверхности сферы
.
Пусть
и
удовлетворяют уравнениям
,
, (19)
где
.
Нетрудно видеть что имеет место формула
, (20)
которая легко
получается интегрирование по частям
().
На поверхности сферы:
,
,
Так что используя
и формулу (20) можно записать в виде
.
Меняя местами в
формуле (20) функции
и
,
а также вычитая полученную формулу из
формулы (20), будем иметь
(21)
Формулы (20) и (21)
являются формулами Грина для операторов
сферических функций. Из формулы (21) легко
следует ортогональность
и
.
В самом деле, пользуясь уравнениями
(19), получим из формулы (21)
,
откуда при
получим,
что
,
или
.
Тем самым доказана
ортогональность сферических функций,
соответствующих разным
.
Глава 2. Полиномы Чебышева- Эрмита и Чебышева- Лагерра
§1 Полиномы Чебышева- Эрмита
1.1. Дифференциальная формула
Полиномы
Чебышева-Эрмита
определим
по аналогии с полиномами Лежандра при
помощи производящей функции
:
. (1)
Отсюда в силу теоремы Коши следует
, (2)
где С
– замкнутый контур в плоскости
комплексного переменного
,
охватывающий точку
.
Вводя новую переменную интегрирования
,
,
,
преобразуем (2) к виду
(3)
Где С1-
контур, охватывающий точку
.
В силу теоремы Коши выражение в фигурных
скобках равно
.
В результате получаем из (3) дифференциальную
формулу (4)
,
. (4)
Эта формула
показывает, что
есть полином степениn,
причем
(5)